Integral indefinida

Indefinite Integral

La integral indefinida se pregunta qué función obtienes al deshacer la derivada. Buscas la función original cuya derivada es la dada, pero como toda constante desaparece al derivar, hay infinitas respuestas. Por eso el resultado lleva siempre una constante de integración C en lugar de esa constante perdida. Mueve el deslizador de la constante C y las curvas x² + C suben y bajan juntas sin cambiar de forma.

La integral es la inversa de la derivada

🔄 Idea central de la integral indefinida

①«¿Cuál es la función cuya derivada es f(x)?»

②Operación inversa a la derivada: hallar F(x) tal que F'(x) = f(x)

③Sumar cualquier constante C tiene derivada cero → ¡hay infinitas respuestas!

Familia de primitivas

constante de integración C0

Definición de la integral indefinida

∫ f(x) dx = F(x) + C (F'(x) = f(x))

Representa todas las primitivas de f(x); C es la constante de integración

💡 Significado de C

①C se determina con la condición inicial

②Ej.: integrando v(t) = 2t → s(t) = t² + C, con C = s(0)

③¡Olvidar + C resta puntos!

Relación inversa entre derivar e integrar

exponente n2

Integral de potencias

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

Inversa de la fórmula (xⁿ)' = nx^n-1

Fórmulas básicas de integración

Constante por función · suma · resta

∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx, ∫ [f ± g] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx

Saca la constante; integra término a término

Constante

∫ k dx = kx + C

Lineal

∫ x dx = x²/2 + C

Cuadrática

∫ x² dx = x³/3 + C

Potencia n

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

Resumen

Esencia de la integral indefinida

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C (n ≠ -1)

Inversa de la derivada + constante de integración C

🎯 Puntos clave

①Integral indefinida = inversa de la derivada. Siempre + C

②En ∫x^n dx, n ≠ -1

③Integra polinomios término a término

④Determina C con la condición inicial

⑤Verificación: derivar el resultado debe devolver el integrando

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Halla ∫ (3x² + 2x) dx.

Aplica ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) a cada término.

∫ 3x² dx = x³, ∫ 2x dx = x²

Añade la constante de integración C.

∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C

▸ x³ + x² + C

La integral indefinida es la inversa de la derivada; añade siempre la constante + C.

Ejemplo 2

Si F'(x) = 2x + 1 y F(0) = 3, halla F(x).

F(x) = ∫ (2x + 1) dx = x² + x + C.

F(x) = x² + x + C

Usa F(0) = 3 para hallar C.

F(0) = C = 3 ⟹ F(x) = x² + x + 3

▸ F(x) = x² + x + 3

Una condición inicial fija la constante de integración C.

tipo de examen

¿Cuánto es ∫ (6x² − 4x) dx? (C es la constante de integración)

①2x³ − 2x² + C

②2x³ − 4x² + C

③6x³ − 4x² + C

④x³ − x² + C

⑤12x − 4 + C

▸ ① 2x³ − 2x² + C

Integra cada término: ∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x².

∫ 6x² dx = 2x³, ∫ 4x dx = 2x²

Pon el signo y la constante de integración.

2x³ - 2x² + C

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Aplicaciones de la derivada

Integral definida

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