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2°-3° Bachillerato (16-18 años)

Aplicaciones de la integral definida

Applications of Definite Integrals

La integral definida no es solo una herramienta para medir áreas. Con la misma idea de cortar fino y sumar, da el área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución y la distancia a partir de una gráfica de velocidad. Problemas que parecen muy distintos se reducen a una sola integral definida, el corazón de esta unidad. Mueve los deslizadores del límite inferior a y superior b y observa cómo cambian la región sombreada entre las curvas y su área.

Área entre dos curvas
📐 Claves del área entre curvas
①Área entre f(x) y g(x) = ∫|f(x) − g(x)| dx
②Integrar (función superior − inferior)
③¡Primero halla las intersecciones para fijar los límites!
-1.5
1.5
Área entre dos curvas
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
Integrar (superior − inferior); cuidado con el valor absoluto
Estrategia para calcular áreas
Área respecto al eje x
S = ∫ab |f(x)| dx
Si hay tramos bajo el eje x, dividir el intervalo
Área respecto al eje y (x = g(y))
S = ∫cd |g(y)| dy
Intercambiar x e y e integrar respecto a y a veces es más cómodo
💡 Pasos del cálculo
①Hallar intersecciones: f(x) = g(x) o f(x) = 0
②Identificar cuál función queda arriba
③Dividir el intervalo donde se intercambian
④Integrar por tramos y sumar
Volumen de un sólido de revolución
2
Volumen alrededor del eje x (disco)
V = π ∫ab [f(x)]² dx
La sección es un círculo de radio f(x); área = π[f(x)]²
Volumen alrededor del eje y
V = π ∫cd [g(y)]² dy
Si gira en torno al eje y, expresar x = g(y) e integrar respecto a y
🔑 Claves del volumen
①Decidir el eje de giro
②Eje x: radio = |f(x)|, integrar respecto a x
③Eje y: radio = |g(y)|, integrar respecto a y
Velocidad y distancia
2 s
Distancia recorrida
distancia = ∫ab |v(t)| dt
Integrar el valor absoluto de la velocidad da la distancia real
💡 Desplazamiento vs distancia
①Desplazamiento = ∫v(t)dt (con signo)
②Distancia = ∫|v(t)|dt (siempre ≥ 0)
③Si v(t) ≥ 0, desplazamiento = distancia
Resumen
Área entre dos curvas
∫|f − g| dx
Dividir según los puntos de intersección
Volumen de revolución
π∫[f(x)]² dx
método del disco
🎯 Puntos clave
①Área: intersecciones → cuál es superior → dividir → sumar
②Valor absoluto: separar tramos por encima/debajo del eje x
③Sólidos de revolución: definir eje y radio
④Velocidad → distancia: ∫|v(t)|dt; desplazamiento: ∫v(t)dt
⑤Integrar respecto a y a veces simplifica
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Halla el área encerrada por la curva y = x² y la recta y = x.
1
Halla las intersecciones (x = 0, 1); en 0 ≤ x ≤ 1 resta la inferior (x²) de la superior (x).
S = ∫01 (x - x2) dx
2
Integra y calcula.
[x22 - x33]01 = 12 - 13 = 16
▸ 1/6
El área entre dos curvas integra (superior − inferior) entre los puntos de corte.
Ejemplo 2
Halla el volumen del sólido al girar y = √x (0 ≤ x ≤ 4) alrededor del eje x.
1
Usa el método de discos V = π∫ab [f(x)]² dx. [√x]² = x.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
Integra y calcula.
π [x22]04 = π × 8 = 8π
▸ 8π
El volumen de un sólido de revolución sobre el eje x integra el área del disco π[f(x)]².
Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado
¿Cuál es el área encerrada por y = x², el eje x y la recta x = 2?
①8/3
②4
③2
④8
⑤4/3
▸ ① 8/3
1
El área entre el eje x y la curva es S = ∫02 x² dx.
S = ∫02 x2 dx
2
Integra y calcula.
[x33]02 = 83
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