La integral indefinida se pregunta qué función obtienes al deshacer la derivada.
Buscas la función original cuya derivada es la dada, pero como toda constante desaparece al derivar, hay infinitas respuestas.
Por eso el resultado lleva siempre una constante de integración C en lugar de esa constante perdida.
Mueve el deslizador de la constante C y observa cómo las curvas x² + C suben y bajan juntas sin cambiar de forma.
La integral es la inversa de la derivada
🔄 Idea central de la integral indefinida
①«¿Cuál es la función cuya derivada es f(x)?»
②Operación inversa a la derivada: hallar F(x) tal que F'(x) = f(x)
③Sumar cualquier constante C tiene derivada cero → ¡hay infinitas respuestas!
Familia de primitivas
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∫2x dx = x² + C — distintas C desplazan la curva arriba o abajo
Definición de la integral indefinida
∫ f(x) dx = F(x) + C (F'(x) = f(x))
Representa todas las primitivas de f(x); C es la constante de integración
💡 Significado de C
①C se determina con la condición inicial
②Ej.: integrando v(t) = 2t → s(t) = t² + C, con C = s(0)
③¡Olvidar + C resta puntos!
Relación inversa entre derivar e integrar
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Arriba: f(x) = x^n; abajo: F(x) = x^(n+1)/(n+1) — derivada ↔ integral son inversas
Integral de potencias
∫ xn dx = xn+1n+1 + C (n ≠ -1)
Inversa de la fórmula (xn)' = nxn-1
Fórmulas básicas de integración
Constante por función · suma · resta
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
Saca la constante; integra término a término
Constante
∫ k dx = kx + C
Lineal
∫ x dx = x²/2 + C
Cuadrática
∫ x² dx = x³/3 + C
Potencia n
∫ xn dx = xn+1n+1 + C
Resumen
Esencia de la integral indefinida
∫ xn dx = xn+1n+1 + C
Inversa de la derivada + constante de integración C
🎯 Puntos clave
①Integral indefinida = inversa de la derivada. Siempre + C
②En ∫x^n dx, n ≠ -1
③Integra polinomios término a término
④Determina C con la condición inicial
⑤Verificación: derivar el resultado debe devolver el integrando
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Halla ∫ (3x² + 2x) dx.
1
Aplica ∫ xn dx = xn+1/(n+1) a cada término.
∫ 3x2 dx = x3, ∫ 2x dx = x2
2
Añade la constante de integración C.
∫ (3x2 + 2x) dx = x3 + x2 + C
▸ x³ + x² + C
La integral indefinida es la inversa de la derivada; añade siempre la constante + C.
Ejemplo 2
Si F'(x) = 2x + 1 y F(0) = 3, halla F(x).
1
F(x) = ∫ (2x + 1) dx = x² + x + C.
F(x) = x2 + x + C
2
Usa F(0) = 3 para hallar C.
F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x2 + x + 3
▸ F(x) = x² + x + 3
Una condición inicial fija la constante de integración C.
Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado
¿Cuánto es ∫ (6x² − 4x) dx? (C es la constante de integración)