Un límite pregunta hacia dónde se dirige el valor de una función cuando x se acerca tanto como se quiera a cierto número.
x no tiene por qué llegar de verdad, y la función ni siquiera tiene que estar definida en ese punto.
Aunque haya un agujero, si los valores que se acercan por los dos lados coinciden, el límite existe sin duda.
En el primer dibujo, al subir el grado de acercamiento, el punto azul de la izquierda y el naranja de la derecha se acercan al agujero de x = 1, y los valores de la función en los dos se juntan en 2.
Qué es un límite
En x = 1, (x² − 1)/(x − 1) no se puede calcular porque el denominador vale 0. Aun así, los valores cercanos se agolpan todos hacia 2: x = 0,9 da 1,9, x = 1,1 da 2,1 y x = 0,99 da 1,99. El límite de una función pregunta justamente eso, sin pisar el propio punto: dónde se reúnen los valores de alrededor.
🎯 La idea de límite
①Se pregunta a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca tanto como se quiera a a
②x no tiene que llegar a a; solo cuentan los valores del camino
③El límite existe solo si el límite por la izquierda y el límite por la derecha coinciden
④Puede haber límite aunque f(a) no esté definida
20 %
seegongsik.com
f(x) = (x² − 1)/(x − 1), con un agujero en x = 1; los valores en los dos puntos que se acercan por cada lado se juntan en 2
La recta verde del primer dibujo coincide con y = x + 1, pero tiene un círculo hueco rojo en x = 1. Al subir el grado de acercamiento t, el punto azul se acerca a x = 1 desde la izquierda y el naranja desde la derecha, y arriba aparecen sus valores de x y de f(x). Con t = 95 % los puntos están en x = 0,9 y 1,1, con valores 1,9 y 2,1. En el segundo dibujo, al reducir ε la banda naranja se estrecha, y la banda azul δ = ε/2 se estrecha con ella para que la gráfica quede dentro.
💡 Qué mirar
①El punto azul (izquierda) y el naranja (derecha) se acercan los dos a la altura 2
②f(1) no está definida (círculo hueco), pero el límite es claramente 2
③Al factorizar queda (x + 1)(x − 1)/(x − 1), que es igual a x + 1 siempre que x ≠ 1
Decirlo con precisión: ε y δ (ampliación)
Al ver el círculo hueco rojo es fácil pensar que no hay límite, pero el círculo solo indica que la función no tiene valor en x = 1. Los dos puntos se juntan en la misma altura, 2, así que el límite es 2. Al revés, que exista f(a) no significa que sea el límite: si los límites laterales son distintos, no hay límite aunque f(a) exista. Además, sustituir sin más en una forma 0/0 deja la expresión sin sentido, así que primero se busca un factor que se pueda simplificar.
1.5
seegongsik.com
Para f(x) = 2x, la banda ε (naranja) alrededor de L = 4 y la banda δ (azul) alrededor de a = 2; al reducir ε también se reduce δ = ε/2
Definición de límite (ε-δ)
limx→a f(x) = L
Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ implica |f(x) − L| < ε
🔑 Cómo leer ε y δ
①ε es el error permitido en la dirección y (banda naranja)
②δ es la anchura en la dirección x que mantiene f(x) dentro de la banda ε (banda azul)
③Si siempre se encuentra un δ adecuado por pequeño que sea ε, el límite existe
④Esta definición va más allá del curso habitual de bachillerato
Propiedades básicas de los límites
2
seegongsik.com
f(x) = x²/3 (verde) y k · f(x) (naranja); cuando x → 3, f(x) se acerca a 3 y k · f(x) a 3k
Límites de sumas, productos y cocientes
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
Si los límites existen, el de una suma, resta, producto o cociente se calcula a partir de ellos (en un cociente, el límite del denominador no puede ser 0)
Múltiplos constantes
lim k·f(x) = k · lim f(x)
Una constante puede salir fuera del límite
Avance de límites clave (cálculo)
Límite trigonométrico básico
limx→0sin xx = 1
Se estudia más adelante en cálculo; x se mide en radianes
Límite exponencial
limx→0ex - 1x = 1
Se estudia más adelante en cálculo; e es la base del logaritmo natural
Límite logarítmico
limx→0ln(1 + x)x = 1
Se estudia más adelante en cálculo; se obtiene del anterior por sustitución
Resumen
Definición de límite
limx→a f(x) = L ⟺ límite por la izquierda = límite por la derecha = L
El límite existe solo si los dos lados se acercan al mismo valor
🎯 Puntos clave
①Si los límites laterales son distintos, no hay límite
②f(a) y el límite son ideas distintas; puede haber límite sin f(a)
③En una forma 0/0 se simplifica factorizando o racionalizando y luego se sustituye
④Las reglas de sumas, productos y cocientes solo valen si cada límite existe
⑤Si en un cociente el límite del denominador es 0, hay que estudiarlo aparte
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Calcula limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
1
Al sustituir x = 2 sale 0/0, así que se factoriza el numerador y se simplifica.
x2 - 4x - 2 = (x+2)(x-2)x-2 = x + 2
2
Se sustituye x = 2 en la expresión simplificada x + 2.
limx→2 (x + 2) = 4
▸ 4
La simplificación solo vale para x ≠ 2, pero el límite solo mira los valores cercanos a 2, nunca el propio 2, así que no hay problema.
Ejemplo 2
Calcula limx→0 (sin 3x)/x.
1
Para usar sin x / x → 1, el denominador tiene que coincidir con el 3x de dentro del seno.
sin 3xx = 3 × sin 3x3x
2
Cuando x → 0, 3x → 0, así que sin 3x / 3x → 1.
3 × 1 = 3
▸ 3
El límite vale 1 solo cuando la expresión de dentro del seno coincide con el denominador; por eso se multiplica y se divide por 3.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
¿Cuánto vale limx→1 (x² + 2x − 3)/(x − 1)?
①4
②0
③2
④3
⑤no existe el límite
▸ ① 4
1
Al sustituir x = 1 sale 0/0, así que se factoriza el numerador como (x + 3)(x − 1).
x2 + 2x - 3x - 1 = (x+3)(x-1)x-1 = x + 3
2
Se sustituye x = 1 en la expresión simplificada x + 3.