Integral indefinida

Indefinite Integral

La integral indefinida recorre la derivación al revés: busca la función original cuya derivada es la función dada. Una constante se convierte en 0 al derivar y desaparece, así que no hay una sola función así, sino infinitas, que se diferencian en una constante. Por eso el resultado de una integral indefinida lleva siempre una constante de integración C que ocupa el lugar de la constante perdida. En el primer dibujo, al cambiar C la curva x² + C sube o baja sin cambiar de forma, y la pendiente de la tangente en x = 1 es 2 en todas las curvas.

Integrar deshace la derivación

🔄 La idea de integral indefinida

①Se busca una función F(x) cuya derivada sea f(x)

②Esa F(x), con F'(x) = f(x), es una integral indefinida (primitiva) de f(x)

③Sumar cualquier constante a F(x) no cambia su derivada, así que hay infinitas respuestas

Una integral indefinida es una familia de curvas

Constante de integración C0

Definición de integral indefinida

∫ f(x) dx = F(x) + C (F'(x) = f(x))

Representa todas las primitivas de f(x); C es la constante de integración

💡 Qué significa la constante C

①C solo queda fijada cuando se da una condición, como un valor inicial

②Por ejemplo, al integrar la velocidad v(t) = 2t se obtiene la posición s(t) = t² + C, con C = s(0)

③Al hallar una integral indefinida, nunca hay que olvidar + C

Derivar e integrar se deshacen mutuamente

Exponente n2

Integral de potencias

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

La regla de la potencia (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ usada al revés

Fórmulas básicas de integración

Múltiplos, sumas y restas

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

Los factores constantes salen fuera de la integral y las sumas y restas se integran término a término

Constante

∫ k dx = kx + C

Grado 1

∫ x dx = x²/2 + C

Grado 2

∫ x² dx = x³/3 + C

Grado n

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

Resumen

Esencia de la integral indefinida

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

Deshacer la derivación y añadir la constante C

🎯 Puntos clave

①La integral indefinida deshace la derivación; siempre se añade + C

②Al integrar xⁿ el exponente pasa a n + 1 y delante aparece 1/(n + 1)

③Un polinomio se integra término a término y se suma

④Una condición como un valor inicial fija C

⑤Comprobación: al derivar el resultado debe salir la función original

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Halla ∫ (3x² + 2x) dx.

Se aplica ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) a cada término.

∫ 3x² dx = x³, ∫ 2x dx = x²

Al final se añade la constante de integración C.

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

▸ x³ + x² + C

Al derivar x³ + x² + C se obtiene de nuevo 3x² + 2x, lo que confirma el resultado.

Ejemplo 2

Si F'(x) = 2x + 1 y F(0) = 3, halla F(x).

Al integrar 2x + 1 se obtiene F(x) = x² + x + C.

F(x) = x² + x + C

Con F(0) = 3 se fija C.

F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x² + x + 3

▸ F(x) = x² + x + 3

Equivale a elegir, de toda la familia de curvas, la que pasa por (0, 3). Una condición fija una constante C.

Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado

¿Cuánto es ∫ (6x² − 4x) dx? (C es la constante de integración)

①2x³ − 2x² + C

②2x³ − 4x² + C

③6x³ − 4x² + C

④x³ − x² + C

⑤12x − 4 + C

▸ ① 2x³ − 2x² + C

Integrando término a término, 6x² pasa a 2x³ y 4x pasa a 2x².

∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²

Se mantiene el signo menos y se añade la constante C.

2x³ - 2x² + C

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Aplicaciones de la derivada

Integral definida

Última actualización 2026-10-17

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