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Probabilidad condicional

Conditional Probability

Cuando se sabe que algo ya ha ocurrido, el mismo suceso puede tener otra probabilidad. La probabilidad condicionada P(A|B) reduce el espacio muestral a B, sabiendo que B ha ocurrido, y vuelve a medir qué parte de él ocupa A; la regla del producto y el teorema de Bayes salen de esta idea. El teorema de Bayes razona hacia atrás, del resultado a la probabilidad de la causa, y por eso, con una enfermedad rara, un test positivo deja una probabilidad sorprendentemente baja de tenerla de verdad. En la primera figura, los deslizadores de las casillas de A, B y A∩B reparten un espacio muestral de 10 casillas y luego separan B y lo amplían; en la segunda, al mover el deslizador de prevalencia cambia la proporción de enfermos reales entre quienes dan positivo.

Cómo cambia una condición la probabilidad

🔍 Qué es la probabilidad condicionada
①La probabilidad del suceso A sabiendo que ha ocurrido el suceso B se escribe P(A|B)
②Conocer la condición reduce el espacio muestral de todo S a B
③Por eso el denominador pasa a ser P(B), y en el numerador queda la parte de A dentro de B, P(A ∩ B)

Reducir el espacio muestral a B

4
5
2
Definición de probabilidad condicionada
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
La probabilidad de A cuando ha ocurrido B (P(B) > 0)
Regla del producto
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)
La probabilidad de que ocurran los dos sucesos es la probabilidad de uno por una probabilidad condicionada

El teorema de Bayes

1%
🏥 Por qué un positivo puede dejar una probabilidad baja
①Esta prueba da positivo en el 95% de los enfermos y negativo en el 90% de los sanos
②Con una prevalencia del 1%, de 1000 personas los 10 enfermos dan 9,5 positivos y las 990 sanas dan 99 falsos positivos
③De los 108,5 positivos solo 9,5 son enfermos, así que P(D|+) es de alrededor del 8,8%
④Cuando la probabilidad previa (la prevalencia) es baja, la probabilidad después de un positivo (la posterior) también sale baja
⑤El denominador P(+) es la probabilidad total de las dos ramas, P(+|D)P(D) + P(+|Dᶜ)P(Dᶜ)
Teorema de Bayes
P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)
Va del resultado B hacia atrás, a la probabilidad de la causa A

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Si P(A) = 1/2 y P(A∩B) = 1/3, halla la probabilidad condicional P(B|A).
1
La condición es A, así que P(A) va en el denominador.
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
2
Se sustituyen los valores dados y se calcula.
= (1/3)/(1/2) = 2/3
▸ 2/3
Se busca P(B|A), así que la condición es A. Si se pone P(B) en el denominador, el resultado es erróneo.
Ejemplo 2
En una clase de 30 alumnos, 18 llevan gafas y 12 de ellos son chicos. Si se elige un alumno con gafas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un chico?
1
La condición es llevar gafas, así que el espacio muestral se reduce a esos 18 alumnos.
P(chico | gafas) = (chicos con gafas)/(usuarios de gafas)
2
Se halla la parte de los 18 que ocupan los 12 chicos.
= 12/18 = 2/3
▸ 2/3
Los 30 alumnos de la clase no se usan, porque la condición cambia el espacio muestral a 18.

Resumen

Ideas clave
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)
La definición de probabilidad condicionada y el teorema de Bayes
Tipo de simulacro provincial
Para dos sucesos A y B con P(A) = 0,4 y P(B|A) = 0,5, ¿cuánto vale P(A∩B)?
①0,1
②0,2
③0,3
④0,4
⑤0,5
▸ ② 0,2
1
Es la probabilidad de que ocurran los dos sucesos, así que se usa la regla del producto.
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
2
Se sustituyen los valores y se multiplica.
= 0,4 × 0,5 = 0,2
🎯 Puntos clave del examen
①P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B); el suceso de la condición va en el denominador
②La regla del producto P(A ∩ B) = P(B) P(A|B) da la probabilidad de que ocurran los dos
③Si A y B son independientes, P(A|B) = P(A)
④P(A|B) y P(B|A) son en general distintas
⑤En un diagrama de árbol se multiplica a lo largo de cada rama y se suman las ramas que llevan al mismo resultado
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