Como el número que sale al lanzar un dado, una variable aleatoria convierte el resultado de un ensayo en un número.
Al emparejar cada valor que puede tomar una variable aleatoria con su probabilidad se obtiene una distribución de probabilidad, y la esperanza, que se halla multiplicando cada valor por su probabilidad y sumando, es el punto donde las barras quedan en equilibrio.
Cuánto se alejan los valores de la esperanza se mide con la varianza y la desviación típica, y el número de éxitos en n ensayos independientes sigue la distribución binomial B(n, p).
Al mover el deslizador del número de caras del dado cambian juntos el punto de apoyo y su cálculo; al cambiar el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p, el pico de la binomial se desplaza hacia np.
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
📊 Qué es una distribución de probabilidad
①Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un ensayo
②Una distribución de probabilidad empareja los valores que puede tomar una variable aleatoria con sus probabilidades, en una tabla o una fórmula
③Las probabilidades de todos los valores suman siempre 1
Esperanza y varianza
6
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La distribución de un dado de n caras y el punto de apoyo donde las barras se equilibran (la esperanza)
Esperanza (media)
E(X) = Σ xi × P(X = xi)
Cada valor por su probabilidad, todo sumado; el centro de masas del diagrama de barras
Varianza
V(X) = E(X2) − {E(X)}2
El promedio, ponderado por las probabilidades, del cuadrado de la distancia a la esperanza
Desviación típica
σ(X) = √V(X)
La raíz cuadrada positiva de la varianza; da la dispersión en las mismas unidades que los valores
La distribución binomial B(n, p)
6
0,5
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Diagrama de barras de la binomial B(n, p) y la posición de la esperanza np
Probabilidad binomial
P(X = k) = nCk pk (1-p)n-k
La probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes. Es la fórmula del capítulo anterior, y la k de aquí hace el papel de la r de allí
Media y varianza de la binomial
E(X) = np, V(X) = np(1−p)
B(n, p) tiene esperanza np y varianza np(1 − p). Con n = 1, V = p(1 − p)
Propiedades de la esperanza y la varianza
Linealidad de la esperanza
E(aX + b) = aE(X) + b
Si cada valor se multiplica por a y se le suma b, la esperanza también se multiplica por a y se le suma b
Propiedad de la varianza
V(aX + b) = a²V(X)
Sumar b a cada valor solo desplaza los valores y no cambia la dispersión; multiplicar por a estira las distancias a veces, así que la varianza se multiplica por a²
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Una variable aleatoria X tiene P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2 y P(X = 2) = 1/4. Halla la esperanza E(X).
1
Se multiplica cada valor por su probabilidad y se suma todo.
E(X) = Σ x · P(X = x)
2
Se sustituyen los valores y se calcula.
= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1
▸ E(X) = 1
La distribución es simétrica respecto de 1, así que la esperanza 1 se ve antes de calcular.
Ejemplo 2
Para la misma X, halla la varianza V(X), sabiendo que E(X) = 1.
1
Como V(X) = E(X²) − {E(X)}², primero se halla E(X²).
E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2
2
Se sustituye el valor obtenido.
V(X) = 3/2 − 1² = 1/2
▸ V(X) = 1/2
E(X²) eleva cada valor al cuadrado antes de multiplicar por su probabilidad y sumar; no hay que confundirlo con {E(X)}².
Resumen
Ideas clave
P(X=k) = nCk pk(1-p)n-k, E(X)=np
Probabilidad binomial y esperanza
Tipo de simulacro KICE Mat. (Probabilidad y Estadística)
Para una variable aleatoria X con E(X) = 3, ¿cuánto vale E(2X + 1)?
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
Se usa la linealidad de la esperanza.
E(aX + b) = aE(X) + b
2
Se sustituye E(X) = 3.
= 2·3 + 1 = 7
🎯 Puntos clave del examen
①En una distribución de probabilidad todas las probabilidades suman 1