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Relaciones de recurrencia

Recurrence Relations

Una relación de recurrencia fija toda una sucesión con solo un primer término y una regla que forma el término siguiente a partir del anterior. Con un número de partida y la regla, al repetir la regla se obtienen el segundo, el tercero, el cuarto término y así sin fin. Si siempre se suma el mismo número sale una progresión aritmética, si siempre se multiplica por el mismo número sale una geométrica, y cuando lo que se suma cambia con n, esas cantidades se reúnen con un sumatorio para hallar el término general. En el dibujo, al aumentar el número de términos se van añadiendo los puntos uno a uno, empezando en a₁ = 1 y sumando 2 cada vez.

Formar el término siguiente a partir del anterior

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👀 Cómo define una sucesión una recurrencia
①Una recurrencia fija la sucesión con un primer término y una regla que forma el siguiente término a partir del anterior
②Empezando en a₁ y repitiendo la regla quedan fijados todos los términos, uno a uno
③Definir así una sucesión se llama definición recursiva (inductiva)
④Los puntos del dibujo suben 2 en cada paso, así que quedan sobre una misma recta

Tipo aritmético y tipo geométrico

Recurrencia de tipo aritmético
an+1 = an + d ⇒ aritmética, an = a1 + (n−1)d
Sumar siempre el mismo valor d da una progresión aritmética de diferencia d
Recurrencia de tipo geométrico
an+1 = r·an ⇒ geométrica, an = a1·rn-1
Multiplicar siempre por el mismo número r da una progresión geométrica de razón r

Cuando cambia lo que se suma

Recurrencia con incrementos variables
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
Cuando lo que se suma, f(n), cambia con n, el término general es el primer término más la suma de f(1) a f(n − 1)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Para a1=3, an+1=an+2, halla a5.
1
Cada término es el anterior más 2, así que es una progresión aritmética de primer término 3 y diferencia 2.
an = 3 + (n−1)·2
2
Se sustituye n = 5 en el término general.
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
Con la forma «término anterior + constante» no hace falta construir los términos uno a uno: el término general aritmético sirve directamente. Escribir 3, 5, 7, 9, 11 da lo mismo.
Ejemplo 2
Para a1=1, an+1=2an+1, halla a4.
1
Se aplica la regla paso a paso desde a₁ = 1.
a2=3, a3=7, a4=15
2
a₄ es el doble de a₃ = 7 más 1.
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
La forma 2aₙ + 1 no es aritmética ni geométrica, así que es más rápido construir los primeros términos. Como 1, 3, 7, 15 son 2¹ − 1, 2² − 1, 2³ − 1 y 2⁴ − 1, se puede conjeturar aₙ = 2ⁿ − 1.

Resumen

Resultado clave
an+1=an+d (arit), an+1=r an (geo), an+1=an+f(n) (dif)
Antes de nada, mirar la forma de la recurrencia y decidir si es aritmética, geométrica o de incrementos variables
Tipo de examen CSAT 2020 Mat., adaptado
Para la sucesión definida por a1=2, an+1=an+3, ¿cuánto vale a10?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
Cada término es el anterior más 3, así que es una progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 3.
an = 2 + (n−1)·3
2
Al sustituir n = 10 en el término general, se suma 3 nueve veces a 2.
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 Puntos de examen
①Primero se identifica la forma: sumar siempre d es aritmética; multiplicar siempre por r, geométrica
②El tipo aₙ₊₁ = aₙ + f(n) se resuelve con un sumatorio
③Si la forma no es conocida, se construyen unos términos desde a₁ y se conjetura la regla
④El primer término y la regla, juntos, fijan por completo la sucesión
⑤Una vez hallado el término general, se sustituye con cuidado el número de término
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