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2°-3° Bachillerato (16-18 años)

Ensayos independientes

Independent Trials

Lanza una moneda varias veces y el número de caras cambia en cada tanda, pero la probabilidad de cada recuento esconde una regla clara. Un ensayo independiente repite n veces el mismo ensayo con una probabilidad de éxito fija p, y la probabilidad de exactamente r éxitos en n queda fijada por las formas de colocar los éxitos multiplicadas por las probabilidades de éxito y fracaso. Reúne estas probabilidades por número de éxitos y aparece la distribución binomial con forma de campana. Arrastra el deslizador de éxitos r para ver qué barra se resalta y cómo P(X=r) sube y baja.

Repite el mismo ensayo
2
👀 Velo
①Un ensayo independiente repite el mismo ensayo de forma independiente cada vez
②La probabilidad de r éxitos en n es la altura de una barra
③Reunir las probabilidades por número de éxitos da la forma binomial
La fórmula de ensayos independientes
Probabilidad de ensayos independientes
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
r éxitos en n — C(n,r) cuenta las formas de colocar los éxitos
Producto de tres piezas
C(n,r) × pr × (1−p)n-r
①colocación C(n,r) ②r éxitos pʳ ③(n−r) fracasos (1−p)ⁿ⁻ʳ
En qué difiere de sucesos independientes
🔁 El número de repeticiones es clave
①Sucesos independientes: ocurrencia conjunta P(A∩B)=P(A)P(B)
②Ensayos independientes: la distribución de repetir un ensayo n veces
③Si aparecen un número de repeticiones n y de éxitos r, es un ensayo independiente
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
Halla la probabilidad de obtener cara exactamente 2 veces en 4 lanzamientos de moneda.
1
Pon n=4, p=1/2, r=2 en la fórmula.
C(4,2) (1/2)2 (1/2)2
2
Calcula.
= 6 × 116 = 38
▸ 3/8
Si p=1/2, (1/2)ⁿ es común, así que solo importa el coeficiente C(n,r).
Ejemplo 2
Halla la probabilidad de sacar un 6 exactamente una vez en 3 lanzamientos de dado.
1
n=3, p=1/6, r=1.
C(3,1) (1/6)1 (5/6)2
2
Calcula.
= 3 × 16 × 2536 = 2572
▸ 25/72
No olvides la potencia de la probabilidad de fracaso (1−p)=5/6.
Resumen
Resultado clave
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
r éxitos en n repeticiones — producto de colocación, éxitos y fracasos
Tipo de CSAT 2020 Mat., adaptado
Si un disparo acierta con probabilidad 1/3, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 2 veces en 5 disparos?
①40/243
②80/243
③10/243
④40/81
⑤8/81
▸ ② 80/243
1
Pon n=5, p=1/3, r=2 en la fórmula.
C(5,2) (1/3)2 (2/3)3
2
Calcula.
= 10 × 19 × 827 = 80243
🎯 Puntos de examen
①P(X=r)=C(n,r)pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ
②C(n,r) coloca los éxitos
③la potencia de la prob. de fracaso (1−p) es esencial
④distingue "exactamente r" de "al menos r" (complemento)
⑤distingue sucesos independientes P(A)P(B) de ensayos independientes (repetición)
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