Una permutación es una elección que también tiene en cuenta el orden en que se colocan los elementos elegidos.
Aunque se elijan las mismas tres personas, si cambia quién queda primero, segundo o tercero, cuenta como un caso distinto.
Por eso el primer lugar tiene n opciones, el siguiente una menos, n − 1, y al multiplicar hasta el lugar r se obtiene ₙPᵣ.
Al mover los deslizadores n y r de arriba se ven enseguida las opciones que quedan en cada lugar y su producto; el deslizador de la mesa redonda cuenta las permutaciones circulares, en las que los giros cuentan como una sola.
Una elección con orden
Aunque se elijan las mismas personas, al ordenar los puestos aumentan los casos. Una permutación cuenta también el orden de esos puestos, y ₙPᵣ es el producto de cuántos elementos quedan en cada puesto al llenar r puestos desde el principio con n elementos. El primer puesto tiene n, el siguiente n − 1 y así hasta el puesto r, y ese producto es igual a n! ÷ (n − r)!. Poner a todos en fila es el caso r = n, que da n!, y si hay elementos iguales hay que dividir por los intercambios que no se distinguen. En una mesa redonda, que todos se corran un asiento da la misma colocación, así que los n giros cuentan como uno y el valor es (n − 1)!. Fijar 0! = 1 es el acuerdo que mantiene la fórmula correcta cuando r = n.
🎯 Qué es una permutación
①El número de formas de elegir r de n elementos distintos y colocarlos en un orden se escribe ₙPᵣ
②Como al elegir primer, segundo y tercer puesto, quién va en cada lugar cambia el resultado
③Las mismas tres personas forman otro caso si se colocan en otro orden
④Las combinaciones, donde el orden no importa, llegan en el capítulo siguiente
Contar lugar por lugar
5
3
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Las opciones que quedan en cada lugar cuando r de n elementos ocupan los lugares desde el 1.º
Arriba hay n bolas numeradas y solo las r primeras están coloreadas. Debajo corre una fila de puestos del 1.º al r-ésimo, y en cada uno se lee cuántos elementos quedan por elegir para ese puesto: n, n − 1, etc. Las líneas discontinuas unen las bolas de arriba con los puestos de abajo, y la última línea escribe ₙPᵣ como ese producto. n va de 2 a 8 y r de 1 a n, y se empieza con n = 5, r = 3. En la figura de la mesa redonda se sientan en círculo tantas bolas de color como personas, y la bola 1, cuyo asiento está fijo, lleva la marca «fijo». Debajo de la figura se divide el número de filas n! entre los n giros para obtener (n − 1)!; la mesa admite de 3 a 7 personas y empieza con 4.
💡 Principio del producto
①El primer lugar puede llevar cualquiera de los n elementos
②Ya se ha usado uno, así que quedan n − 1 para el segundo lugar
③Cada lugar pierde uno más, así que en el lugar r quedan n − r + 1
④Al multiplicarlos todos se obtiene n × (n − 1) × … × (n − r + 1)
Número de permutaciones
nPr = n!(n-r)!
El número de formas de elegir r de n elementos y colocarlos en orden
Permutaciones especiales
Contar a n personas en una mesa redonda como las n! de una fila cuenta cada colocación n veces, una por cada corrimiento de un asiento. Para juntar las colocaciones que el giro hace iguales hay que fijar a una persona y ordenar solo a las otras n − 1, lo que da (n − 1)!. Usar combinaciones, que borran el orden, en un problema de formar una fila deja fuera las filas que solo cambian el orden, y el resultado sale demasiado pequeño. Dos personas que deben ir juntas se atan primero en un bloque y se ordenan, y después se multiplican las 2! formas en que pueden intercambiarse dentro del bloque. Olvidar el denominador cuando hay elementos iguales cuenta como distintos intercambios que no se pueden distinguir.
Colocar los n
nPn = n!
El número de formas de poner en fila los n elementos
Permutaciones con elementos iguales
n!p! q! r!
Cuando entre los n elementos hay p, q y r iguales. Intercambiar elementos iguales no cambia nada, así que se divide por esos recuentos
Permutaciones circulares
4
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n personas sentadas en una mesa redonda y la división del número de filas entre el número de giros
🔄 La clave de las permutaciones circulares
①En círculo, que todos se corran un asiento da la misma colocación
②Por eso se fija el asiento de una persona y se ordena al resto
③El número de permutaciones circulares de n personas es (n − 1)!
④También se puede ver como las n! filas superpuestas de n en n por los giros, lo que da n! ÷ n = (n − 1)!
Número de permutaciones circulares
(n−1)!
El número de formas de colocar n elementos en círculo
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla ₅P₂, el número de formas de ordenar 2 de 5 objetos distintos en fila.
1
Se multiplican las 5 opciones del primer lugar por las 4 del segundo.
₅P₂ = 5 × 4
2
Se calcula el producto.
= 20
▸ 20
₅P₂ = 20 es 2 veces ₅C₂ = 10, porque los dos elementos elegidos se pueden ordenar de 2! = 2 maneras.
Ejemplo 2
¿De cuántas formas pueden ponerse en fila 5 personas de modo que 2 personas concretas queden juntas?
1
Se atan las 2 personas en un bloque; al poner en fila las 4 unidades hay 4! formas.
orden de bloques 4! × orden interno 2!
2
Se multiplica por las 2! formas en que las dos se intercambian dentro del bloque.
= 24 × 2 = 48
▸ 48
Con la condición «juntas», primero se coloca el bloque y después se multiplica por el orden de dentro.
Resumen
Número de permutaciones
nPr = n!(n-r)! = n(n-1)(n-2)···(n-r+1)
El número de elecciones en las que el orden cambia el resultado
Tipo de simulacro provincial
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar eligiendo 3 cifras distintas entre las 5 cifras 1, 2, 3, 4, 5?
①10
②20
③30
④60
⑤120
▸ ④ 60
1
Se eligen 3 de 5 cifras distintas y se colocan en las centenas, las decenas y las unidades, así que el número es ₅P₃.
₅P₃ = 5 × 4 × 3
2
Se calcula el producto.
= 60
🎯 Puntos clave del examen
①Si el orden importa es una permutación; si no, una combinación
②ₙPₙ = n! cuenta las formas de colocarlo todo
③El número de permutaciones circulares es (n − 1)!
④Con elementos iguales, se divide el factorial del total entre los factoriales de los grupos iguales