seegongsik

Teorema del binomio

Binomial Theorem

Al desarrollar (a + b)ⁿ, cada término, aⁿ, aⁿ⁻¹b y los demás, lleva un coeficiente; ese coeficiente cuenta de cuántas maneras se puede tomar b en r de los n paréntesis, es decir, la combinación C(n, r). Por eso, al alinear los coeficientes fila por fila aparece el triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos que tiene justo encima. Para un coeficiente concreto no hace falta desarrollarlo todo: en el término general C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ basta encontrar el r que da los exponentes buscados. Al mover el deslizador del exponente n se ilumina la fila n del triángulo, y esos mismos números aparecen como coeficientes del desarrollo de abajo.

Los coeficientes salen de las combinaciones

4
👀 Triángulo y desarrollo
①(a + b)ⁿ es (a + b) multiplicado n veces, así que contiene todos los productos que salen de tomar a o b en cada paréntesis
②Hay C(n, r) maneras de tomar b en r de los paréntesis, así que el coeficiente de aⁿ⁻ʳbʳ es C(n, r)
③Al escribir estos coeficientes fila por fila desde n = 0 se obtiene el triángulo de Pascal
④Como muestran las dos líneas de la figura, cada número es la suma de los dos de encima, que es la identidad C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)

El teorema del binomio

Teorema del binomio
(a+b)n = ∑r=0n C(n,r) an-r br
C(n, r) cuenta las maneras de tomar b en r de los n paréntesis
Término general
Tr+1 = C(n,r) an-r br
El término (r + 1)-ésimo para r = 0, 1, …, n; sirve para calcular directamente un coeficiente concreto

Cómo hallar un coeficiente concreto

🎯 Primero se ajustan los exponentes
①Se elige r de modo que el término tenga el exponente buscado
②Se sustituye ese r en el término general y se calcula el coeficiente
③Para el término independiente se busca el r que deja la variable con exponente 0
④Si en lugar de a o b hay expresiones con un número, como 2x o −1, las potencias de ese número también entran en el coeficiente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla el coeficiente de x² en el desarrollo de (x + 2)⁴.
1
El término general es C(4, r) x⁴⁻ʳ 2ʳ. Para obtener x² hace falta 4 − r = 2, es decir, r = 2.
2
Se sustituye r = 2 y se calcula el coeficiente.
C(4,2)·22 = 6·4 = 24
▸ 24
Se iguala el exponente de la variable al grado buscado y se fija r primero; lo demás es cálculo.
Ejemplo 2
Halla el coeficiente de x³ en el desarrollo de (2x − 1)⁵.
1
El término general es C(5, r) (2x)⁵⁻ʳ (−1)ʳ. Para obtener x³ hace falta 5 − r = 3, es decir, r = 2.
2
Con r = 2 también se multiplican el cubo de 2 y el cuadrado de −1.
C(5,2)·23·(−1)2 = 10·8·1 = 80
▸ 80
Si se olvidan las potencias de 2 y de −1 dentro de los paréntesis, sale la respuesta equivocada, 10.

Resumen

Ideas clave
(a+b)n = ∑ C(n,r) an-r br, término general C(n,r) an-r br
Los coeficientes son las combinaciones C(n, r); para un término concreto se ajusta r en el término general
Tipo de examen CSAT 2021 Mat., adaptado
Halla el término independiente del desarrollo de (x + 1/x)⁶.
①6
②15
③20
④30
⑤45
▸ ③ 20
1
El término general es C(6, r) x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = C(6, r) x⁶⁻²ʳ.
2
En el término independiente x tiene exponente 0, así que 6 − 2r = 0 y r = 3.
C(6,3) = 20
🎯 Puntos clave del examen
①Los coeficientes de (a + b)ⁿ son las combinaciones C(n, r)
②Para un término concreto se ajustan los exponentes en el término general C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ y así se fija r
③El término independiente corresponde al r que deja la variable con exponente 0
④Las potencias y los signos de las constantes dentro de los paréntesis entran en el coeficiente
⑤El triángulo de Pascal es una tabla rápida de coeficientes para n pequeño
← Anterior
Combinación
Siguiente →
Significado y uso de la probabilidad

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik