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2°-3° Bachillerato (16-18 años)

Teorema del binomio

Binomial Theorem

Al desarrollar (a+b)ⁿ, ¿de dónde salen los coeficientes de cada término? Sorprendentemente, todos son una combinación C(n, r), que coincide exactamente con la fila n del triángulo de Pascal. Así, el coeficiente del término aⁿ⁻ʳbʳ se resume en un único término general C(n, r), y puedes hallar cualquier coeficiente concreto solo con ajustar los exponentes. Mueve el deslizador del exponente n para ver iluminarse la fila n del triángulo de Pascal y comprobar que esa fila es justamente el conjunto de coeficientes del desarrollo.

Los coeficientes salen de combinaciones
4
👀 Velo
①Al expandir (a+b)ⁿ, el coeficiente de cada término es la combinación C(n,r)
②Alinear estos coeficientes da el triángulo de Pascal
③Cada número es la suma de los dos de arriba — igual que la identidad de combinaciones
El teorema del binomio
Teorema del binomio
(a+b)n = ∑r=0n C(n,r) an-r br
C(n,r) es la combinación — el número de formas de elegir b r veces de n
Término general
Tr+1 = C(n,r) an-r br
El término (r+1) para r=0,1,…,n — sirve para localizar un término concreto
Hallar el coeficiente de un término
🎯 Iguala el exponente
①Elige r para que el exponente de la variable deseada coincida
②Sustituye ese r en el término general para calcular el coeficiente
③Para el término constante, halla el r que hace 0 el exponente de la variable
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
Halla el coeficiente de x² en la expansión de (x+2)⁴.
1
El término general es C(4,r) x4-r 2r. Para x², 4−r=2, así que r=2.
2
Sustituye r=2 para calcular el coeficiente.
C(4,2)·22 = 6·4 = 24
▸ 24
Fijar r primero con "exponente de la variable = grado deseado" es la clave.
Ejemplo 2
Halla el coeficiente de x³ en la expansión de (2x−1)⁵.
1
El término general es C(5,r) (2x)5-r (−1)r. Para x³, 5−r=3, así que r=2.
2
Sustituye r=2.
C(5,2)·23·(−1)2 = 10·8·1 = 80
▸ 80
No olvides las potencias de las constantes internas (2, −1).
Resumen
Resultado clave
(a+b)n = ∑ C(n,r) an-r br, término general C(n,r) an-r br
Los coeficientes son combinaciones C(n,r) — localiza un término igualando r en el término general
Tipo de CSAT 2021 Mat., adaptado
Halla el término constante en la expansión de (x + 1/x)⁶.
①6
②15
③20
④30
⑤45
▸ ③ 20
1
El término general es C(6,r) x6-r (1/x)r = C(6,r) x6-2r.
2
El término constante tiene exponente 0, así que 6−2r=0 da r=3.
C(6,3) = 20
🎯 Puntos de examen
①Los coeficientes de (a+b)ⁿ son combinaciones C(n,r)
②Usa el término general C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ para un término concreto
③El término constante tiene exponente de variable 0
④Cuida las potencias de las constantes internas
⑤El triángulo de Pascal es una tabla rápida de coeficientes
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