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Mis palabras

Aplicaciones de la derivada

Applications of Derivatives

La derivada funciona como una brújula que indica si la gráfica de una función va ahora cuesta arriba o cuesta abajo. Una pendiente positiva significa que sube, una negativa que baja, y el punto exacto donde el signo se invierte es una cima (máximo local) o un valle (mínimo local). Una vez que captas esto, una sola derivada basta para leer los valores máximo y mínimo de una función, e incluso la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. Mueve el deslizador de posición x y se inclina la tangente, y se intercambian las regiones verde (creciente) y roja (decreciente).

Determinar crecimiento y decrecimiento

📈 Lo que dice el signo de la derivada
①Donde f'(x) > 0 → f(x) crece (subida)
②Donde f'(x) < 0 → f(x) decrece (bajada)
③Punto con f'(x) = 0 → candidato a máximo/mínimo

Extremos y tabla de variación

0
Criterio de extremos
f'(a) = 0 y el signo de f' cambia + → − es máximo, − → + es mínimo
La tabla de variación muestra el cambio de signo
💡 Cómo construir la tabla de variación
①Hallar las raíces de f'(x) = 0 (p. ej. 3x² − 3 = 0 → x = ±1)
②Determinar el signo de f'(x) en cada intervalo
③Donde el signo cambia hay máximo o mínimo
④Si f'(x) = 0 pero el signo no cambia, no es extremo (ej.: x³ en x=0)

Máximo y mínimo

Extremos en intervalo cerrado
En [a, b] los candidatos son: ①puntos con f'(x)=0 ②extremos f(a), f(b)
Comparar candidatos: el mayor es máximo y el menor es mínimo
Criterio de la segunda derivada
f'(a)=0, f''(a)<0 → máximo / f'(a)=0, f''(a)>0 → mínimo
El signo de f'' decide entre máximo y mínimo. El punto de inflexión está en Cálculo: concavidad e inflexión
🔑 Estrategia de extremos
①Intervalo cerrado: comparar extremos relativos + extremos del intervalo + puntos no derivables
②Intervalo abierto: puede no haber máximo ni mínimo global
③Optimización aplicada: planteas la función objetivo y buscas extremos

Velocidad y aceleración

1 s
Posición-velocidad-aceleración
v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)
posición → velocidad → aceleración
💡 Interpretación del movimiento
①v(t) > 0: avanza en sentido positivo / v(t) < 0: en sentido negativo
②Aunque v(t) = 0, si el signo no cambia la dirección no cambia
③a(t) = constante → movimiento uniformemente acelerado (caída libre, etc.)

Resumen

Condición de extremo
f'(a) = 0 + cambio de signo → máximo/mínimo
El cambio de signo de la derivada es la clave
🎯 Puntos clave
①Tabla: hallar las raíces de f'(x) = 0 y el signo en cada tramo
②Criterio: f' de + → − es máx.; − → + es mín.
③Extremos en intervalo cerrado: comparar extremos relativos + extremos del intervalo
④Recta tangente: y = f(a) + f'(a)(x − a)
⑤Primero usa la tabla de variación para visualizar la gráfica y luego resuelve ecuaciones/desigualdades

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Halla el máximo y el mínimo locales de f(x) = x³ − 3x.
1
Halla la derivada y resuelve f'(x) = 0.
f'(x) = 3x2 - 3 = 0 ⟹ x = ±1
2
Por el signo de f', x = −1 da un máximo y x = 1 un mínimo.
máx local f(-1) = 2, mín local f(1) = -2
▸ máx local 2, mín local −2
Donde f'(x) = 0, un cambio de signo +→− da máximo y −→+ da mínimo.
Ejemplo 2
Un punto P parte del origen con posición s(t) = t² − 4t. Halla la velocidad v(1) en t = 1.
1
La velocidad es la derivada de la posición. v(t) = s'(t).
v(t) = s'(t) = 2t - 4
2
Sustituye t = 1.
v(1) = 2(1) - 4 = -2
▸ v(1) = −2
Derivar la posición una vez da la velocidad; su signo indica la dirección del movimiento.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
¿Cuál es la pendiente de la tangente a y = x² + 1 en el punto (1, 2)?
①2
②1
③3
④4
⑤0
▸ ① 2
1
La pendiente de la tangente es la derivada en ese punto. y' = 2x.
y' = (x2 + 1)' = 2x
2
Sustituye x = 1.
y'(1) = 2(1) = 2
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