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Integral definida

Definite Integral

El área bajo una curva no tiene una fórmula directa como la de un rectángulo o un triángulo. Por eso se rellena la región con rectángulos finos para estimar el área, y se van haciendo cada vez más estrechos. Cuanto más finos son, más se acerca la estimación al área real, y ese límite es la integral definida. Si se conoce una primitiva F, el límite se calcula simplemente como F(b) − F(a). En el primer dibujo, al aumentar el número de franjas n la suma de los rectángulos se acerca al valor exacto b³/3; el segundo muestra que las partes bajo el eje x se restan.

Dividir el área en rectángulos finos

📐 La idea de la integral definida
①El área bajo una curva se estima juntando muchos rectángulos finos
②Si se hacen cada vez más estrechos (n → ∞), la estimación se acerca al área real
③Ese límite es la integral definida

De las sumas de rectángulos a la integral definida

5 segmentos
2
Definición de la integral definida
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σk=1n f(xk) Δx
El límite de la suma de rectángulos de anchura Δx = (b − a)/n es el área bajo la curva
🔑 Qué mirar
①Con n pequeño los rectángulos son anchos y se separan mucho de la curva
②A partir de n = 20, más o menos, los rectángulos rellenan la región casi exactamente
③Si n crece sin límite, la suma se acerca al valor exacto b³/3
④Al usar la altura en el centro de cada franja, lo que sobra y lo que falta se compensan y el error baja deprisa

Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a) (F'(x) = f(x))
Conociendo una primitiva, la integral definida sale enseguida, sin sumas de rectángulos
💡 Qué hace el teorema fundamental
①Calcular directamente el límite de las sumas es muy laborioso
②Por el teorema fundamental, basta encontrar F con F'(x) = f(x) y calcular F(b) − F(a)
③Significa que la derivación, que trata pendientes, y la integración, que trata áreas, se deshacen la una a la otra
④La integral de a a c más la de c a b es la integral de a a b
⑤Si la gráfica es simétrica respecto del eje y, la integral de −a a a es el doble de la de 0 a a; si es simétrica respecto del origen, vale 0
Ejemplo de cálculo
∫02 x² dx = [x³3]02 = 83 - 0 = 83
Se halla F(x) = x³/3 y luego se calcula F(2) − F(0); coincide con el valor exacto del primer dibujo cuando b = 2

Integral definida y signo del área

1.5
Área e integral definida
Área S = ∫ab |f(x)| dx (¡valor absoluto!)
La integral definida es un valor con signo; el área real es la integral de |f(x)|
⚠ Cuidado
①La parte bajo el eje x cuenta como negativa, así que la integral puede no coincidir con el área
②Con b = 2 en el dibujo, las áreas de arriba y de abajo son iguales, así que la integral vale 0 aunque el área no
③Para el área real, se divide el intervalo donde la gráfica corta al eje x y se suman los valores absolutos de cada parte

Resumen

Esencia de la integral definida
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
Teorema fundamental del cálculo
🎯 Puntos clave
①Una integral definida es un área con signo y puede no coincidir con el área
②Teorema fundamental: la diferencia de primitivas F(b) − F(a)
③Dividir el intervalo y sumar da el mismo valor
④Para una función simétrica respecto del eje y, la integral de −a a a es el doble de la de 0 a a
⑤Para una función simétrica respecto del origen, la integral de −a a a vale 0

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Calcula ∫02 3x² dx.
1
Se toma F(x) = x³, una función cuya derivada es 3x².
∫ 3x2 dx = x3
2
Por el teorema fundamental, se calcula F(2) − F(0).
[x3]02 = 23 - 03 = 8
▸ 8
La constante C de una primitiva se cancela en F(b) − F(a), así que al calcular una integral definida no hace falta escribirla.
Ejemplo 2
Calcula ∫13 (2x − 1) dx.
1
Se toma F(x) = x² − x, una función cuya derivada es 2x − 1.
∫ (2x - 1) dx = x2 - x
2
Se calcula F(3) − F(1).
[x2 - x]13 = (9 - 3) - (1 - 1) = 6
▸ 6
Bajo y = 2x − 1 hay un trapecio de altura 1 en x = 1 y 5 en x = 3, así que (1 + 5) × 2 ÷ 2 = 6 lo confirma.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
¿Cuánto es ∫01 (3x² + 2) dx?
①3
②1
③5
④2
⑤4
▸ ① 3
1
Se toma F(x) = x³ + 2x, una función cuya derivada es 3x² + 2.
∫ (3x2 + 2) dx = x3 + 2x
2
Se calcula F(1) − F(0).
[x3 + 2x]01 = (1 + 2) - 0 = 3
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