Estimación estadística

Statistical Estimation

Cuando no puedes estudiar toda una población, la estimación estadística usa una sola muestra para conjeturar el rango donde probablemente está la media poblacional. Como la media muestral oscila alrededor de la media poblacional con una amplitud de σ/√n, añades un margen de error a cada lado de esa media muestral para construir un intervalo de confianza. Subir el nivel de confianza al 95% agranda el valor z y ensancha el intervalo, mientras que aumentar la muestra lo estrecha: un verdadero compromiso. Mueve los deslizadores de tamaño muestral n y de nivel de confianza y el intervalo se ensancha y se estrecha; el 95% no es la probabilidad de que la media poblacional esté en este intervalo concreto.

Población y muestra

🔬 ¿Qué es la inferencia estadística?

①Cuando es difícil estudiar toda la población

②Inferimos lo total (población) desde una parte (muestra)

③Pregunta clave: ¿con qué precisión la media muestral estima la media poblacional?

Distribución de la media muestral

tamaño muestral n25

desviación poblacional σ10

Distribución de la media muestral

X̄ ∼ N(μ, σ²n)

Si la población es N(μ,σ²), X̄ sigue esta distribución

💡 Magia del tamaño muestral

①Cuanto mayor n, más estrecha es la distribución de X̄

②Error estándar = σ/√n; al cuadruplicar n, el error se reduce a la mitad

③Que el error estándar se reduzca es un hecho de la distribución muestral. La ley de los grandes números dice que la media muestral converge a la media poblacional

Intervalo de confianza

tamaño muestral n36

nivel de confianza (%)95%

IC para la media poblacional

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

Cuando σ es conocida

📐 Nivel de confianza y z

①90 %: z = 1.645

②95 %: z = 1,96

③99 %: z = 2,576

④Más confianza → intervalo más ancho. Más n → más estrecho

⑤El control elige 90, 95 y 99. La μ del ejemplo es la media poblacional

Interpretación del IC

Margen de error

E = z × σ√n

Mitad del ancho del intervalo

Tamaño muestral requerido

n ≥ (zσE)²

n mínimo para que el error sea ≤ E

⚠️ Errores comunes de interpretación

①«IC al 95 %» NO significa «la probabilidad de que μ esté aquí es 95 %»

②Significa: si construyes 100 intervalos así, alrededor de 95 contienen μ

③μ es fijo; el intervalo es aleatorio

Resuélvelo

Ejemplo 1

De una población con media μ = 100 y desviación σ = 20 se toma una muestra de tamaño n = 25. Halla la media y la desviación de la media muestral X̄.

La media de la media muestral es μ y su desviación es σ/√n.

E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n

Sustituye.

E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4

▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4

La desviación de la media muestral (error estándar) disminuye al crecer la muestra.

Ejemplo 2

De una población con σ = 10, una muestra de tamaño n = 25 tiene media muestral 50. Halla el intervalo de confianza al 95% para μ. (Dado P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95)

Sustituye en la fórmula del intervalo de confianza (σ/√n = 10/5 = 2).

X̄ − 1.96·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + 1.96·σ/√n

Suma y resta 1.96 × 2 = 3.92.

50 − 3.92 ≤ μ ≤ 50 + 3.92, es decir 46.08 ≤ μ ≤ 53.92

▸ 46.08 ≤ μ ≤ 53.92

Intervalo de confianza = media muestral ± (coeficiente de confianza × error estándar).

Resumen

Esencia

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

IC de μ cuando σ es conocida

tipo de examen

De una población con desviación σ, una muestra de tamaño n = 64 da un intervalo de confianza al 95% para la media de longitud 4.9. Halla σ. (Coeficiente de confianza 1.96)

①8

②9

③10

④11

⑤12

▸ ③ 10

Escribe la fórmula de la longitud del intervalo de confianza (√64 = 8).

L = 2 × 1.96 × σ/√n

Sustituye y despeja σ.

4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10

🎯 Puntos clave

①X̄ ~ N(μ, σ²/n)