Probabilidad condicional

Conditional Probability

En cuanto sabes que algo ya ha ocurrido, la probabilidad de ese mismo suceso puede cambiar. Si B ya ocurrió, reduces el espacio muestral a B y vuelves a mirar A; de ahí siguen la regla de la multiplicación y el teorema de Bayes. Según Bayes puedes razonar del efecto a la causa, así que si la prevalencia es baja un positivo puede seguir siendo una probabilidad real más baja de lo que parece. Mueve los deslizadores de P(A), P(B) y P(A∩B) para seguir el cambio de P(A|B), y con el de prevalencia lee qué significa de verdad un positivo.

Una condición cambia la probabilidad

🔍 ¿Qué es la probabilidad condicional?

①Probabilidad de A dado que B ya ha ocurrido

②El espacio muestral pasa de S a B

③Es como mirar A con las «gafas» de B

Visualización de P(A|B)

P(A)×104

P(B)×105

P(A∩B)×102

Definición de probabilidad condicional

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

Probabilidad de A si ya ocurrió B (P(B) > 0)

Regla de la multiplicación

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

Probabilidad de que ocurran ambos eventos

Teorema de Bayes

prevalencia (%)1%

🏥 Paradoja del test médico

①Cuando la prevalencia es baja, un test positivo puede aún implicar baja probabilidad de enfermedad

②¿Positivo → realmente enfermo? Bayes lo aclara

③Si la priora es baja, la posterior también lo es

④Sensibilidad 0.95 y especificidad 0.90 fijas. El control de prevalencia es 1–20

⑤Probabilidad total: P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)

Teorema de Bayes

P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)

Inferir la causa a partir del resultado

Resuélvelo

Ejemplo 1

Si P(A) = 1/2 y P(A∩B) = 1/3, halla la probabilidad condicional P(B|A).

Escribe la definición de probabilidad condicional.

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

Sustituye.

= (1/3)/(1/2) = 2/3

▸ 2/3

La probabilidad condicional es la de B dado que A ha ocurrido.

Ejemplo 2

En una clase de 30, 18 usan gafas y 12 de ellos son chicos. Al elegir un usuario de gafas, halla la probabilidad de un chico.

Restringe el espacio muestral a la condición (los 18 con gafas).

P(chico | gafas) = (chicos con gafas)/(usuarios de gafas)

Sustituye.

= 12/18 = 2/3

▸ 2/3

La probabilidad condicional reduce el espacio muestral a la condición dada.

Resumen

Esencia

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

Definición de probabilidad condicional y Bayes

Tipo de evaluación oficial

Para sucesos A, B con P(A) = 0.4 y P(B|A) = 0.5, halla P(A∩B).

①0.1

②0.2

③0.3

④0.4

⑤0.5

▸ ② 0.2

Usa la regla de la multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

Sustituye.

= 0.4 × 0.5 = 0.2

🎯 Puntos clave

①Condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

②Multiplicación: P(A∩B) = P(B)·P(A|B)

③Independencia ⇒ P(A|B) = P(A)

④Bayes: del resultado a la causa

⑤Usa árbol y probabilidad total

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Significado y uso de la probabilidad

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