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Mis palabras
2° Bachillerato (16-17 años)

Relaciones de recurrencia

Recurrence Relations

Una relación de recurrencia fija una sucesión entera con un término inicial y una regla que forma cada término desde el anterior. Con un primer término y una regla, repetirla va generando los siguientes términos sin fin. Suma algo fijo y es aritmética, multiplica por una razón fija y es geométrica, y si lo que sumas cambia, una suma sigma lo reúne en el término general. Aquí un deslizador añade términos uno a uno para ver la recurrencia dibujar la sucesión.

Construye el término siguiente desde el anterior
5
👀 Velo
①Una recurrencia define una sucesión por un primer término y una regla "siguiente = función del anterior"
②Partiendo de a₁ y aplicando la regla repetidamente se fijan todos los términos
③Esta es la definición recursiva (inductiva) de una sucesión
Tipos aritmético y geométrico
Recurrencia tipo aritmético
an+1 = an + d ⇒ aritmética, an = a1 + (n−1)d
Sumar una constante d da una sucesión aritmética
Recurrencia tipo geométrico
an+1 = r·an ⇒ geométrica, an = a1·rn-1
Multiplicar por una razón constante r da una sucesión geométrica
Tipo de diferencias — cuando lo añadido varía
Recurrencia de diferencias
an+1 = an + f(n) ⇒ an = a1 + ∑k=1n-1 f(k)
Si lo añadido varía con n, halla el término general por esa suma (sigma)
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
Para a1=3, an+1=an+2, halla a5.
1
Sumar la constante 2 da una sucesión aritmética de diferencia común 2.
an = 3 + (n−1)·2
2
Sustituye n=5.
a5 = 3 + 4·2 = 11
▸ 11
Para una forma "anterior + constante", escribe directo el término general aritmético.
Ejemplo 2
Para a1=1, an+1=2an+1, halla a4.
1
Aplica la regla término a término.
a2=3, a3=7, a4=15
2
Calcula los términos directamente para obtener a4.
a4 = 2·7 + 1 = 15
▸ 15
Si la regla no es aritmética ni geométrica, generar términos pequeños directamente es lo más rápido.
Resumen
Resultado clave
an+1=an+d (arit), an+1=r an (geo), an+1=an+f(n) (dif)
Lee primero la forma de la recurrencia para distinguir aritmética, geométrica o de diferencias
Tipo de CSAT 2020 Mat., adaptado
Para la sucesión definida por a1=2, an+1=an+3, ¿cuánto vale a10?
①26
②29
③32
④35
⑤38
▸ ② 29
1
Es una sucesión aritmética de diferencia común 3.
an = 2 + (n−1)·3
2
Sustituye n=10.
a10 = 2 + 9·3 = 29
🎯 Puntos de examen
①Identifica la forma primero: +d es aritmética, ×r es geométrica
②El tipo de diferencias a_{n+1}=a_n+f(n) usa sigma
③Si te atascas, genera varios términos desde a_1 para adivinar la regla
④El primer término y la regla determinan por completo la sucesión
⑤Tras hallar el término general, sustituye el índice con cuidado
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Inducción matemática
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