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Aplicaciones de la integral definida

Applications of Definite Integrals

La integral definida sirve para mucho más que el área bajo una curva. Con la misma idea de dividir en trozos finos y sumar se obtienen el área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución y la distancia recorrida a partir de una gráfica de velocidad. Aunque parezcan problemas distintos, en todos se fija la cantidad de un trozo pequeño y luego se reúnen los trozos con una integral definida. El primer dibujo muestra el área entre dos curvas al mover a y b, el segundo el volumen de un sólido de revolución al cambiar b, y el tercero la distancia recorrida hasta el instante t.

El área entre dos curvas

📐 Cómo hallar el área entre curvas
①El área entre f(x) y g(x) es la integral de |f(x) − g(x)|
②Se resta la función de abajo a la de arriba
③Primero se hallan los puntos de corte para fijar el intervalo
④Si en el dibujo b pasa de 1,56, las gráficas cambian de posición, y aun así el área suma el valor absoluto de la diferencia
-1.5
1.5
Área entre dos curvas
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
Se integra la función de arriba menos la de abajo; si se cruzan, se usa el valor absoluto

Cómo plantear un área

Área entre una curva y el eje x
S = ∫ab |f(x)| dx
Si la curva baja del eje x, se divide el intervalo
Área entre una curva y el eje y (x = g(y))
S = ∫cd |g(y)| dy
Se usa cuando resulta más cómodo cambiar los papeles de x e y e integrar respecto de y
💡 Pasos para un área
①Hallar los puntos de corte: f(x) = g(x) o f(x) = 0
②Decidir qué función queda arriba
③Dividir el intervalo donde cambia el orden
④Integrar en cada trozo y sumar

Volumen de un sólido de revolución

2
Volumen al girar alrededor del eje x
V = π ∫ab [f(x)]² dx
Cada sección es un círculo de radio f(x), así que su área es π[f(x)]²
Volumen al girar alrededor del eje y
V = π ∫cd [g(y)]² dy
Al girar alrededor del eje y, se escribe x = g(y) y se integra respecto de y
🔑 Cómo hallar volúmenes de revolución
①Primero se comprueba alrededor de qué eje gira
②Alrededor del eje x: radio |f(x)|, se integra en x
③Alrededor del eje y: radio |g(y)|, se integra en y
④Los volúmenes de revolución se estudian a fondo más adelante en cálculo; esto es un adelanto

Velocidad y distancia recorrida

2 s
Distancia recorrida
distancia = ∫ab |v(t)| dt
Integrando el valor absoluto de la velocidad se obtiene la distancia realmente recorrida
💡 Cambio de posición y distancia
①El cambio de posición integra v(t) tal cual, así que lo que se avanza en sentido contrario se resta
②La distancia recorrida integra |v(t)|, así que nunca es negativa
③Donde v(t) ≥ 0, las dos coinciden

Resumen

Área entre curvas
∫|f − g| dx
Se divide el intervalo en los puntos de corte
Volumen de revolución
π∫[f(x)]² dx
Se integra el área de los discos de sección
🎯 Puntos clave
①Problemas de área: puntos de corte → cuál queda arriba → integral por trozos → suma
②Los valores absolutos se tratan separando por encima y por debajo del eje x
③Sólidos de revolución: primero el eje y el radio
④La distancia es la integral de |v(t)|; el cambio de posición, la integral de v(t)
⑤Pasar a x = g(y) e integrar en y suele simplificar las cosas

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Halla el área encerrada por la curva y = x² y la recta y = x.
1
x² = x da los puntos de corte x = 0 y 1, y entre ellos la recta y = x queda por encima de la curva y = x².
S = ∫01 (x - x2) dx
2
Se integra la función de arriba menos la de abajo, x − x², de 0 a 1.
[x22 - x33]01 = 12 - 13 = 16
▸ 1/6
Si se invierte el orden y se integra x² − x, sale −1/6. Para un área siempre se resta la función de abajo a la de arriba.
Ejemplo 2
Halla el volumen del sólido al girar y = √x (0 ≤ x ≤ 4) alrededor del eje x.
1
Al girar alrededor del eje x, la sección en x es un círculo de radio √x, de área π(√x)² = πx.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
Se integra el área de la sección, πx, de 0 a 4.
π [x22]04 = π × 8 = 8π
▸ 8π
El segundo dibujo no llega a b = 4, pero al poner b = 4 en su fórmula πb²/2 también sale 8π.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
¿Cuál es el área encerrada por y = x², el eje x y la recta x = 2?
①8/3
②4
③2
④8
⑤4/3
▸ ① 8/3
1
En 0 ≤ x ≤ 2, y = x² queda por encima del eje x, así que el área es la integral de x² de 0 a 2.
S = ∫02 x2 dx
2
Se sustituyen 2 y 0 en x³/3 y se restan.
[x33]02 = 83
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