Distribución de la media muestral

Distribution of Sample Mean

Si sigues extrayendo una muestra de una población y calculando su media, esas medias muestrales forman una distribución propia. Curiosamente, la media de las medias muestrales sigue siendo exactamente la media poblacional μ, pero su desviación típica se reduce a σ/√n, así que cuanto mayor es la muestra, más se agrupa la distribución en torno a la media poblacional. Como la anchura es inversamente proporcional a √n, cuadruplicar la muestra reduce a la mitad la dispersión, y cuando n es bastante grande la forma se acerca a una normal. Aumenta el deslizador de tamaño muestral n y la distribución de las medias muestrales se estrecha alrededor de la media poblacional.

Muestras mayores concentran la media

Tamaño muestral n16

👀 Velo

①La media muestral X̄ es a su vez una variable aleatoria que varía por muestra

②Al crecer n, la distribución de X̄ se estrecha en torno a la media poblacional

③El ancho es proporcional a σ/√n — cuadruplica n y el ancho se reduce a la mitad

④La media poblacional es μ. Teorema central del límite: si n es grande, X̄ es casi normal aunque la población no lo sea. El dibujo es solo la campana

Media y desviación de X̄

Esperanza y desviación de la media muestral

E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n

Media poblacional μ, desviación σ, tamaño n — la media se mantiene, la desviación escala por 1/√n

Aproximación normal

si n es grande, X̄ ~ N(μ, σ²/n)

Aunque la población no sea normal, para n grande la media muestral se aproxima a una normal

El efecto de √n

📏 El ancho es inversamente proporcional a √n

①Como σ(X̄)=σ/√n, la desviación es inversamente proporcional a √n

②Cuadruplicar n reduce la desviación a la mitad

③Para duplicar la precisión hay que cuadruplicar la muestra

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1

De una población de media 50 y desviación 8 se toma una muestra de tamaño 16. Halla la media y la desviación de la media muestral.

Sustituye en E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n.

E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16

Calcula con √16=4.

σ(X̄) = 8/4 = 2

▸ media 50, desviación 2

La media sigue siendo la poblacional; solo la desviación se divide por √n.

Ejemplo 2

De la misma población, si el tamaño muestral crece a 64, ¿cuál es la desviación de la media muestral?

σ(X̄)=8/√64.

Calcula con √64=8.

σ(X̄) = 8/8 = 1

▸ 1 (n ×4 → desviación ×1/2)

Crecer n de 16 a 64 (×4) reduce la desviación de 2 a 1.

Resumen

Resultado clave

E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n, (n grande) X̄ ~ N(μ, σ²/n)

La media muestral tiene media μ y desviación σ/√n — para n grande es normal

tipo de examen

De una población con desviación 10 se toma una muestra de tamaño 25. ¿Cuál es la desviación de la media muestral?

①0.4

②2

③5

④10

⑤50

▸ ② 2

Pon σ=10, n=25 en σ(X̄)=σ/√n.

σ(X̄) = 10/√25

Calcula con √25=5.

σ(X̄) = 10/5 = 2

🎯 Puntos de examen

①E(X̄)=μ (igual a la media poblacional)

②σ(X̄)=σ/√n (divide por √n)

③para n grande, X̄~N(μ, σ²/n)

④duplicar la precisión exige 4× la muestra

⑤no confundas la varianza V(X̄)=σ²/n

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Estimación estadística

Límite de una sucesión

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