Continuidad de funciones

Continuity of Functions

Una función es continua cuando su gráfica se puede dibujar de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. No puede haber cortes, ni saltos como de escalera, ni agujeros por el camino. Con precisión, f es continua en x = a cuando existen el valor f(a) y el límite, y los dos coinciden. Los tres botones del segundo dibujo comparan una función continua, una discontinuidad de salto y una discontinuidad evitable; en el cuarto, al cambiar la altura k se encuentra el punto c que garantiza el teorema del valor intermedio.

Intuición de la continuidad

✏ Qué significa ser continua

①Una gráfica que se dibuja sin levantar el lápiz

②Sin cortes, sin saltos y sin agujeros

③Las tres condiciones de abajo convierten esa idea en una definición

Continua y discontinua, lado a lado

Las tres condiciones de continuidad

continua en x = a ⟺ ①f(a) existe ②lim_x→a f(x) existe ③lim_x→a f(x) = f(a)

Si falla cualquiera de las tres, la función es discontinua

🔍 Tipos de discontinuidad

①Discontinuidad de salto: los límites laterales son distintos y la gráfica salta

②Discontinuidad evitable: el límite existe, pero f(a) no existe o es distinto, y queda un agujero

③Discontinuidad infinita: el límite se va a más o menos infinito y aparece una asíntota vertical (no está en el dibujo)

④Una discontinuidad evitable desaparece si se redefine f(a) como el valor del límite

Propiedades de funciones continuas

Operaciones de funciones continuas

si f, g son continuas, también f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0)

Las sumas, restas y productos de funciones continuas son continuos, y los cocientes lo son donde el denominador no se anula

Composición de continuas

f continua en a, g continua en f(a) → g ∘ f continua en a

La composición de funciones continuas es continua

Teorema del valor intermedio

Altura k0.5

Teorema del valor intermedio

f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k

Se cumple si f es continua en [a, b]; aunque f(a) > f(b), vale para cualquier k entre los dos valores

💡 Cómo usar el teorema del valor intermedio

①Si f(a) < 0 < f(b), hay al menos un c en (a, b) con f(c) = 0

②Así se demuestra que una ecuación tiene una raíz real en un intervalo

③Si f no es continua en [a, b], el teorema no se puede usar

④El teorema solo dice que c existe, no cuántos hay; en el dibujo, cualquier k entre −1 y 3 da tres puntos

Resumen

Definición de continuidad

lim_x→a f(x) = f(a)

Continua significa que el límite coincide con el valor de la función

🎯 Puntos clave

①Tres condiciones: existe f(a), existe el límite y son iguales

②Las funciones polinómicas son continuas en todo ℝ, y las racionales donde el denominador no se anula

③Para detectar una discontinuidad, primero se comparan los límites laterales

④Teorema del valor intermedio: si una función continua cambia de signo, entre medias hay una raíz

⑤Las constantes desconocidas se fijan con límite izquierdo = límite derecho = f(a)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Para f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1) y f(1) = k, halla la constante k que hace f continua en x = 1.

Para que sea continua en x = 1, el límite debe ser igual a f(1) = k.

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

Para x ≠ 1 la fracción se simplifica a x + 1, así que el límite es 2.

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

La función original es la recta y = x + 1 con un agujero en x = 1. Al tapar el agujero con k = 2, queda continua.

Ejemplo 2

Para f(x) = x² − 3, explica que la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1, 2).

f es polinómica, así que es continua en [1, 2]; se miran los signos de los valores en los extremos.

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

Los signos son distintos, así que por el teorema del valor intermedio hay un c en (1, 2) con f(c) = 0.

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ Existe una raíz real en (1, 2).

La raíz real es √3 ≈ 1,73. El teorema del valor intermedio no da por sí solo el valor de la raíz, pero sí el intervalo en el que está.

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado

Para f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) }, halla la constante a si f es continua en x = 1.

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

Para que sea continua en x = 1, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y f(1) tienen que coincidir.

izquierda = 2(1) + a = 2 + a, derecha = 1² + 2 = 3

Se iguala el límite por la izquierda, 2 + a, al límite por la derecha, 3.

2 + a = 3 ⟹ a = 1

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Límite de una función

Derivada y derivada de funciones

Última actualización 2026-10-17

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