Límite de una función

Limit of a Function

El límite pregunta hacia dónde se dirige una función cuando acercas x tanto como quieras a cierto valor. Lo sorprendente es que x nunca necesita llegar realmente a ese punto, y la función ni siquiera tiene que estar definida allí. Incluso en un hueco perforado, si ambos lados se aproximan al mismo valor, el límite existe sin duda. Mueve el deslizador de cercanía y el punto azul de la izquierda y el naranja de la derecha convergen juntos hacia el 2, justo donde está el hueco.

¿Qué es un límite?

Aunque no puedas sustituir un número en un punto, sí puedes preguntar hacia dónde se pegan los valores cercanos. Esa pregunta es el límite de una función, y por eso una forma 0/0 sigue mereciendo que ordenes los valores de alrededor en vez de tirar la expresión. El límite por la izquierda y el de la derecha tienen que coincidir antes de nombrar un solo límite, porque un solo lado puede quedar a otra altura. La continuidad es una comparación posterior entre ese límite y f(a), así que primero va el acercamiento. Sumas, restas, productos y cocientes de límites se calculan a partir de cada límite, y un cociente necesita que el límite del denominador no sea 0.

🎯 Idea central del límite

①«Cuando x se acerca a a, ¿a qué valor tiende f(x)?»

②No hace falta llegar a x = a — lo que importa es la tendencia

③El límite existe solo si los límites laterales coinciden

④El límite puede existir aunque no exista f(a). L'Hôpital está en Cálculo

grado de cercanía t20 %

El dibujo de acercamiento traza f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en verde, con un círculo hueco rojo a altura 2 en x = 1. Un punto azul queda a la izquierda de la curva y uno naranja a la derecha, y las líneas a trazos marcan el hueco en x = 1 e y = 2. El grado de cercanía t va de 0 % a 95 %. Un t mayor vuelve a colocar los dos puntos más cerca del hueco. El dibujo del centro es f(x) = 2x con límite 4 cuando x → 2. La franja naranja es ε alrededor de L = 4 y la azul es δ alrededor de a = 2; en esta recta van emparejadas como δ = ε/2. ε va de 0.3 a 3.0. El dibujo de abajo superpone el verde f(x) = x²/3 y el naranja k · f(x) para la regla del múltiplo constante, con k de 0.5 a 3.0.

💡 Puntos de observación

①El punto azul (lím. izq.) y el naranja (lím. der.) tienden a y=2

②f(1) no está definida (círculo abierto), pero el límite es 2

③(x²−1)/(x−1) factoriza como (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1

Definición ε-δ (avanzado)

Es tentador leer el círculo hueco rojo como «no hay límite». Ese círculo solo marca una salida vacía en x = 1; no es el veredicto sobre el límite. En esta figura el punto azul y el naranja toman nuevos sitios hacia la misma altura 2, así que un hueco aún puede dejar un solo candidato a límite. Tener un número para f(a) tampoco convierte ese número en el límite por sí solo. Si los dos lados quedan a alturas distintas, no hay límite aunque exista f(a), y entonces tampoco hay continuidad. Sustituir el valor objetivo en una forma 0/0 derrumba la expresión, así que primero buscas un factor que se pueda cancelar.

ε (margen de error)1.5

Definición del límite (ε-δ)

lim_x→a f(x) = L

Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε

🔑 Interpretación de ε-δ

①ε es el error permitido en el eje y (banda naranja)

②δ es la restricción en el eje x (banda azul)

③Si para todo ε existe el correspondiente δ → el límite existe

Propiedades básicas del límite

constante k2

Operaciones con límites

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

Si todos los límites existen (denominador ≠ 0)

Constante por función

lim k·f(x) = k · lim f(x)

La constante sale del límite

Límites importantes

Límite trigonométrico fundamental

lim_x→0 sin xx = 1

Ámbito de Cálculo. En radianes. No es obligatorio en Matemáticas II

Límite de la exponencial natural

lim_x→0 e^x - 1x = 1

Ámbito de Cálculo. Se deduce de la definición de e

Límite del logaritmo natural

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

Ámbito de Cálculo. Se obtiene del anterior por cambio de variable

Resumen

Definición de límite

lim_x→a f(x) = L ⟺ lím. izq. = lím. der. = L

Ambos laterales deben converger al mismo valor

🎯 Puntos clave

①Si lím. izq. ≠ lím. der., el límite no existe

②f(a) es independiente del límite — incluso si f(a) no está definida, el límite puede existir

③Forma 0/0: factoriza, racionaliza o usa L'Hôpital

④Memoriza sin x/x → 1 y (e^x − 1)/x → 1

⑤Las operaciones requieren que cada límite exista

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Calcula lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2).

Es una forma 0/0; factoriza el numerador y cancela.

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

Sustituye x → 2.

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

Resuelve una forma 0/0 factorizando y cancelando, luego sustituye.

Ejemplo 2

Calcula lim_x→0 (sin 3x)/x.

Para usar sin x / x → 1, ajusta el denominador a 3x.

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

Cuando 3x → 0, sin(3x)/(3x) → 1.

3 × 1 = 3

▸ 3

Para usar lim_x→0 sin(x)/x = 1, haz que el denominador iguale el argumento del seno.

tipo de examen

¿Cuánto vale lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1)?

①4

②0

③2

④3

⑤no existe el límite

▸ ① 4

Factoriza el numerador: x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

Sustituye x → 1.

lim_x→1 (x + 3) = 4

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점화식

함수의 연속

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