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Mis palabras

Derivada y derivada de funciones

Derivative and Differentiation

La derivada es la herramienta que precisa exactamente qué tan rápido cambia una función en este preciso instante. Partes de la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos (la tasa media) y reduces la separación entre ellos hacia cero, hasta que se convierte en la pendiente de la recta tangente que apenas roza la curva (la tasa instantánea). Esa pendiente de la tangente es justamente la derivada en ese punto. Reduce el deslizador Δx y la secante azul se desliza justo sobre la tangente naranja.

Idea central de la derivada

💡 ¿Qué es derivar?
①Hallar la «tasa de variación instantánea»
②Partiendo de la tasa media (pendiente de la secante), llevar Δx → 0 → tasa instantánea (pendiente de la tangente)
③Obtienes la pendiente exacta en un punto de la curva
④Derivable implica continua; el recíproco falla. |x| es continua en x=0 pero no derivable

De la secante a la tangente

1
1.5
Definición de la derivada
f'(a) = limΔx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx
Tasa instantánea en x = a = pendiente de la tangente
🔑 Secante → tangente
①Secante: recta que pasa por dos puntos → tasa media
②Al disminuir Δx, el segundo punto se acerca al primero
③Límite Δx → 0: la secante se convierte en tangente → tasa instantánea

Reglas básicas de derivación

Derivada de potencias
(xn)' = nxn-1
Matemáticas II usa n natural. Los exponentes reales están en Cálculo. Base de la derivación
Constante por función · suma · resta
(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'
Saca la constante; deriva término a término
Regla del producto
(fg)' = f'g + fg'
derivada del primero × segundo + primero × derivada del segundo
Regla del cociente
(fg)' = f'g - fg'g²
(deriv. del numerador × denom. − numer. × deriv. denom.) / denom. al cuadrado. Esta regla está en Cálculo

Significado de la función derivada

0
💡 Relación entre f(x) y f'(x)
①f'(x) > 0 → f(x) crece
②f'(x) < 0 → f(x) decrece
③f'(x) = 0 → candidato a máximo o mínimo

Resumen

Derivada
f'(a) = limh→0 f(a+h) - f(a)h
Pendiente de la tangente en a
🎯 Puntos clave
①Derivable → continua (recíproco falso: |x| en x=0 es continua pero no derivable)
②(x^n)' = nx^{n-1} es base
③Regla del producto: f'g + fg'
④Donde f'(a) = 0, observar el cambio de signo para decidir extremo
⑤Recta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Para f(x) = x², usa la definición de derivada para hallar f'(2).
1
Sustituye en la definición: f'(2) = limh→0 [f(2+h) − f(2)]/h.
f'(2) = limh→0 (2+h)2 - 22h
2
Desarrolla, cancela y haz h → 0.
= limh→0 4h + h2h = limh→0 (4 + h) = 4
▸ f'(2) = 4
La derivada es la pendiente de la tangente; la definición es el límite de la tasa media.
Ejemplo 2
Halla la derivada f'(x) de f(x) = x³ − 2x² + 5.
1
Aplica la regla de la potencia (xn)' = nxn-1 a cada término.
(x3)' = 3x2, (2x2)' = 4x, (5)' = 0
2
Combina término a término.
f'(x) = 3x2 - 4x
▸ f'(x) = 3x² − 4x
Deriva un polinomio término a término con la regla de la potencia (la derivada de una constante es 0).
tipo de examen
Para f(x) = x² + 3x, ¿cuál es la derivada f'(1) en x = 1?
①5
②4
③2
④3
⑤8
▸ ① 5
1
Halla la derivada: f'(x) = 2x + 3.
f'(x) = (x2)' + (3x)' = 2x + 3
2
Sustituye x = 1.
f'(1) = 2(1) + 3 = 5
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