Factorización en primos

Prime Factorization

La factorización en primos descompone un número natural en un producto de primos, las piezas que ya no se pueden partir más. Igual que desarmas un modelo de LEGO pieza a pieza, todo número compuesto se escribe como producto de primos de una única manera. Agrupa los primos repetidos como potencias, suma uno a cada exponente y multiplica, y sabrás incluso cuántos divisores tiene el número. Aquí puedes cambiar el número y ver cómo el árbol de factores se ramifica hasta que cada hoja es un primo.

Intuición — descompón el número

Elegir número36

🧱 ¡Descompón como con LEGO!

①Divisor: número que divide a otro de forma exacta (divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12)

②Primo: solo tiene como divisores 1 y sí mismo (2, 3, 5, 7, 11, 13…)

③Factorización en primos: descomponer un natural como producto de primos

④Las piezas de LEGO = primos; la figura terminada = compuesto

Árbol de factores primos

Número a factorizar36

Procedimiento de factorización

Divide primero entre el menor primo (2)

2 → 3 → 5 → 7 → … repite hasta que el cociente sea 1

Notación exponencial

72 = 2³ × 3²

Agrupa los primos repetidos como potencias

📝 Disposición de la división vertical

①A la izquierda el divisor primo, a la derecha el cociente

②Ej.: 72 → 2|72 → 2|36 → 2|18 → 3|9 → 3

③Multiplica la columna izquierda: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²

④La factorización es única, sin importar el orden

Contar los divisores

Número de divisores

N = p^a × q^b → (a+1)(b+1)

Multiplica (exponente + 1) para cada primo

Ejemplo: divisores de 72

72 = 2³ × 3² → (3+1)(2+1) = 12

Comprueba: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

💡 ¿Por qué (exponente + 1)?

①Para formar un divisor de 72 = 2³ × 3²

②Puedes usar 2 cero, una, dos o tres veces → 4 opciones

③Puedes usar 3 cero, una o dos veces → 3 opciones

④4 × 3 = ¡12 divisores!

Conexión con MCD y mcm

Número A12

Número B18

MCD

Toma el menor exponente de cada primo común

Solo los primos comunes, con el exponente mínimo

mcm

Toma el mayor exponente de cada primo

Todos los primos, con el exponente máximo

🔍 MCD × mcm = a × b

①MCD × mcm es igual al producto de los dos números

②Sabiendo el MCD, el mcm sale al instante

③¡Esta relación aparece muy a menudo en los exámenes!

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla la factorización en primos de 60.

Divide entre el primo menor 2: 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15.

60 = 2 × 2 × 15

Como 15 = 3 × 5, escríbelo con exponentes.

60 = 2² × 3 × 5

▸ 60 = 2² × 3 × 5

Divide entre los primos menores por turno y agrupa en exponentes.

Ejemplo 2

Halla el número de divisores de 72.

Primero factoriza en primos.

72 = 2³ × 3²

Suma 1 a cada exponente y multiplica.

(3 + 1)(2 + 1) = 4 × 3 = 12

▸ 12 divisores

Número de divisores = producto de (cada exponente + 1).

Puntos clave de examen

Resumen de factorización

N = p₁^a_1 × p₂^a_2 × ...

Todo número compuesto se factoriza de forma única en primos

Tipo de examen escolar de 1.º ESO

Multiplicas 60 por un natural para obtener un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor?

①3

②5

③15

④30

⑤60

▸ ③ 15

De 60 = 2² × 3 × 5, un cuadrado perfecto exige todos los exponentes pares.

60 = 2² × 3 × 5

Multiplica por los primos de exponente impar 3 y 5 para hacerlos pares.

60 × (3 × 5) = 900 = 30², número = 15

🎯 Puntos de examen

①1 no es ni primo ni compuesto

②El menor primo = 2 (¡el único primo par!)

③La factorización es siempre única

④Número de divisores = producto de (exponente+1)

⑤MCD × mcm = a × b

MCD y mcm

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