La factorización en primos descompone un número natural en un producto de primos, las piezas que ya no se pueden partir más.
Igual que un modelo de LEGO se desarma pieza a pieza, todo número compuesto se escribe como producto de primos de una única manera.
Agrupa los primos repetidos como potencias, suma uno a cada exponente y multiplica, y aparece cuántos divisores tiene el número.
Al cambiar el número, el árbol de factores y la cuadrícula de divisores se vuelven a dibujar para ese valor.
Intuición — descompón el número
Para contar todos los divisores, o más adelante elegir factores y múltiplos comunes de dos números, conviene escribir primero el número como producto de primos que ya no se parten. Esa escritura es la factorización en primos, y los primos repetidos se agrupan como potencias. Si coinciden primos y exponentes, cambiar el orden al multiplicar sigue dando un solo resultado. Suma 1 a cada exponente y multiplica, y obtienes el número de divisores, así que esta lección termina primero de partir hasta los primos.
En la cuadrícula, los divisores del número elegido están como círculos, y los primos entre ellos son dorados. El árbol de factores se dibuja partiendo hacia abajo hasta que cada hoja es prima. Los primos repetidos se agrupan como potencias en la división vertical, y el diagrama de MCD y mcm lista los primos comunes de dos números con el exponente menor y el mayor. Al mover el control, la cuadrícula, el árbol y la lista se redibujan para ese número; las ramas no crecen por la pantalla.
🧱 ¡Descompón como con LEGO!
①Divisor: número que divide a otro de forma exacta (divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12)
②Primo: solo tiene como divisores 1 y sí mismo (2, 3, 5, 7, 11, 13…)
③Factorización en primos: descomponer un natural como producto de primos
④Las piezas de LEGO = primos; la figura terminada = compuesto
⑤1 no es ni primo ni compuesto. El menor primo, 2, es el único primo par
⑥MCD × mcm = a × b está en el capítulo siguiente
Árbol de factores primos
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Árbol de factores — todas las hojas son primos
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Procedimiento de factorización
Divide primero entre el menor primo (2)
2 → 3 → 5 → 7 → … repite hasta que el cociente sea 1
Notación exponencial
72 = 23 × 32
Agrupa los primos repetidos como potencias
📝 Disposición de la división vertical
①A la izquierda el divisor primo, a la derecha el cociente
Es fácil llamar primo al 1, o pensar que la factorización cambia si divides en otro orden. El 1 tiene un solo divisor, así que no es primo ni compuesto, y el 2 es el único primo par. Dividas en el orden que dividas, los primos y los exponentes coinciden, así que hay una sola escritura. No pares en una división; sigue hasta que el cociente mismo sea primo.
②Puedes usar 2 cero, una, dos o tres veces → 4 opciones
③Puedes usar 3 cero, una o dos veces → 3 opciones
④4 × 3 = ¡12 divisores!
Conexión con MCD y mcm
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Calcular MCD y mcm con la factorización en primos
12
18
MCD
Toma el menor exponente de cada primo común
Solo los primos comunes, con el exponente mínimo
mcm
Toma el mayor exponente de cada primo
Todos los primos, con el exponente máximo
🔍 MCD × mcm = a × b
①MCD × mcm es igual al producto de los dos números
②Sabiendo el MCD, el mcm sale al instante
③¡Esta relación aparece muy a menudo en los exámenes!
Resuélvelo
Empieza por el primo más pequeño y sigue dividiendo hasta que el cociente sea primo. Agrupa los primos repetidos como potencias y, si preguntan cuántos divisores hay, suma 1 a cada exponente y multiplica. Empezar por primos grandes suele atascarse, así que comprueba primero los pequeños. Con ese orden basta para coincidir con la lista de círculos dorados de la cuadrícula.
Ejemplo 1
Halla la factorización en primos de 60.
1
Divide entre el primo menor 2: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15.
60 = 2 × 2 × 15
2
Como 15 = 3 × 5, escríbelo con exponentes.
60 = 2² × 3 × 5
▸ 60 = 2² × 3 × 5
Divide entre los primos menores por turno y agrupa en exponentes.
Ejemplo 2
Halla el número de divisores de 72.
1
Primero factoriza en primos.
72 = 2³ × 3²
2
Suma 1 a cada exponente y multiplica.
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
▸ 12 divisores
Número de divisores = producto de (cada exponente + 1).
Puntos clave de examen
Cuando el número está escrito con primos y exponentes, la lección siguiente puede tomar el MCD como los exponentes menores comunes y el mcm como los mayores de todos los primos. La identidad MCD×mcm=a×b está sobre esa misma escritura. Si mezclas mínimo y máximo, los dos se intercambian, así que alinea las listas de primos y compara exponentes en paralelo.
Resumen de factorización
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
Todo número compuesto se factoriza de forma única en primos
Tipo de examen escolar de 1.º ESO
Multiplicas 60 por un natural para obtener un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor?
①3
②5
③15
④30
⑤60
▸ ③ 15
1
De 60 = 2² × 3 × 5, un cuadrado perfecto exige todos los exponentes pares.
60 = 2² × 3 × 5
2
Multiplica por los primos de exponente impar 3 y 5 para hacerlos pares.