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Significado y uso de la probabilidad

Meaning of Probability

Antes de lanzar un dado no se sabe qué cara saldrá, pero lo probable que es cada una se puede escribir con exactitud como un solo número. La probabilidad escribe esa posibilidad como un número de 0 a 1, y cuando todos los resultados son igual de probables es la parte que ocupan los casos favorables entre todos los casos. Cómo se suman y se restan las probabilidades al juntar, superponer o negar sucesos sale de la misma idea. Al mover el deslizador del número de elementos del suceso A crecen a la vez el recuadro que rodea A y P(A); al cambiar el deslizador del diagrama de Venn entre unión, intersección y complementario, la fórmula de cada caso aparece debajo de la figura.

La intuición de la probabilidad

🎲 Qué es la probabilidad
①Es un número que expresa lo probable que es un suceso en un ensayo
②Cuando todos los resultados son igual de probables, es la parte que ocupan los casos del suceso entre todos los casos
③0 ≤ P(A) ≤ 1; un suceso seguro tiene probabilidad 1 y uno imposible tiene probabilidad 0

Espacio muestral y sucesos

3
Probabilidad clásica (regla de Laplace)
P(A) = n(A)n(S) = |A||S|
Cuando todos los sucesos elementales son igual de probables

Operaciones con sucesos

unión
Regla de la suma
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
La probabilidad de la unión. Al sumar A y B la parte común se cuenta dos veces, así que se resta una vez
Probabilidad del complementario
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
La probabilidad de que A no ocurra

Sucesos incompatibles e independientes

Sucesos incompatibles
A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez. Sin parte común, las probabilidades simplemente se suman
Sucesos independientes
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Cuando que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro
⚠️ Incompatible no es independiente
①Incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez (A ∩ B = ∅)
②Independientes significa que ninguno cambia la probabilidad del otro (P(A ∩ B) = P(A)P(B))
③Si dos sucesos con probabilidad distinta de 0 son incompatibles, que ocurra uno impide el otro, así que de hecho no son independientes
④Una pregunta por «al menos uno» se resuelve restando de 1 su complementario, «ninguno»

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Se lanza un dado. Halla la probabilidad de sacar un múltiplo de 3.
1
De los 6 resultados, los múltiplos de 3 son el 3 y el 6, es decir, 2 casos.
P = 2/6
2
Se simplifica la fracción.
= 1/3
▸ 1/3
Los 6 sucesos elementales son igual de probables, así que la probabilidad es el cociente de los recuentos.
Ejemplo 2
Se elige un número natural del 1 al 10. Halla la probabilidad de que sea múltiplo de 2 o múltiplo de 3.
1
Al sumar los múltiplos de 2, que son 5, y los de 3, que son 3, el múltiplo de 6, que es 1 y cumple ambas cosas, se cuenta dos veces.
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
2
Se aplica la regla de la suma y se resta el caso común.
= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10
▸ 7/10
Responder 5 + 3 = 8 cuenta el 6 dos veces; al restar una vez la parte común se obtiene 7.

Resumen

Fórmulas clave
P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
La probabilidad clásica y la regla de la suma
Tipo de examen escolar de 11.º grado
Se lanzan 3 monedas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una salga cara?
①1/2
②5/8
③3/4
④7/8
⑤1
▸ ④ 7/8
1
Para «al menos una» se usa el complementario, «todas cruz».
P(al menos una cara) = 1 − P(todas cruz)
2
La probabilidad de que todas salgan cruz es (1/2)³ = 1/8.
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8
🎯 Puntos clave del examen
①P(A) = n(A)/n(S) se usa cuando todos los sucesos elementales son igual de probables
②La regla de la suma P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) resta una vez la parte común
③Las preguntas de «al menos» se resuelven con el complementario, P(Aᶜ) = 1 − P(A)
④Hay que distinguir sucesos incompatibles de sucesos independientes
⑤Si son independientes, P(A ∩ B) = P(A)P(B)
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