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Aplicaciones de la derivada

Applications of Derivatives

El signo de la derivada dice si una gráfica va cuesta arriba o cuesta abajo en cada momento. Una pendiente positiva significa que sube y una negativa que baja, así que el punto donde cambia el signo es una cima, un máximo relativo, o un valle, un mínimo relativo. Con ese único principio se leen con la derivada los valores máximo y mínimo de una función, e incluso la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. En el primer dibujo, al mover la posición x la pendiente de la tangente encaja con las bandas verde (creciente) y roja (decreciente); en el segundo, en cada instante t aparecen juntos los valores de la posición, la velocidad y la aceleración.

Distinguir crecimiento y decrecimiento

📈 Qué dice el signo de la derivada
①Donde f'(x) > 0, f(x) es creciente (cuesta arriba)
②Donde f'(x) < 0, f(x) es decreciente (cuesta abajo)
③Los puntos con f'(x) = 0 son candidatos a máximo o mínimo relativo

Extremos relativos y tabla de signos

0
Cómo reconocer un extremo relativo
f'(a) = 0 y el signo de f' pasa de + a −: máximo; de − a +: mínimo
Se hace una tabla de signos para ver si la derivada cambia de signo
💡 Cómo hacer la tabla de signos
①Se resuelve f'(x) = 0 (por ejemplo, 3x² − 3 = 0 da x = ±1)
②Se fija el signo de f'(x) en cada intervalo entre raíces
③Donde cambia el signo, se decide si es máximo o mínimo
④f'(x) = 0 sin cambio de signo no es un extremo; por ejemplo, y = x³ no tiene extremo en x = 0

Valores máximo y mínimo

Máximo y mínimo en un intervalo cerrado
Candidatos en [a, b]: ① puntos con f'(x) = 0 ② los extremos f(a), f(b)
El mayor valor de la función entre los candidatos es el máximo, y el menor, el mínimo
Criterio de la segunda derivada
f'(a)=0, f''(a)<0 → máximo / f'(a)=0, f''(a)>0 → mínimo
El signo de la segunda derivada distingue máximos de mínimos; los puntos de inflexión se estudian con la segunda derivada en cálculo
🔑 Cómo hallar máximos y mínimos
①En un intervalo cerrado se comparan los valores en los extremos relativos, en los extremos del intervalo y en los puntos donde f no es derivable
②En un intervalo abierto puede no haber máximo ni mínimo
③En los problemas de optimización reales, se escribe como función la cantidad que se quiere optimizar y se deriva para hallar sus extremos

Velocidad y aceleración

1 s
Posición, velocidad y aceleración
v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)
Derivando una vez la posición se obtiene la velocidad, y derivando dos veces, la aceleración
💡 Cómo leer el movimiento
①Si v(t) > 0 el objeto se mueve en sentido positivo; si v(t) < 0, en sentido negativo
②En el dibujo v = 0 en t = 2, y en ese momento la posición s es la mayor
③Si v(t) = 0 pero no cambia de signo, el sentido se mantiene
④Si a(t) es constante, el movimiento tiene aceleración constante

Resumen

Condición de extremo
f'(a) = 0 con cambio de signo → máximo o mínimo relativo
Lo que importa es si la derivada cambia de signo
🎯 Puntos clave
①Tabla de signos: se resuelve f'(x) = 0 y se comprueba el signo en cada intervalo
②Si f' pasa de + a − hay un máximo relativo; de − a +, un mínimo
③En un intervalo cerrado, el máximo y el mínimo se obtienen comparando extremos relativos y extremos del intervalo
④La recta tangente es y = f'(a)(x − a) + f(a)
⑤En problemas de ecuaciones e inecuaciones, primero se esboza la gráfica con la tabla de signos

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Halla el máximo y el mínimo locales de f(x) = x³ − 3x.
1
Se deriva y se buscan las raíces de f'(x) = 0.
f'(x) = 3x2 - 3 = 0 ⟹ x = ±1
2
f' > 0 para x < −1, f' < 0 para −1 < x < 1 y f' > 0 para x > 1, así que hay un máximo relativo en x = −1 y un mínimo relativo en x = 1.
máx local f(-1) = 2, mín local f(1) = -2
▸ máx local 2, mín local −2
Las bandas verde y roja del primer dibujo son justamente esta tabla de signos. Donde el signo pasa de + a − hay una cima; donde pasa de − a +, un valle.
Ejemplo 2
Un punto P parte del origen con posición s(t) = t² − 4t. Halla la velocidad v(1) en t = 1.
1
La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
v(t) = s'(t) = 2t - 4
2
Se sustituye t = 1.
v(1) = 2(1) - 4 = -2
▸ v(1) = −2
v(1) es negativa, así que en t = 1 el punto P se mueve en sentido negativo. En t = 2, v = 0, y a partir de ahí cambia de sentido.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
¿Cuál es la pendiente de la tangente a y = x² + 1 en el punto (1, 2)?
①2
②1
③3
④4
⑤0
▸ ① 2
1
La pendiente de la tangente es la derivada en ese punto, y y' = 2x.
y' = (x2 + 1)' = 2x
2
Se sustituye x = 1.
y'(1) = 2(1) = 2
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