El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor número que divide exactamente a los dos, y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor número que es múltiplo de ambos.
Si colocas en rectas numéricas los múltiplos de 12 y de 18, coinciden en 36 y 72; el primer punto de encuentro, 36, es el m.c.m.
Si descompones los dos números en factores primos y los repartes en un diagrama de Venn, el producto de la parte común es el m.c.d. y el producto de todo es el m.c.m.
En esta página cambias los dos números para ver dónde coinciden sus múltiplos y qué factores primos comparten, y por qué el producto de los dos números es igual a m.c.d. × m.c.m.
Donde coinciden los múltiplos
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Rectas con los múltiplos de dos números: los puntos dorados son múltiplos comunes y el primero es el m.c.m.
12
18
👀 Donde coinciden los múltiplos
①Si escribes los múltiplos de cada número, algunos aparecen en las dos listas. Son los múltiplos comunes
②El menor de ellos es el m.c.m. En el dibujo es el primer lugar donde una línea discontinua une las dos filas
③Todos los múltiplos comunes son múltiplos del m.c.m. Para 12 y 18 son 36, 72, 108…, de 36 en 36
④Si un número es múltiplo del otro, el mayor es directamente el m.c.m.
Factores primos en un diagrama de Venn
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Diagrama de Venn de factores primos: en el centro, los que comparten los dos números
🔍 Repartir en un diagrama de Venn
①12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². El 2 y el 3 que comparten van al centro; el 2 que sobra, al lado del 12, y el 3 que sobra, al lado del 18
②Al multiplicar lo que hay en el centro sale el m.c.d.: 2 × 3 = 6
③Al multiplicar todo lo de la izquierda, el centro y la derecha sale el m.c.m.: 2 × 2 × 3 × 3 = 36
④Si no comparten ningún factor primo, el m.c.d. es 1 y se dice que los dos números son primos entre sí
m.c.d. × m.c.m. = producto de los dos números
Relación con el producto
A × B = m.c.d. × m.c.m.
12 × 18 = 216 = 6 × 36
Cómo hallar el m.c.m.
m.c.m. = A × B ÷ m.c.d.
Con el m.c.d. ya calculado, el m.c.m. sale enseguida: 216 ÷ 6 = 36
💡 Por qué coinciden los productos
①Escrito en factores primos, A × B multiplica dos veces la parte central del diagrama
②El m.c.m. multiplica una vez cada una de las tres partes, y el m.c.d. es la parte central
③Así que m.c.d. × m.c.m. también multiplica dos veces el centro y una vez cada lado: es exactamente A × B
④Usa esta relación para comprobar tus resultados
Comprobar con ejemplos
Ejemplo 1
Halla el m.c.d. de 12 y 18.
1
Se descomponen los dos números en factores primos.
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
2
Se toman los factores comunes 2 y 3, cada uno con el menor exponente, y se multiplican.
m.c.d. = 2 × 3 = 6
▸ 6
Es el producto del 2 y el 3 que hay en el centro del diagrama de Venn.
Ejemplo 2
Halla el m.c.m. de 12 y 18.
1
Se descomponen los dos números en factores primos.
12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²
2
Se toman todos los factores primos, cada uno con el mayor exponente, y se multiplican.
m.c.m. = 2² × 3² = 36
▸ 36
Comprobación: 12 × 18 = 216 y 6 × 36 = 216. En las rectas numéricas, el primer punto de encuentro también es 36.
Repaso para el examen
m.c.d.
factores primos comunes, cada uno con el menor exponente
El mayor número que divide exactamente a los dos
m.c.m.
todos los factores primos, cada uno con el mayor exponente
El menor número que es múltiplo de los dos
Tipo examen de 1.º de ESO
Se quiere cubrir sin huecos un rectángulo de 12 cm por 18 cm con baldosas cuadradas iguales, lo más grandes posible. ¿Cuánto mide el lado de cada baldosa?
①2
②3
③6
④9
⑤12
▸ ③ 6
1
El lado de la baldosa debe dividir exactamente a 12 y a 18, y ser el mayor número que lo cumpla.
lado = m.c.d. de 12 y 18
2
Se halla el m.c.d.
= 2 × 3 = 6 (cm)
🎯 Repaso para el examen
①Los problemas de repartir en partes lo más grandes posible, como la baldosa cuadrada más grande, se resuelven con el m.c.d.
②Los problemas de cuándo vuelven a coincidir dos cosas, como dos autobuses que salen a la vez, se resuelven con el m.c.m.
③El m.c.d. y el m.c.m. de tres números se hallan igual
④Dos números cuyo m.c.d. es 1 son primos entre sí, y su m.c.m. es su producto