Distribución normal

Normal Distribution

Los datos muy comunes en la naturaleza, como la estatura o el peso, se acumulan en una forma de campana que se abomba en el centro, y eso es la distribución normal. La media μ fija dónde se centra la campana y la desviación típica σ fija su anchura, y alrededor del 68, 95 y 99.7% siempre cae dentro de ±1σ, 2σ y 3σ del centro. Distintas distribuciones normales pueden unirse en una sola normal estándar Z, de media 0 y desviación 1, al estandarizarlas, y así se vuelven comparables. Usa los deslizadores de media μ y desviación σ y la campana se desplaza y se estrecha o se ensancha; mueve el valor z y cambia el área (probabilidad).

La curva de campana

🔔 ¿Qué es la distribución normal?

①Distribución acampanada que aparece en muchos fenómenos naturales y sociales

②Simétrica respecto a la media μ

③σ más pequeño: más estrecha y alta. σ mayor: más plana

④Área total = 1 (suma de probabilidades)

Curva N(μ, σ²)

media μ50

desviación σ10

Densidad de probabilidad

f(x) = 1σ√(2π) exp(-(x-μ)²/(2σ²))

Densidad de N(μ, σ²). Solo la forma. Las probabilidades se leen en la tabla Z tras estandarizar. La m del ejemplo es μ

📏 Regla 68-95-99,7

①μ ± 1σ: aprox. 68,3 %

②μ ± 2σ: aprox. 95,4 %

③μ ± 3σ: aprox. 99,7 %

④σ mayor: más dispersión

Distribución normal estándar Z

valor z ×1015

Estandarización

Z = X - μσ

Convierte N(μ,σ²) a N(0,1)

💡 Idea de la estandarización

①Cualquier normal se puede llevar a N(0,1) con Z

②Una sola tabla normal estándar cubre todos los casos

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

Binomial y normal

Aproximación normal a la binomial

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n suficientemente grande)

Para n grande, la binomial se aproxima a una normal

Resuélvelo

Ejemplo 1

Si X sigue la distribución normal N(50, 10²), tipifica X = 70 para hallar su valor Z.

Escribe la fórmula de tipificación.

Z = (X − μ)/σ

Sustituye μ = 50, σ = 10.

Z = (70 − 50)/10 = 2

▸ Z = 2

Tipificar resta la media y divide por la desviación típica para obtener N(0, 1).

Ejemplo 2

Si X sigue N(50, 10²), halla P(50 ≤ X ≤ 70). (Dado P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)

Tipifica: X = 50 da Z = 0, X = 70 da Z = 2.

P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)

Lee el valor de la tabla normal estándar.

= 0.4772

▸ 0.4772

Una probabilidad normal se halla tipificando y leyendo la tabla normal estándar (área).

Resumen

Esencia

Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ²)

Distribución normal y estandarización

Tipo de simulacro KICE Mat. (Probabilidad y estadística)

Si X sigue la distribución normal N(60, 8²), ¿cuánto vale P(X ≥ 60)?

①0.1587

②0.3413

③0.5

④0.6587

⑤0.8413

▸ ③ 0.5

Una distribución normal es simétrica respecto de su media μ.

P(X ≥ μ) = 0.5

Como μ = 60, es exactamente 0.5.

P(X ≥ 60) = 0.5

🎯 Puntos clave

①Estandariza con Z = (X−μ)/σ

②Lee P(0≤Z≤z) en la tabla

③Regla 68-95-99,7

④P(Z≥a) = 0,5 − P(0≤Z≤a)

⑤Binomial → normal cuando n es grande

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Distribución de probabilidad

Estimación estadística

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