Derivar es medir lo deprisa que cambia una función en un instante concreto.
Se parte de la pendiente de una secante que pasa por dos puntos, la tasa de variación media, y al reducir a 0 la distancia entre ellos se obtiene la pendiente de la tangente que toca la curva en un punto, la tasa de variación instantánea.
Esa pendiente de la tangente es la derivada en el punto, y la función que asocia a cada x su derivada es la función derivada.
En el primer dibujo, al reducir Δx la secante azul se va pegando a la tangente naranja; en el segundo, se pueden comparar en la misma x la función f(x), arriba, y su derivada f'(x), abajo.
La idea de derivada
💡 Qué es derivar
①Es hallar la tasa de variación en un instante
②Haciendo Δx → 0 en la tasa de variación media (pendiente de la secante) se obtiene la instantánea (pendiente de la tangente)
③Así se obtiene con exactitud la pendiente en un punto de una curva
④Derivable implica continua, pero no al revés: y = |x| es continua en x = 0 pero tiene un pico y no es derivable
De la secante a la tangente
1
1.5
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Sobre f(x) = x², la secante (azul) que pasa por a y por el punto situado a Δx, y la tangente (naranja); al acercar Δx a 0, la secante se va pegando a la tangente
Definición de la derivada
f'(a) = limΔx→0f(a + Δx) - f(a)Δx
La tasa de variación instantánea en x = a, es decir, la pendiente de la tangente
🔑 Cómo la secante se convierte en tangente
①Una secante pasa por dos puntos de la curva, y su pendiente es la tasa de variación media
②Para f(x) = x², la pendiente de la secante es 2a + Δx
③Cuando Δx → 0, la pendiente de la secante se acerca a 2a, que es la pendiente de la tangente f'(a)
Reglas básicas de derivación
Derivada de una potencia
(xn)' = nxn-1
Aquí n es un número natural; los exponentes reales llegan más adelante en cálculo
Múltiplos, sumas y restas
(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'
Los factores constantes salen fuera y las sumas y restas se derivan término a término
Regla del producto
(fg)' = f'g + fg'
Se deriva el primero y se deja el segundo, más se deja el primero y se deriva el segundo
Regla del cociente
(fg)' = f'g - fg'g²
(derivada del numerador × denominador − numerador × derivada del denominador) ÷ denominador al cuadrado; se ve más adelante en cálculo
Qué significa la función derivada
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Arriba, f(x) = x³/3 − x; abajo, su derivada f'(x) = x² − 1. En la misma x, el valor de abajo es la pendiente de la curva de arriba
💡 Relación entre f(x) y f'(x)
①Si f'(x) > 0, f(x) está en un intervalo creciente
②Si f'(x) < 0, f(x) está en un intervalo decreciente
③Los puntos con f'(x) = 0 son candidatos a máximo o mínimo; en el dibujo están en x = ±1
Resumen
Derivada
f'(a) = limh→0f(a+h) - f(a)h
La pendiente de la tangente en el punto a
🎯 Puntos clave
①Derivable implica continua, no al revés (y = |x| no es derivable en x = 0)
②(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ es la base para derivar polinomios
③Regla del producto: f'g + fg'
④Si un punto con f'(a) = 0 es extremo depende de si hay cambio de signo
⑤Recta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a)
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Para f(x) = x², usa la definición de derivada para hallar f'(2).
1
Se sustituye a = 2 en la definición de derivada.
f'(2) = limh→0(2+h)2 - 22h
2
(2 + h)² − 4 = 4h + h², así que se simplifica h y después se hace h → 0.
= limh→04h + h2h = limh→0 (4 + h) = 4
▸ f'(2) = 4
Antes de simplificar, el denominador sería 0, así que no se puede sustituir h = 0 directamente. Simplificar a 4 + h y luego tomar el límite es como se halla una derivada a partir de la definición.
Ejemplo 2
Halla la derivada f'(x) de f(x) = x³ − 2x² + 5.
1
Se aplica (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ a cada término.
(x3)' = 3x2, (2x2)' = 4x, (5)' = 0
2
Se suman las derivadas de los términos; la derivada de la constante 5 es 0.
f'(x) = 3x2 - 4x
▸ f'(x) = 3x² − 4x
Un término constante solo desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo y no cambia la pendiente, así que desaparece al derivar.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
Para f(x) = x² + 3x, ¿cuál es la derivada f'(1) en x = 1?