Si sigues extrayendo una muestra de una población y calculando su media, esas medias muestrales forman una distribución propia.
Curiosamente, la media de las medias muestrales sigue siendo exactamente la media poblacional μ, pero su desviación típica se reduce a σ/√n, así que cuanto mayor es la muestra, más se agrupa la distribución en torno a la media poblacional.
Como la anchura es inversamente proporcional a √n, cuadruplicar la muestra reduce a la mitad la dispersión, y cuando n es bastante grande la forma se acerca a una normal.
Aumenta el deslizador de tamaño muestral n para ver cómo la distribución de las medias muestrales se estrecha alrededor de la media poblacional.
Muestras mayores concentran la media
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Al crecer el tamaño muestral n, la distribución de la media muestral X̄ se estrecha alrededor de la media poblacional
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👀 Velo
①La media muestral X̄ es a su vez una variable aleatoria que varía por muestra
②Al crecer n, la distribución de X̄ se estrecha en torno a la media poblacional
③El ancho es proporcional a σ/√n — cuadruplica n y el ancho se reduce a la mitad
Media y desviación de X̄
Esperanza y desviación de la media muestral
E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n
Media poblacional m, desviación σ, tamaño n — la media se mantiene, la desviación escala por 1/√n
Aproximación normal
si n es grande, X̄ ~ N(m, σ²/n)
Aunque la población no sea normal, para n grande la media muestral se aproxima a una normal
El efecto de √n
📏 El ancho es inversamente proporcional a √n
①Como σ(X̄)=σ/√n, la desviación es inversamente proporcional a √n
②Cuadruplicar n reduce la desviación a la mitad
③Para duplicar la precisión hay que cuadruplicar la muestra
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
De una población de media 50 y desviación 8 se toma una muestra de tamaño 16. Halla la media y la desviación de la media muestral.
1
Sustituye en E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n.
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
Calcula con √16=4.
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ media 50, desviación 2
La media sigue siendo la poblacional; solo la desviación se divide por √n.
Ejemplo 2
De la misma población, si el tamaño muestral crece a 64, ¿cuál es la desviación de la media muestral?
1
σ(X̄)=8/√64.
2
Calcula con √64=8.
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1 (n ×4 → desviación ×1/2)
Crecer n de 16 a 64 (×4) reduce la desviación de 2 a 1.
Resumen
Resultado clave
E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n, (n grande) X̄ ~ N(m, σ²/n)
La media muestral tiene media m y desviación σ/√n — para n grande es normal
Tipo de CSAT 2021 Mat., adaptado
De una población con desviación 10 se toma una muestra de tamaño 25. ¿Cuál es la desviación de la media muestral?