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Mis palabras

Combinación

Combination

Una combinación es una selección en la que solo eliges, sin importar el orden. Donde una permutación distinguía primero, segundo y tercero, una combinación solo pregunta quién fue elegido, así que divides entre las r! ordenaciones que se repiten y obtienes nCr = nPr / r!. Apila estos valores en un triángulo y aparece el triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos de arriba, y la simetría nCr = nC(n-r) se ve de un vistazo. Usa los deslizadores de cantidad total n y de elegidos r y lo seleccionado se agrupa sin orden; agranda el triángulo con el deslizador de filas y aparece el patrón.

Selección sin orden

🧩 ¿Qué es una combinación?
①Elegir r de entre n sin importar el orden
②(A, B, C) y (C, A, B) son la misma combinación
③Dividir las permutaciones por r! da las combinaciones

Visualización de nCr

5
3
Fórmula de combinación
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
Número de formas de elegir r de n sin orden
💡 Permutación → Combinación
①Permutación (nPr) = elegir + ordenar
②Combinación (nCr) = solo elegir
③nPr = nCr × r! → nCr = nPr ÷ r!
④Eliminar las repeticiones del orden da las combinaciones

Triángulo de Pascal

6
Identidad de Pascal
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
Suma de los dos números de arriba = el de abajo

Propiedades de las combinaciones

Simetría
nCr = nCn-r
Elegir r equivale a dejar (n−r) fuera
Suma de combinaciones
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
Número total de subconjuntos de n elementos. Cada elemento entra o no, luego 2ⁿ

Resuélvelo

Ejemplo 1
Halla ₆C₂, el número de formas de elegir 2 de 6 objetos distintos.
1
Una combinación divide la permutación entre el factorial del número elegido.
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
Calcula.
= 30/2 = 15
▸ 15
Una combinación ignora el orden, así que divide la permutación entre r!.
Ejemplo 2
De 4 chicos y 3 chicas, elige 3 personas con exactamente 1 chica. ¿Cuántas formas?
1
Elige 1 chica como ₃C₁ y 2 chicos como ₄C₂, luego multiplica.
₃C₁ × ₄C₂
2
Calcula.
= 3 × 6 = 18
▸ 18
Con una condición, elige grupo por grupo y multiplica (regla del producto).

Resumen

Fórmula clave
nCr = n!r!(n-r)!
Formas de elegir r sin orden
Tipo de examen escolar de 11.º grado
¿De cuántas formas se eligen 2 representantes de 8 personas?
①16
②21
③28
④36
⑤56
▸ ③ 28
1
Elegir 2 sin importar el orden es ₈C₂.
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
Calcula.
= 56/2 = 28
🎯 Puntos clave
①Permutación vs combinación: ¿importa el orden?
②nCr = nPr ÷ r!
③Pascal: suma de los dos de arriba
④Simetría: nCr = nC(n−r)
⑤Suma de todos los nCk = 2^n. El teorema del binomio es el capítulo siguiente
← Anterior
Permutación
Siguiente →
Teorema del binomio
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