El plano cartesiano traza un eje x horizontal y un eje y vertical para escribir la posición de cualquier punto con un par de números.
Igual que en un mapa se nombran una columna y una fila, el punto (3, 2) está 3 a la derecha del origen y 2 hacia arriba.
Con la posición escrita en números, solo con los signos sabes en qué cuadrante está un punto y dónde quedan sus simétricos respecto de los ejes o del origen.
En esta página mueves el punto P para ver su cuadrante y sus tres puntos simétricos, y das un primer vistazo a cómo hallar la distancia entre dos puntos con un triángulo rectángulo.
Coordenadas: una posición en dos números
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Mueve el punto P para ver su cuadrante y sus simétricos respecto del eje x, del eje y y del origen
3
2
🗺️ Qué son las coordenadas
①El plano cartesiano son dos rectas numéricas que se cortan en ángulo recto en el origen O. La horizontal es el eje x y la vertical, el eje y
②Un punto se escribe como (coordenada x, coordenada y), en ese orden. P(3, 2) está 3 a la derecha del origen y 2 hacia arriba
③La coordenada x es + a la derecha y − a la izquierda; la coordenada y es + hacia arriba y − hacia abajo
④El origen O es (0, 0). Las líneas discontinuas del dibujo bajan de P a los dos ejes, y siguiéndolas se leen las coordenadas
Distinguir los cuadrantes
Distinguir cuadrantes
I: (+, +) II: (−, +) III: (−, −) IV: (+, −)
Los signos de las coordenadas x e y bastan para saber el cuadrante
🔍 Los cuatro cuadrantes
①El cuadrante I está arriba a la derecha: x > 0 e y > 0
②El cuadrante II está arriba a la izquierda: x < 0 e y > 0
③El cuadrante III está abajo a la izquierda: x < 0 e y < 0
④El cuadrante IV está abajo a la derecha: x > 0 e y < 0
⑤Un punto sobre un eje no pertenece a ningún cuadrante. En el eje x, y = 0, y en el eje y, x = 0. Si llevas P a un eje en el dibujo, la frase de abajo pasa a decir que está sobre el eje x o el eje y
Simétricos respecto de los ejes y del origen
Simetría respecto del eje x
(a, b) → (a, −b)
Donde cae el punto al doblar por el eje x. Solo cambia el signo de la coordenada y
Simetría respecto del eje y
(a, b) → (−a, b)
Donde cae el punto al doblar por el eje y. Solo cambia el signo de la coordenada x
Simetría respecto del origen
(a, b) → (−a, −b)
El punto girado 180° alrededor del origen. Cambian los dos signos
💡 Para no confundir los simétricos
①En la simetría respecto del eje x, el eje x es la línea de doblez: la coordenada x no cambia y solo cambia de signo la y
②En la simetría respecto del eje y ocurre al revés: solo cambia de signo la x
③La simetría respecto del origen equivale a aplicar una tras otra la del eje x y la del eje y, así que cambian los dos signos
④Si pones las coordenadas de los tres simétricos de la leyenda junto a las de P, ves enseguida qué signo ha cambiado
Distancia entre dos puntos (adelanto)
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Distancia entre A y B: diferencias horizontal y vertical y un triángulo rectángulo
4
-1
Distancia entre dos puntos
d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias horizontal y vertical. El teorema de Pitágoras llega más adelante
🔍 ¿Por qué un triángulo rectángulo?
①Traza una línea horizontal desde A y una vertical desde B: se cortan en ángulo recto y forman un triángulo rectángulo
②El cateto horizontal mide la diferencia de coordenadas x, |x₂ − x₁|, y el vertical la diferencia de coordenadas y, |y₂ − y₁|
③La distancia entre los puntos es la hipotenusa, que se halla con hipotenusa² = horizontal² + vertical² (teorema de Pitágoras)
④Con los valores iniciales A(3, 2) y B(4, −1), los catetos miden 1 y 3, así que la distancia es √10 ≈ 3,16
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
¿En qué cuadrante está el punto P(−3, 2)?
1
Se miran los signos de las coordenadas x e y.
x = −3 < 0, y = 2 > 0
2
Un punto con signos (−, +) está arriba a la izquierda, es decir, en el cuadrante II.
(−, +) ⇒ cuadrante II
▸ Cuadrante II
Si llevas P a (−3, 2) en el dibujo, queda en la zona de arriba a la izquierda y la frase de abajo dice «cuadrante II».
Ejemplo 2
Halla las coordenadas del simétrico de A(2, −5) respecto del eje x.
1
En la simetría respecto del eje x solo cambia el signo de la coordenada y.
(x, y) → (x, −y)
2
Se ponen las coordenadas de A.
(2, −5) → (2, 5)
▸ (2, 5)
El simétrico del mismo punto respecto del eje y es (−2, −5), y respecto del origen, (−2, 5). Puestos uno junto a otro, la diferencia salta a la vista.
Repaso para el examen
Lo esencial del plano cartesiano
punto P(a, b): (coordenada x, coordenada y), en ese orden
(2, 3) y (3, 2) son puntos distintos
Tipo examen de 1.º de ESO
El punto (a, b) está en el cuadrante III. ¿En qué cuadrante está el punto (−a, b)?
①Cuadrante I
②Cuadrante II
③Cuadrante III
④Cuadrante IV
⑤Sobre el eje x
▸ ④ Cuadrante IV
1
El punto está en el cuadrante III, así que a < 0 y b < 0.
a < 0, b < 0
2
−a > 0 y b < 0, así que los signos son (+, −).
(−a, b) = (+, −) ⇒ cuadrante IV
🎯 Repaso para el examen
①Las coordenadas se escriben en el orden (x, y)
②Los puntos del eje x tienen y = 0 y los del eje y tienen x = 0; ninguno pertenece a un cuadrante
③Los cuadrantes se distinguen por los signos de las dos coordenadas
④Antes de hallar un simétrico, comprueba si es respecto del eje x, del eje y o del origen
⑤Un cuadro de la cuadrícula no siempre vale 1, así que lee primero los números de los ejes