Aplicaciones de la derivada

Applications of Derivatives

La derivada funciona como una brújula que te dice si la gráfica de una función va ahora cuesta arriba o cuesta abajo. Una pendiente positiva significa que sube, una negativa que baja, y el punto exacto donde el signo se invierte es una cima (máximo local) o un valle (mínimo local). Una vez que captas esto, una sola derivada te permite leer los valores máximo y mínimo de una función, e incluso la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. Mueve el deslizador de posición x y observa cómo se inclina la tangente y cómo se intercambian las regiones verde (creciente) y roja (decreciente).

Determinar crecimiento y decrecimiento

📈 Lo que dice el signo de la derivada

①Donde f'(x) > 0 → f(x) crece (subida)

②Donde f'(x) < 0 → f(x) decrece (bajada)

③Punto con f'(x) = 0 → candidato a máximo/mínimo

Extremos y tabla de variación

posición x0

Criterio de extremos

f'(a) = 0 y el signo de f' cambia + → − es máximo, − → + es mínimo

La tabla de variación muestra el cambio de signo

💡 Cómo construir la tabla de variación

①Hallar las raíces de f'(x) = 0 (p. ej. 3x² − 3 = 0 → x = ±1)

②Determinar el signo de f'(x) en cada intervalo

③Donde el signo cambia hay máximo o mínimo

④Si f'(x) = 0 pero el signo no cambia, no es extremo (ej.: x³ en x=0)

Máximo y mínimo

Extremos en intervalo cerrado

En [a, b] los candidatos son: ①puntos con f'(x)=0 ②extremos f(a), f(b)

Comparar candidatos: el mayor es máximo y el menor es mínimo

Criterio de la segunda derivada

f'(a)=0, f''(a)<0 → máximo / f'(a)=0, f''(a)>0 → mínimo

El signo de f'' decide entre máximo y mínimo

🔑 Estrategia de extremos

①Intervalo cerrado: comparar extremos relativos + extremos del intervalo

②Intervalo abierto: solo extremos relativos

③Optimización aplicada: planteas la función objetivo y buscas extremos

Velocidad y aceleración

instante t1 s

Posición-velocidad-aceleración

v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

posición → velocidad → aceleración

💡 Interpretación del movimiento

①v(t) > 0: avanza en sentido positivo / v(t) < 0: en sentido negativo

②v(t) = 0: punto de retorno (cumbre)

③a(t) = constante → movimiento uniformemente acelerado (caída libre, etc.)

Resumen

Condición de extremo

f'(a) = 0 + cambio de signo → máximo/mínimo

El cambio de signo de la derivada es la clave

🎯 Puntos clave

①Tabla: hallar las raíces de f'(x) = 0 y el signo en cada tramo

②Criterio: f' de + → − es máx.; − → + es mín.

③Extremos en intervalo cerrado: comparar extremos relativos + extremos del intervalo

④Recta tangente: y = f(a) + f'(a)(x − a)

⑤Primero usa la tabla de variación para visualizar la gráfica y luego resuelve ecuaciones/desigualdades

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Halla el máximo y el mínimo locales de f(x) = x³ − 3x.

Halla la derivada y resuelve f'(x) = 0.

f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⟹ x = ±1

Por el signo de f', x = −1 da un máximo y x = 1 un mínimo.

máx local f(-1) = 2, mín local f(1) = -2

▸ máx local 2, mín local −2

Donde f'(x) = 0, un cambio de signo +→− da máximo y −→+ da mínimo.

Ejemplo 2

Un punto P parte del origen con posición s(t) = t² − 4t. Halla la velocidad v(1) en t = 1.

La velocidad es la derivada de la posición. v(t) = s'(t).

v(t) = s'(t) = 2t - 4

Sustituye t = 1.

v(1) = 2(1) - 4 = -2

▸ v(1) = −2

Derivar la posición una vez da la velocidad; su signo indica la dirección del movimiento.

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado

¿Cuál es la pendiente de la tangente a y = x² + 1 en el punto (1, 2)?

①2

②1

③3

④4

⑤0

▸ ① 2

La pendiente de la tangente es la derivada en ese punto. y' = 2x.

y' = (x² + 1)' = 2x

Sustituye x = 1.

y'(1) = 2(1) = 2

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Derivada y derivada de funciones

Integral indefinida

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