El área bajo una curva no tiene una fórmula directa, así que ¿cómo la calculamos?
La idea es rellenar esa región con rectángulos delgados para estimar el área y luego cortarlos cada vez más finos.
Cuanto más finos son, más se acerca la estimación al área real, y ese límite es justo la integral definida.
Sube el deslizador de divisiones n y mira cómo la suma de Riemann converge al valor exacto mientras el error tiende a cero.
Dividir el área en rectángulos
📐 Idea central de la integral definida
①Para hallar el área bajo la curva → llenarla con rectángulos
②Cuanto más fino el rectángulo (n → ∞), más exacto
③ese límite es la integral definida
De la suma de Riemann a la integral
5 segmentos
2
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Al aumentar n, la suma de Riemann converge a la integral — observa el error
Definición de la integral definida
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
Límite del método de cuadratura = área bajo la curva
🔑 Puntos de observación
①n = 2~5: rectángulos grandes, mucho error
②n = 20~50: casi llenan la curva
③n → ∞: suma de Riemann → integral definida (área exacta)
Teorema fundamental del cálculo
Teorema fundamental
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) (F'(x) = f(x))
Conocer la primitiva permite calcular la integral directamente
💡 La fuerza del teorema fundamental
①Calcular el límite de Riemann directo es tedioso
②Con el TFC: encontrar F(x) y calcular F(b) − F(a)
③derivación (pendiente) e integración (área) son operaciones inversas
Ejemplo de cálculo
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
Encontrar F(x) = x³/3 y calcular F(2) − F(0)
Integral definida y signo del área
1.5
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Área sobre el eje x es positiva; bajo el eje, negativa — área con signo
Relación entre área y la integral
Área S = ∫ab |f(x)| dx (¡valor absoluto!)
La integral tiene signo; el área real requiere |f(x)|
⚠ Precauciones
①Valor de la integral ≠ área (bajo el eje x cuenta negativo)
②Para área real, integrar |f(x)|
③Dividir el intervalo según el signo y sumar
Resumen
Esencia de la integral definida
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
Teorema fundamental del cálculo
🎯 Puntos clave
①Integral definida = área con signo — ¡distinta del área!