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Mis palabras

Integral definida

Definite Integral

El área bajo una curva no tiene una fórmula directa, así que ¿cómo la calculamos? La idea es rellenar esa región con rectángulos delgados para estimar el área y luego cortarlos cada vez más finos. Cuanto más finos son, más se acerca la estimación al área real, y ese límite es justo la integral definida. Sube el deslizador de divisiones n y la suma de Riemann converge al valor exacto mientras el error tiende a cero.

Dividir el área en rectángulos

📐 Idea central de la integral definida
①Para hallar el área bajo la curva → llenarla con rectángulos
②Cuanto más fino el rectángulo (n → ∞), más exacto
③ese límite es la integral definida

De la suma de Riemann a la integral

5 segmentos
2
Definición de la integral definida
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
Límite del método de cuadratura = área bajo la curva. Δx = (b − a)/n
🔑 Puntos de observación
①n = 2~5: rectángulos grandes, mucho error
②n = 20~50: casi llenan la curva
③n → ∞: suma de Riemann → integral definida (área exacta)

Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) (F'(x) = f(x))
Conocer la primitiva permite calcular la integral directamente
💡 La fuerza del teorema fundamental
①Calcular el límite de Riemann directo es tedioso
②Con el TFC: encontrar F(x) y calcular F(b) − F(a)
③derivación (pendiente) e integración (área) son operaciones inversas
④Aditividad ∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
⑤Las pares se duplican en un intervalo simétrico; las impares dan 0
Ejemplo de cálculo
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
Encontrar F(x) = x³/3 y calcular F(2) − F(0)

Integral definida y signo del área

1.5
Relación entre área y la integral
Área S = ∫ab |f(x)| dx (¡valor absoluto!)
La integral tiene signo; el área real requiere |f(x)|
⚠ Precauciones
①Valor de la integral ≠ área (bajo el eje x cuenta negativo)
②Para área real, integrar |f(x)|
③Dividir el intervalo según el signo y sumar

Resumen

Esencia de la integral definida
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
Teorema fundamental del cálculo
🎯 Puntos clave
①Integral definida = área con signo — ¡distinta del área!
②TFC: F(b) − F(a)
③Aditividad: ∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b
④Funciones pares: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 2∫_0^a f(x) dx
⑤Funciones impares: ∫_{-a}^{a} f(x) dx = 0

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Calcula ∫02 3x² dx.
1
Halla una primitiva F(x) = x³.
∫ 3x2 dx = x3
2
Por el teorema fundamental, calcula F(2) − F(0).
[x3]02 = 23 - 03 = 8
▸ 8
Una integral definida es F(b) − F(a) con una primitiva (teorema fundamental del cálculo).
Ejemplo 2
Calcula ∫13 (2x − 1) dx.
1
Halla una primitiva F(x) = x² − x.
∫ (2x - 1) dx = x2 - x
2
Calcula F(3) − F(1).
[x2 - x]13 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6
▸ 6
Resta el valor en el límite inferior del valor en el límite superior.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
¿Cuánto es ∫01 (3x² + 2) dx?
①3
②1
③5
④2
⑤4
▸ ① 3
1
Halla una primitiva F(x) = x³ + 2x.
∫ (3x2 + 2) dx = x3 + 2x
2
Calcula F(1) − F(0).
[x3 + 2x]01 = (1 + 2) - 0 = 3
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