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Mis palabras

Distribución de probabilidad

Probability Distribution

Una variable aleatoria convierte el resultado de un experimento en un número, como los puntos que salen al lanzar un dado. Organiza en una tabla la probabilidad de cada número y tendrás una distribución de probabilidad, cuyo centro de masa es justamente el valor esperado. Lo dispersa que está se mide con la varianza y la desviación típica, y contar los éxitos en muchos ensayos independientes da la distribución binomial B(n, p). Mueve el número de caras del dado y se ve dónde queda el valor esperado (el punto de equilibrio); cambia el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p y se desplaza el pico del gráfico de barras.

Variable aleatoria y distribución

📊 ¿Qué es una distribución de probabilidad?
①Variable aleatoria: asigna un número al resultado del experimento
②Distribución: tabla o función con la probabilidad de cada valor
③La suma de probabilidades vale siempre 1

Esperanza y varianza

6
Esperanza (media)
E(X) = Σ xi × P(X = xi)
Media o centro de masas de la variable
Varianza
V(X) = E(X2) − {E(X)}2
Promedio del cuadrado de las desviaciones
Desviación típica
σ(X) = √V(X)
Raíz positiva de la varianza

Distribución binomial B(n, p)

6
5
Probabilidad binomial
P(X = k) = nCk pk (1-p)n-k
Probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes. La misma fórmula que la página anterior. Aquí k es la r de aquella
Media y varianza de la binomial
E(X) = np, V(X) = np(1−p)
B(n, p). Si n = 1, V = p(1−p)

Propiedades

Linealidad de la esperanza
E(aX + b) = aE(X) + b
Las constantes salen directamente
Propiedad de la varianza
V(aX + b) = a²V(X)
La varianza mide la distancia a la media, así que b desaparece y a se eleva al cuadrado

Resuélvelo

Ejemplo 1
Una variable aleatoria X tiene P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4. Halla la esperanza E(X).
1
La esperanza multiplica cada valor por su probabilidad y suma.
E(X) = Σ x · P(X = x)
2
Sustituye.
= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1
▸ E(X) = 1
La esperanza es una media de los valores ponderada por sus probabilidades.
Ejemplo 2
Para la misma X, halla la varianza V(X). (E(X) = 1)
1
V(X) = E(X²) − {E(X)}². Primero halla E(X²).
E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2
2
Sustituye.
V(X) = 3/2 − 1² = 1/2
▸ V(X) = 1/2
La varianza resta el cuadrado de la media a E(X²).

Resumen

Esencia
P(X=k) = nCk pk(1-p)n-k, E(X)=np
Probabilidad binomial y esperanza
Tipo de simulacro KICE Mat. (Probabilidad y estadística)
Para una variable aleatoria X con E(X) = 3, ¿cuánto vale E(2X + 1)?
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
Usa la linealidad de la esperanza.
E(aX + b) = aE(X) + b
2
Sustituye.
= 2·3 + 1 = 7
🎯 Puntos clave
①Tabla de probabilidad: suma = 1
②E(X) = Σx·P(x), V(X) = E(X²) − {E(X)}²
③Binomial: B(n,p) → E = np, V = np(1−p)
④E(aX+b) = aE(X)+b
⑤V(aX+b) = a²V(X)
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