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Estimación estadística

Statistical Estimation

Cuando no se puede estudiar toda la población, la estimación estadística usa los valores de una sola muestra para juzgar en qué intervalo es probable que esté la media poblacional. La media muestral oscila alrededor de la media poblacional con desviación típica σ/√n, así que el intervalo de confianza se construye poniendo la media muestral en el centro y añadiendo a cada lado un margen de error z × σ/√n. Subir el nivel de confianza hace mayor z y ensancha el intervalo, mientras que una muestra mayor reduce σ/√n y lo estrecha, así que hay que elegir un equilibrio. Al mover los deslizadores del tamaño muestral y del nivel de confianza, el intervalo se ensancha y se estrecha de verdad sobre una escala fija; debajo se ve además cuántos de ocho intervalos, cada uno de una muestra nueva, contienen la media poblacional.

Población y muestra

🔬 Qué es la estimación estadística
①Cuando es difícil estudiar toda la población, se juzga la población a partir de una muestra tomada de una parte de ella
②La media muestral calculada en la muestra estima la media poblacional
③La pregunta clave es cuánto se acerca la media muestral a la poblacional y qué error se admite

La distribución de la media muestral

25
10
Distribución de la media muestral
X̄ ∼ N(μ, σ2n)
La distribución de la media X̄ de una muestra de tamaño n cuando la población es N(μ, σ²)
💡 El efecto del tamaño muestral
①Al crecer n, la distribución de X̄ se estrecha
②Su desviación típica σ/√n se llama error típico, y multiplicar n por 4 lo reduce a la mitad
③Una σ mayor ensancha a la vez la distribución de la población y la de la media muestral
④La ley de los grandes números dice que la media muestral se acerca a la media poblacional al crecer n

Intervalos de confianza

36
95%
Intervalo de confianza para la media poblacional
x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n
El intervalo de confianza para la media poblacional μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ
📐 Nivel de confianza y z
①Con confianza del 90%, z = 1,645
②Con confianza del 95%, z = 1,96
③Con confianza del 99%, z = 2,576
④Subir el nivel de confianza ensancha el intervalo y aumentar n lo estrecha
⑤Entre los ocho intervalos de debajo de la figura, al subir el nivel de confianza aumentan los que contienen μ

Qué significa un intervalo de confianza

Margen de error
E = z × σ√n
La mitad de la anchura del intervalo de confianza
Tamaño muestral necesario
n ≥ (zσE)2
El tamaño muestral más pequeño que deja el margen de error en E o menos
⚠️ Aclarar un error frecuente
①Un «intervalo de confianza al 95%» no significa que «hay una probabilidad del 95% de que μ esté en este intervalo»
②Significa que, si se construyen muchos intervalos con el mismo método, alrededor del 95% de ellos contienen μ
③μ es un valor fijo; lo que cambia de una muestra a otra es el intervalo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
De una población con media μ = 100 y desviación típica σ = 20 se toma una muestra de tamaño n = 25. Halla la media y la desviación típica de la media muestral X̄.
1
La media de la media muestral coincide con la media poblacional, y su desviación típica es σ/√n.
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
2
Se ponen μ = 100, σ = 20 y n = 25.
E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4
▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4
La desviación típica de la media muestral (el error típico) disminuye al aumentar la muestra.
Ejemplo 2
Una muestra de tamaño n = 25 de una población con σ = 10 tiene media muestral 50. Halla el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional μ, sabiendo que P(|Z| ≤ 1,96) = 0,95.
1
El error típico es σ/√n = 10/5 = 2.
X̄ − 1,96·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + 1,96·σ/√n
2
Se resta y se suma a la media muestral el margen de error 1,96 × 2 = 3,92.
50 − 3,92 ≤ μ ≤ 50 + 3,92, es decir, 46,08 ≤ μ ≤ 53,92
▸ 46,08 ≤ μ ≤ 53,92
El intervalo de confianza es la media muestral ± (la z del nivel de confianza × el error típico).

Resumen

Idea clave
x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n
El intervalo de confianza para la media poblacional cuando se conoce σ
Tipo de examen CSAT Mat. (Probabilidad y Estadística)
Una muestra de tamaño n = 64 de una población con desviación típica σ da un intervalo de confianza al 95% para la media de longitud 4,9. Halla σ con el coeficiente de confianza 1,96.
①8
②9
③10
④11
⑤12
▸ ③ 10
1
La longitud del intervalo es el doble del margen de error (√64 = 8).
L = 2 × 1,96 × σ/√n
2
Se sustituyen los valores y se despeja σ.
4,9 = 2 × 1,96 × σ/8 = 0,49σ ⇒ σ = 10
🎯 Puntos clave del examen
①X̄ sigue N(μ, σ²/n)
②El error típico es σ/√n
③Con 95% se usa z = 1,96 y con 99%, z = 2,576
④El margen de error es E = zσ/√n
⑤Multiplicar n por 4 reduce el margen de error a la mitad
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