Inducción matemática

Mathematical Induction

La inducción matemática derriba infinitas afirmaciones en una fila, como una hilera de fichas de dominó. Primero muestras que cae la primera ficha (se cumple en n = 1), y luego que, si cae una cualquiera, también cae la siguiente (si vale en n = k, vale en n = k + 1). Con solo comprobar esas dos cosas, queda garantizada para todos los naturales de una vez. Sigue las fichas cayendo en orden y aparecen los dos pasos de la inducción.

Efecto dominó — intuición

fichas caídas3

💡 Dominó vs inducción

①Tira la primera ficha (n = 1 verificado)

②Si una cae, la siguiente también (k → k+1)

③Con ambas condiciones, caen todas

④Es el principio de la inducción

⑤A veces el examen empieza en n = 2

Estructura — 3 pasos

📐 Cada paso

①Base: comprobar P(1)

②Hipótesis: suponer P(k)

③Inducción: demostrar P(k+1) usando la hipótesis

④Si los tres pasos están, vale para todo n natural

Ejemplo: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Paso 1: n = 1

izda = 1; dcha = 1·22 = 1 ✓

comprueba directamente que coinciden

Paso 2: hipótesis (n = k)

1+2+...+k = k(k+1)2 (hipótesis)

supone cierto para n = k

Paso 3: demostrar para n = k+1

1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2

usa la hipótesis para probar el caso k+1

✅ ¡Demostración completa!

①n = 1 verificado ✓

②n = k → n = k+1 demostrado

③Por tanto vale para todo n natural

Aplicaciones

⚠️ Errores frecuentes

①Olvidar el caso base

②Confundir hipótesis con tesis

③No usar la hipótesis al pasar a k+1

④Si no se usa la hipótesis, no es inducción

📐 ¿Cuándo aplicarla?

①Igualdades o desigualdades sobre n natural

②Fórmulas de sumas

③Divisibilidad (3^n − 1 múltiplo de 2)

④Propiedades geométricas (suma de ángulos de un polígono)

Resumen

Inducción

P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⇒ ∀n∈ℕ, P(n)

caso base + paso inductivo demuestran para todos los naturales

🎯 Puntos clave

①Tres pasos: base (n=1), hipótesis (n=k), tesis (n=k+1)

②No omitas el caso base

③Usa la hipótesis

④En desigualdades, manipula la izquierda y aplica la hipótesis

⑤A veces se empieza en n=2

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Al demostrar 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 para todo natural n por inducción matemática, ¿qué paso se verifica primero?

La inducción tiene dos pasos: (i) se cumple en n=1, y (ii) si se cumple en n=k, se cumple en n=k+1.

(i) verificar n = 1, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)

Primero, en el paso base n=1, comprueba que el lado izquierdo y el derecho son iguales.

n=1: izquierda = 1, derecha = 1×22 = 1

▸ Paso base: primero verifica que se cumple en n = 1.

Sin el punto de partida (n=1), toda la inducción se derrumba.

Ejemplo 2

En inducción, tras suponer que se cumple en n=k, ¿qué debes demostrar usando esa hipótesis?

Supón que se cumple en n=k (hipótesis de inducción).

supón: P(k) se cumple

Usando esto como trampolín, demuestra que también se cumple en n=k+1.

demostrar: P(k+1) se cumple

▸ Demuestra que también se cumple en n = k+1.

Debes usar realmente la hipótesis P(k) para deducir P(k+1).

tipo de examen

¿Qué dos pasos de la inducción matemática corresponden a que caigan todas las fichas de dominó?

①n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)

②solo n=1 se cumple

③solo P(k) ⟹ P(k+1)

④sustituir cada n directamente

⑤n=2 se cumple, y P(k) ⟹ P(k−1)

▸ ① n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)

La primera ficha cae = el paso base se cumple en n=1.

(i) se cumple en n = 1

Si cae la k-ésima, cae la (k+1)-ésima = el paso inductivo P(k) ⟹ P(k+1).

(ii) P(k) ⟹ P(k+1)

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Sumas de series

Relaciones de recurrencia

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