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Ensayos independientes

Independent Trials

Si se lanza una moneda varias veces, el número de caras cambia cada vez, pero la probabilidad de cada recuento sigue una regla clara. Repetir n veces el mismo ensayo, con probabilidad de éxito p y sin que un ensayo influya en los demás, se llama ensayos independientes; la probabilidad de exactamente r éxitos es el número de formas de colocar los éxitos, C(n, r), por la probabilidad de éxito pʳ y la de fracaso (1 − p)ⁿ⁻ʳ. Al ordenar estas probabilidades según el número de éxitos aparece la forma abombada de la distribución binomial. Al mover el deslizador del número de éxitos r cambian a la vez un ejemplo de colocación de los éxitos y la barra correspondiente, y debajo de la figura se escribe el producto de las tres piezas.

Repetir el mismo ensayo

2
👀 Cómo leer la figura
①Los ensayos independientes repiten el mismo ensayo de modo que ningún resultado influye en el siguiente
②Los seis círculos de arriba son los 6 ensayos y los rellenos son éxitos; r éxitos se pueden colocar de C(6, r) formas
③Una colocación tiene probabilidad (1/3)ʳ(2/3)⁶⁻ʳ, así que la altura de una barra es el número de colocaciones por este valor
④Al juntar las barras de cada recuento sale la forma binomial, y en esta figura la más alta es r = 2

La fórmula de los ensayos independientes

Probabilidad en ensayos independientes
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
La probabilidad de r éxitos en n ensayos. C(n, r) cuenta las formas de elegir dónde van los éxitos; el capítulo siguiente escribe la misma fórmula con ₙCₖ
Producto de tres piezas
C(n,r) × pr × (1−p)n-r
①elegir los lugares C(n, r) ②r éxitos pʳ ③n − r fracasos (1 − p)ⁿ⁻ʳ

En qué se diferencia de los sucesos independientes

🔁 La clave es el número de repeticiones
①Dos sucesos son independientes cuando su probabilidad conjunta es P(A ∩ B) = P(A)P(B)
②Los ensayos independientes tratan la probabilidad del número de éxitos al repetir n veces el mismo ensayo
③Cuando un problema da un número de repeticiones n y un número de éxitos r, se usa la probabilidad de los ensayos independientes

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Se lanza una moneda 4 veces. Halla la probabilidad de obtener cara exactamente 2 veces.
1
Se ponen n = 4, p = 1/2, r = 2 en la fórmula.
C(4,2) (1/2)2 (1/2)2
2
Se multiplican las tres piezas.
= 6 × 116 = 38
▸ 3/8
Con p = 1/2, pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ siempre vale (1/2)ⁿ, así que solo hay que comparar C(n, r).
Ejemplo 2
Se lanza un dado 3 veces. Halla la probabilidad de que el 6 salga exactamente 1 vez.
1
Aquí n = 3, p = 1/6, r = 1.
C(3,1) (1/6)1 (5/6)2
2
Se multiplican las tres piezas.
= 3 × 16 × 2536 = 2572
▸ 25/72
Si se olvida el cuadrado de 5/6, la probabilidad de no sacar un 6, sale la respuesta equivocada 1/2.

Resumen

Idea clave
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
La probabilidad de r éxitos en n ensayos es el producto de tres piezas: lugares, éxitos y fracasos
Tipo de examen CSAT 2020 Mat., adaptado
Si un disparo acierta con probabilidad 1/3, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 2 veces en 5 disparos?
①40/243
②80/243
③10/243
④40/81
⑤8/81
▸ ② 80/243
1
Se ponen n = 5, p = 1/3, r = 2 en la fórmula.
C(5,2) (1/3)2 (2/3)3
2
Se multiplican las tres piezas.
= 10 × 19 × 827 = 80243
🎯 Puntos de examen
①P(X = r) = C(n, r) pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ
②C(n, r) es el número de formas de elegir dónde van los éxitos
③No hay que olvidar la potencia de la probabilidad de fracaso (1 − p)
④Hay que distinguir «exactamente r veces» de «al menos r veces»; «al menos» suele salir antes por el complementario
⑤Hay que distinguir los sucesos independientes, que multiplican P(A)P(B), de los ensayos independientes, que tratan la repetición
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