Derivada y derivada de funciones

Derivative and Differentiation

La derivada es la herramienta que precisa exactamente qué tan rápido cambia una función en este preciso instante. Partes de la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos (la tasa media) y reduces la separación entre ellos hacia cero, hasta que se convierte en la pendiente de la recta tangente que apenas roza la curva (la tasa instantánea). Esa pendiente de la tangente es justamente la derivada en ese punto. Reduce el deslizador Δx y observa el instante exacto en que la secante azul se desliza justo sobre la tangente naranja.

Idea central de la derivada

💡 ¿Qué es derivar?

①Hallar la «tasa de variación instantánea»

②Partiendo de la tasa media (pendiente de la secante), llevar Δx → 0 → tasa instantánea (pendiente de la tangente)

③Obtienes la pendiente exacta en un punto de la curva

De la secante a la tangente

posición de a1

Δx (separación)1.5

Definición de la derivada

f'(a) = lim_Δx→0 f(a + Δx) - f(a)Δx

Tasa instantánea en x = a = pendiente de la tangente

🔑 Secante → tangente

①Secante: recta que pasa por dos puntos → tasa media

②Al disminuir Δx, el segundo punto se acerca al primero

③Límite Δx → 0: la secante se convierte en tangente → tasa instantánea

Reglas básicas de derivación

Derivada de potencias

(xⁿ)' = nx^n-1

Vale para n real — base de la derivación

Constante por función · suma · resta

(cf)' = cf', (f ± g)' = f' ± g'

Saca la constante; deriva término a término

Regla del producto

(fg)' = f'g + fg'

derivada del primero × segundo + primero × derivada del segundo

Regla del cociente

(fg)' = f'g - fg'g²

(deriv. del numerador × denom. − numer. × deriv. denom.) / denom. al cuadrado

Significado de la función derivada

posición x0

💡 Relación entre f(x) y f'(x)

①f'(x) > 0 → f(x) crece

②f'(x) < 0 → f(x) decrece

③f'(x) = 0 → candidato a máximo o mínimo

Resumen

Derivada

f'(a) = lim_h→0 f(a+h) - f(a)h

Pendiente de la tangente en a

🎯 Puntos clave

①Derivable → continua (recíproco falso: |x| en x=0 es continua pero no derivable)

②(x^n)' = nx^{n-1} es base

③Regla del producto: f'g + fg'

④Donde f'(a) = 0, observar el cambio de signo para decidir extremo

⑤Recta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Para f(x) = x², usa la definición de derivada para hallar f'(2).

Sustituye en la definición: f'(2) = lim_h→0 [f(2+h) − f(2)]/h.

f'(2) = lim_h→0 (2+h)² - 2²h

Desarrolla, cancela y haz h → 0.

= lim_h→0 4h + h²h = lim_h→0 (4 + h) = 4

▸ f'(2) = 4

La derivada es la pendiente de la tangente; la definición es el límite de la tasa media.

Ejemplo 2

Halla la derivada f'(x) de f(x) = x³ − 2x² + 5.

Aplica la regla de la potencia (xⁿ)' = nx^n-1 a cada término.

(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (5)' = 0

Combina término a término.

f'(x) = 3x² - 4x

▸ f'(x) = 3x² − 4x

Deriva un polinomio término a término con la regla de la potencia (la derivada de una constante es 0).

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

Para f(x) = x² + 3x, ¿cuál es la derivada f'(1) en x = 1?

①5

②4

③2

④3

⑤8

▸ ① 5

Halla la derivada: f'(x) = 2x + 3.

f'(x) = (x²)' + (3x)' = 2x + 3

Sustituye x = 1.

f'(1) = 2(1) + 3 = 5

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Aplicaciones de la derivada

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