Límite de una función

Limit of a Function

El límite pregunta hacia dónde se dirige una función cuando acercas x tanto como quieras a cierto valor. Lo sorprendente es que x nunca necesita llegar realmente a ese punto, y la función ni siquiera tiene que estar definida allí. Incluso en un hueco perforado, si ambos lados se aproximan al mismo valor, el límite existe sin duda. Mueve el deslizador de cercanía y observa cómo el punto azul de la izquierda y el naranja de la derecha convergen juntos hacia el 2, justo donde está el hueco.

¿Qué es un límite?

🎯 Idea central del límite

①«Cuando x se acerca a a, ¿a qué valor tiende f(x)?»

②No hace falta llegar a x = a — lo que importa es la tendencia

③El límite existe solo si los límites laterales coinciden

grado de cercanía t20 %

💡 Puntos de observación

①El punto azul (lím. izq.) y el naranja (lím. der.) tienden a y=2

②f(1) no está definida (círculo abierto), pero el límite es 2

③(x²−1)/(x−1) factoriza como (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1

Definición ε-δ

ε (margen de error)1.5

Definición del límite (ε-δ)

lim_x→a f(x) = L

Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε

🔑 Interpretación de ε-δ

①ε es el error permitido en el eje y (banda naranja)

②δ es la restricción en el eje x (banda azul)

③Si para todo ε existe el correspondiente δ → el límite existe

Propiedades básicas del límite

constante k2

Operaciones con límites

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)

Si todos los límites existen (denominador ≠ 0)

Constante por función

lim k·f(x) = k · lim f(x)

La constante sale del límite

Límites importantes

Límite trigonométrico fundamental

lim_x→0 sin xx = 1

En radianes

Límite de la exponencial natural

lim_x→0 e^x - 1x = 1

Se deduce de la definición de e

Límite del logaritmo natural

lim_x→0 ln(1 + x)x = 1

Se obtiene del anterior por cambio de variable

Resumen

Definición de límite

lim_x→a f(x) = L ⟺ lím. izq. = lím. der. = L

Ambos laterales deben converger al mismo valor

🎯 Puntos clave

①Si lím. izq. ≠ lím. der., el límite no existe

②f(a) es independiente del límite — incluso si f(a) no está definida, el límite puede existir

③Forma 0/0: factoriza, racionaliza o usa L'Hôpital

④Memoriza sin x/x → 1 y (e^x − 1)/x → 1

⑤Las operaciones requieren que cada límite exista

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Calcula lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2).

Es una forma 0/0; factoriza el numerador y cancela.

x² - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2

Sustituye x → 2.

lim_x→2 (x + 2) = 4

▸ 4

Resuelve una forma 0/0 factorizando y cancelando, luego sustituye.

Ejemplo 2

Calcula lim_x→0 (sin 3x)/x.

Para usar sin x / x → 1, ajusta el denominador a 3x.

sin 3xx = 3 × sin 3x3x

Cuando 3x → 0, sin(3x)/(3x) → 1.

3 × 1 = 3

▸ 3

Para usar lim_x→0 sin(x)/x = 1, haz que el denominador iguale el argumento del seno.

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

¿Cuánto vale lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1)?

①4

②0

③2

④3

⑤no existe el límite

▸ ① 4

Factoriza el numerador: x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).

x² + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3

Sustituye x → 1.

lim_x→1 (x + 3) = 4

Continuidad de funciones

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