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Combinación

Combination

Una combinación es una elección en la que solo importa qué se ha elegido, no el orden. Una permutación de A, B y C cuenta además el orden en que se colocan, así que los mismos tres elementos se cuentan 3! = 6 veces como casos distintos; por eso, al dividir el número de permutaciones entre r! sale el número de combinaciones. Si se apilan estos valores fila por fila aparece el triángulo de Pascal, donde los dos números de arriba suman el de abajo, y su simetría izquierda-derecha muestra de un vistazo que ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ. Al mover los deslizadores del total n y del número elegido r se ve cómo los muchos órdenes de las bolas elegidas se reúnen en una sola combinación, junto con los recuentos; el deslizador de filas alarga el triángulo hacia abajo.

Elegir sin orden

🧩 Qué es una combinación
①Elegir r de n elementos distintos sin tener en cuenta el orden es una combinación, y su número se escribe ₙCᵣ
②Elegir A, B, C o C, A, B da la misma combinación
③Elegir dos representantes es una combinación; elegir presidente y vicepresidente es una permutación, porque los dos cargos son distintos

De las permutaciones a las combinaciones

5
3
Número de combinaciones
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
El número de formas de elegir r de n elementos sin orden
💡 Por qué se divide entre r!
①La permutación ₙPᵣ cuenta la elección y también el orden en que se coloca
②Los r elementos elegidos se pueden ordenar de r! maneras, así que cada combinación aparece r! veces entre las permutaciones
③Por tanto ₙPᵣ = ₙCᵣ × r!, de donde ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r!
④En la figura, todos los órdenes de las bolas elegidas se juntan en un único grupo entre corchetes

El triángulo de Pascal

6
Propiedad del triángulo de Pascal
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
Dos vecinos de una fila suman el número que queda justo debajo de ellos

Propiedades de las combinaciones

Simetría
nCr = nCn-r
Elegir r elementos es lo mismo que elegir los n − r que se dejan fuera
Suma de combinaciones
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
El número de subconjuntos de un conjunto de n elementos. Cada elemento entra o no entra, así que el total es 2ⁿ

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla ₆C₂, el número de formas de elegir 2 de 6 objetos distintos.
1
Se divide ₆P₂ entre 2!.
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
Se calculan el numerador y el denominador.
= 30/2 = 15
▸ 15
6 × 5 = 30 cuenta también el orden; al dividir entre los 2 órdenes de dos elementos desaparece el orden y quedan 15.
Ejemplo 2
Se eligen 3 personas entre 4 chicos y 3 chicas. ¿De cuántas formas puede haber exactamente 1 chica?
1
Se elige 1 chica de ₃C₁ formas y 2 chicos de ₄C₂ formas; las dos elecciones ocurren a la vez, así que se multiplican.
₃C₁ × ₄C₂
2
Se calcula cada número de combinaciones y se multiplican.
= 3 × 6 = 18
▸ 18
Cuando hay una condición, se elige en cada grupo por separado y se multiplica por el principio del producto.

Resumen

Número de combinaciones
nCr = n!r!(n-r)!
El número de formas de elegir r elementos sin orden
Tipo de examen escolar de 11.º grado
¿De cuántas formas se pueden elegir 2 representantes entre 8 personas?
①16
②21
③28
④36
⑤56
▸ ③ 28
1
Las 2 personas se eligen sin orden, así que el número es ₈C₂.
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
Se calculan el numerador y el denominador.
= 56/2 = 28
🎯 Puntos clave del examen
①Lo que separa permutaciones y combinaciones es si el orden cambia el resultado
②ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r!
③En el triángulo de Pascal, los dos números de arriba suman el de abajo
④Como ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ, cuando r pasa de la mitad de n es más fácil calcular con n − r
⑤La suma de ₙC₀ a ₙCₙ es 2ⁿ
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