Descomponer en factores primos es escribir un número natural como producto de primos, números que ya no se pueden dividir más.
Si vas dividiendo un número compuesto, como quien desmonta un modelo pieza a pieza, solo quedan primos, y su producto es único salvo el orden en que se multiplican.
Los factores primos repetidos se agrupan en potencias; sumando 1 a cada exponente y multiplicando, sabes enseguida cuántos divisores tiene el número.
En esta página cambias el número para ver su tabla de divisores y su árbol de factores, y después sacas el m.c.d. y el m.c.m. de una tabla de exponentes de dos números.
Divisores, primos y factores primos
Para contar todos los divisores de un número, o para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, es más rápido escribir primero ese número como producto de primos que ya no se pueden dividir. A eso se le llama descomponer en factores primos, y los factores repetidos se agrupan en potencias. Lo que hace fiable el método es que, dividas en el orden que dividas, el resultado siempre es el mismo. La tabla de divisores de abajo empieza mostrando dónde están los números que dividen al número elegido y cuáles de ellos son primos.
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Tabla de divisores: los círculos dorados son factores primos; los azules, los demás divisores
36
La tabla de divisores tiene una casilla para cada número desde 1 hasta el elegido (como máximo 48). Los que dividen exactamente al número elegido aparecen en azul, y los que además son primos, en dorado: los círculos dorados son los factores primos. Si eliges 36, por ejemplo, se colorean 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, y solo 2 y 3 son dorados. Si eliges un primo, solo se colorean dos casillas: el 1 y el propio número.
🧱 Divisores, primos y factores primos
①Un divisor de un número lo divide exactamente. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12
②Un número primo es un natural mayor que 1 cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
③Un natural mayor que 1 que no es primo es compuesto. El 1 no es primo ni compuesto
④Un divisor que es primo se llama factor primo. Los factores primos de 12 son 2 y 3
El árbol de factores
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Árbol de factores: se separa cada vez el factor primo más pequeño hasta que en las hojas solo quedan primos
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Cómo descomponer
Se divide primero entre el primo más pequeño, 2, y se va subiendo
2 → 3 → 5 → 7 → … hasta que el cociente sea 1
Escribir con potencias
72 = 23 × 32
Los factores primos repetidos se agrupan en potencias
📝 La división en columna
①Se escribe a la derecha de la raya el primo entre el que se divide, y a la izquierda, debajo, cada cociente
②Para 72: 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, y se para cuando el cociente es el primo 3
③Multiplicando los primos usados y el último cociente: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
④En el árbol del dibujo, los números que caen en las hojas de la izquierda son los mismos que los divisores de la columna
Contar divisores
Es fácil tomar el 1 por primo, o pensar que el orden en que se divide cambia la descomposición. El 1 tiene un solo divisor, así que no es primo ni compuesto, y el 2 es el único primo par. Tanto si empiezas a dividir 72 entre 2 como entre 3, llegas a 2³ × 3². Hay que seguir dividiendo hasta que el cociente sea primo; si paras antes, queda un número compuesto.
Número de divisores
N = pa × qb → (a+1)(b+1)
Se suma 1 a cada exponente y se multiplica
Divisores de 72
72 = 23 × 32 → (3+1)(2+1) = 12
Si los cuentas, son 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72
💡 ¿Por qué sumar 1 a cada exponente?
①Cada divisor de 72 = 2³ × 3² se forma multiplicando unos cuantos 2 y unos cuantos 3
②El 2 puede usarse cero, una, dos o tres veces: 4 opciones
③El 3 puede usarse cero, una o dos veces: 3 opciones
④Combinando las opciones salen 4 × 3 = 12, así que hay 12 divisores. La clave es no olvidar la opción de «cero veces»
Enlace con el m.c.d. y el m.c.m.
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El m.c.d. y el m.c.m. sacados de la tabla de exponentes de dos números
12
18
m.c.d.
factores primos comunes, cada uno con el menor exponente
Solo se usan los factores primos que tienen los dos números
m.c.m.
todos los factores primos, cada uno con el mayor exponente
Se usan todos los factores primos que aparecen en alguno de los dos
🔍 m.c.d. × m.c.m. = A × B
①El m.c.d. por el m.c.m. es igual al producto de los dos números
②En la tabla de exponentes, en cada columna el exponente menor más el mayor es igual a la suma de los exponentes de los dos números
③Por eso, conociendo el m.c.d., el m.c.m. es A × B ÷ m.c.d.
Comprobar con ejemplos
Un problema de descomposición se resuelve dividiendo primero entre el primo más pequeño y repitiendo hasta que el cociente sea primo. Los primos repetidos se agrupan en potencias, y si preguntan por el número de divisores, se suma 1 a cada exponente y se multiplica. Empezar por un primo mayor da el mismo resultado, pero comprobar si la división es exacta resulta más incómodo. Los dos ejemplos de abajo siguen este orden.
Ejemplo 1
Descompón 60 en factores primos.
1
Se divide entre el primo más pequeño, 2: 60 ÷ 2 = 30 y 30 ÷ 2 = 15.
60 = 2 × 2 × 15
2
15 = 3 × 5, así que se ordena con potencias.
60 = 2² × 3 × 5
▸ 60 = 2² × 3 × 5
Si eliges 60 en el árbol, a la izquierda van cayendo 2, 2 y 3, y al final queda 5.
Ejemplo 2
¿Cuántos divisores tiene 72?
1
Primero se descompone.
72 = 2³ × 3²
2
Se suma 1 a cada exponente y se multiplica.
(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12
▸ 12
Si eliges 72 en el árbol, debajo aparece tal cual «(3 + 1) × (2 + 1) = 12».
Repaso para el examen
Con los números ya descompuestos, el m.c.d. y el m.c.m. del capítulo siguiente salen enseguida: el m.c.d. multiplica los factores primos comunes con el menor exponente, y el m.c.m., todos los factores primos con el mayor exponente. Confundir las dos reglas es un error frecuente, así que conviene escribir los exponentes de los dos números en filas, como en la tabla de arriba, y compararlos columna por columna.
La forma de una descomposición
N = p1a_1 × p2a_2 × ...
Todo natural mayor que 1 se escribe como producto de primos, y de una sola manera salvo el orden
Tipo examen de 1.º de ESO
Se multiplica 60 por un número natural para obtener un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor número por el que se puede multiplicar?
①3
②5
③15
④30
⑤60
▸ ③ 15
1
Un cuadrado perfecto tiene todos los exponentes pares en su descomposición.
60 = 2² × 3 × 5
2
Multiplicando una vez más por 3 y por 5, los exponentes impares pasan a ser pares.
60 × (3 × 5) = 900 = 30², número buscado = 15
🎯 Repaso para el examen
①El 1 no es primo ni compuesto
②El primo más pequeño es el 2, y es el único primo par
③La descomposición en factores primos es única salvo el orden
④El número de divisores es el producto de los (exponente + 1)