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Distribución de la media muestral

Distribution of Sample Mean

Si se toma una muestra de tamaño n de una población y se calcula su media, y eso se repite muchas veces, las medias muestrales forman a su vez una distribución. La media de las medias muestrales coincide con la media poblacional μ, pero su desviación típica se reduce a σ/√n, así que cuanto mayor es la muestra, más se agrupan las medias muestrales alrededor de la media poblacional. Como la anchura es inversamente proporcional a √n, una muestra 4 veces mayor reduce la dispersión a la mitad, y con n suficientemente grande la distribución se acerca a la normal sea cual sea la forma de la población. Al aumentar el deslizador del tamaño muestral n, frente a la curva discontinua y tenue de la población, la distribución azul de la media muestral se estrecha alrededor de μ, y la línea de debajo indica qué múltiplo de σ es su desviación típica.

Muestras más grandes concentran la media

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👀 Cómo leer la figura
①La media muestral X̄ también es una variable aleatoria, porque su valor cambia de una muestra a otra
②La curva discontinua y tenue es la distribución de la población, y la curva azul es la distribución de la media X̄ de una muestra de tamaño n
③Al crecer n, la distribución de X̄ se vuelve más estrecha y alta alrededor de μ, y alrededor del 68% de X̄ cae en la franja sombreada μ ± σ/√n
④La figura dibuja una población normal, pero por el teorema central del límite X̄ se acerca a la normal para n grande aunque la población no sea normal

Media y desviación típica de la media muestral

Esperanza y desviación típica de la media muestral
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
Media poblacional μ, desviación típica poblacional σ, tamaño muestral n. La media no cambia y la desviación típica se multiplica por 1/√n
Aproximación normal
si n es grande, X̄ ~ N(μ, σ²/n)
Aunque la población no sea normal, X̄ se acerca a una normal cuando n es grande

El efecto de √n

📏 La anchura es inversamente proporcional a √n
①Como σ(X̄) = σ/√n, la desviación típica es inversamente proporcional a √n
②Multiplicar n por 4 multiplica la desviación típica por 1/2
③Para reducir la dispersión a la mitad hace falta una muestra 4 veces mayor, y para reducirla a la décima parte, una 100 veces mayor

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
De una población de media 50 y desviación típica 8 se toma una muestra de tamaño 16. Halla la media y la desviación típica de la media muestral.
1
Se sustituye en E(X̄) = μ y σ(X̄) = σ/√n.
E(X̄) = 50, σ(X̄) = 8/√16
2
Se divide entre √16 = 4.
σ(X̄) = 8/4 = 2
▸ media 50, desviación típica 2
La media sigue igual a la media poblacional; solo la desviación típica se divide entre √n.
Ejemplo 2
Con la misma población, ¿cuál es la desviación típica de la media muestral si el tamaño muestral sube a 64?
1
σ(X̄) = 8/√64.
2
Se divide entre √64 = 8.
σ(X̄) = 8/8 = 1
▸ 1 (n es 4 veces mayor, así que la desviación típica es 1/2)
Al multiplicar n por 4, de 16 a 64, la desviación típica baja a la mitad, de 2 a 1.

Resumen

Ideas clave
E(X̄)=μ, σ(X̄)=σ/√n, (n grande) X̄ ~ N(μ, σ²/n)
La media muestral tiene media μ y desviación típica σ/√n, y para n grande es casi normal
Tipo de examen CSAT 2021 Mat., adaptado
De una población con desviación típica 10 se toma una muestra de tamaño 25. ¿Cuál es la desviación típica de la media muestral?
①0,4
②2
③5
④10
⑤50
▸ ② 2
1
Se ponen σ = 10 y n = 25 en σ(X̄) = σ/√n.
σ(X̄) = 10/√25
2
Se divide entre √25 = 5.
σ(X̄) = 10/5 = 2
🎯 Puntos clave del examen
①E(X̄) = μ, igual a la media poblacional
②σ(X̄) = σ/√n, es decir, se divide entre √n
③Para n grande, X̄ se parece a N(μ, σ²/n)
④Para reducir la dispersión a la mitad, la muestra se hace 4 veces mayor
⑤No hay que confundir la varianza V(X̄) = σ²/n con la desviación típica σ/√n
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