Continuidad de funciones

Continuity of Functions

Que una función sea continua significa que puedes dibujar toda su gráfica de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. Es una curva suave sin cortes bruscos, sin saltos en forma de escalón y sin ningún hueco perforado. En rigor, una función es continua en un punto solo cuando su límite y su valor coinciden exactamente allí. Pulsa los botones continua, salto y evitable para comparar dónde y cómo una gráfica que parecía suave llega a romperse.

Intuición de la continuidad

✏ ¿Qué es la continuidad?

①«gráfica que se traza sin levantar el lápiz»

②curva suave sin cortes, sin saltos ni huecos

③matemáticamente debe cumplir tres condiciones a la vez

Continua vs. discontinua

Tres condiciones de continuidad

continua en x = a ⟺ ①f(a) existe ②lim_x→a f(x) existe ③lim_x→a f(x) = f(a)

Si falla una sola condición, no es continua

🔍 Tipos de discontinuidad

①Salto: límite izq. ≠ límite der. (escalón)

②Evitable: el límite existe pero f(a) ≠ límite (hueco)

③Infinita: el límite tiende a ±∞ (asíntota vertical)

Propiedades de funciones continuas

Operaciones de funciones continuas

si f, g son continuas, también f ± g, f · g, f/g (g ≠ 0)

Suma, resta, producto y cociente preservan la continuidad

Composición de continuas

f continua en a, g continua en f(a) → g ∘ f continua en a

La composición de continuas es continua

Teorema del valor intermedio

valor objetivo k0.5

Teorema del valor intermedio

f(a) < k < f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b), f(c) = k

Una función continua toma todos los valores intermedios — útil para probar existencia de raíces

💡 Aplicación del TVI

①«si f(a) < 0 y f(b) > 0, hay c en (a, b) con f(c) = 0»

②herramienta clave para demostrar existencia de raíces

③f debe ser continua en [a, b]

Resumen

Definición de continuidad

lim_x→a f(x) = f(a)

Si el límite coincide con el valor de la función, hay continuidad

🎯 Puntos clave

①Tres condiciones: f(a) existe + el límite existe + ambos coinciden

②Polinomios, trigonométricas, exponenciales/logarítmicas son continuas en su dominio

③Discontinuidad se detecta comparando límites laterales

④TVI: existencia de raíces de continuas → «si cambia de signo, hay raíz»

⑤Problemas de constantes: usa la continuidad (izq.=der.=f(a)) para determinar parámetros

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Para f(x) = (x² − 1)/(x − 1) (x ≠ 1) y f(1) = k, halla la constante k que hace f continua en x = 1.

Para la continuidad en x=1 se necesita lim_x→1 f(x) = f(1) = k.

x² - 1x - 1 = x + 1 (x ≠ 1)

Halla el límite e iguálalo a k.

lim_x→1 (x + 1) = 2 = k

▸ k = 2

Una discontinuidad evitable se vuelve continua cuando el valor iguala al límite.

Ejemplo 2

Para f(x) = x² − 3, explica que la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1, 2).

f es un polinomio, así que es continua en [1, 2]; observa los signos en los extremos.

f(1) = -2 < 0, f(2) = 1 > 0

Los signos difieren, así que por el TVI hay c en (1, 2) con f(c) = 0.

f(1) < 0 < f(2) ⟹ f(c) = 0, c ∈ (1, 2)

▸ Existe una raíz real en (1, 2).

Si una función continua cambia de signo en un intervalo, hay una raíz entre medias (TVI).

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado

Para f(x) = { 2x + a (x ≤ 1), x² + 2 (x > 1) }, halla la constante a si f es continua en x = 1.

①1

②3

③2

④-1

⑤0

▸ ① 1

Para la continuidad en x=1, límite por la izquierda = por la derecha = f(1).

izquierda = 2(1) + a = 2 + a, derecha = 1² + 2 = 3

Iguálalos.

2 + a = 3 ⟹ a = 1

← Anterior

Límite de una función

Derivada y derivada de funciones

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik