Los datos que abundan en la naturaleza, como la estatura o el peso, se acumulan en forma de campana abultada en el centro, y la distribución que describe esa forma es la distribución normal.
La media μ fija dónde está el centro de la campana y la desviación típica σ fija su anchura; en cualquier distribución normal, alrededor del 68,3% cae dentro de μ ± σ, alrededor del 95,4% dentro de μ ± 2σ y alrededor del 99,7% dentro de μ ± 3σ.
Distribuciones normales con medias y desviaciones distintas se reúnen en una sola normal estándar, de media 0 y desviación típica 1, al cambiar X por Z = (X − μ)/σ, y así basta una tabla para leer sus probabilidades.
Al mover el deslizador de la media μ la campana se desplaza a los lados, con σ se vuelve estrecha y alta o ancha y baja, y en la figura de abajo, al mover z, el área de 0 a z se lee directamente como probabilidad.
La curva en forma de campana
🔔 Qué es la distribución normal
①Es la distribución en forma de campana que siguen los datos formados por muchos efectos pequeños sumados, como la estatura, el peso o los errores de medida
②Es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por la media μ
③El área total bajo la curva es 1, y el área sobre un intervalo es la probabilidad de caer en él
④Como el área siempre es 1, una σ pequeña la hace estrecha y alta, y una σ grande la hace ancha y baja
La curva N(μ, σ²)
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La curva normal sobre un eje de 0 a 100, que cambia con la media y la desviación típica
Densidad de la distribución normal
f(x) = 1σ√(2π) exp(-(x-μ)²/(2σ²))
La función de densidad de N(μ, σ²). Fija la forma de la curva; las probabilidades se leen en una tabla después de tipificar
📏 La regla 68 · 95 · 99,7
①Dentro de μ ± σ queda alrededor del 68,3% del total
②Dentro de μ ± 2σ queda alrededor del 95,4%
③Dentro de μ ± 3σ queda alrededor del 99,7%
④En el punto μ + σ, donde termina la flecha blanca, la curva cambia el sentido en que se dobla; σ es la distancia del centro al hombro de la campana
La distribución normal estándar Z
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Bajo la normal estándar N(0, 1), el área de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z)
Tipificación
Z = X - μσ
Convierte X, que sigue N(μ, σ²), en Z, que sigue N(0, 1)
💡 Qué significa tipificar
①Z indica a cuántas desviaciones típicas de la media está X
②Cualquier distribución normal, una vez tipificada, se reúne en la única N(0, 1)
③Por eso basta una tabla de la normal estándar para calcular probabilidades de cualquier normal
④P(a ≤ X ≤ b) = P((a − μ)/σ ≤ Z ≤ (b − μ)/σ)
⑤Como muestra la segunda línea de la figura, la simetría hace que P(−z ≤ Z ≤ z) sea el doble de P(0 ≤ Z ≤ z); para z = 1 vale alrededor de 0,6826, de acuerdo con la regla del 68,3%