La inducción matemática demuestra de una sola vez infinitas afirmaciones, una para cada número natural n, igual que cae una fila de fichas de dominó.
Primero se demuestra que cae la primera ficha, es decir, que la afirmación es cierta para n = 1; después, que siempre que cae una ficha cae también la siguiente, es decir, que si es cierta para n = k también lo es para n = k + 1.
Con las dos cosas aseguradas, la cadena sigue por 1, 2, 3, … sin fin y la afirmación vale para todo número natural.
En el primer dibujo, al aumentar el número de fichas caídas aumentan las fichas apoyadas en la siguiente; el segundo muestra en orden los tres pasos de la demostración.
La inducción como fichas de dominó
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Las fichas caídas (doradas) se apoyan en la siguiente al caer por turnos; la flecha roja de la izquierda empuja la primera
3
💡 Dos condiciones para que caigan todas las fichas
①Se empuja la primera ficha: se comprueba la afirmación para n = 1
②Caiga la que caiga, cae también la siguiente: si es cierta para n = k, es cierta para n = k + 1
③Si falta cualquiera de las dos, no se puede asegurar que caiga toda la fila
④Algunos problemas empiezan en un número distinto de 1, como n = 2, y entonces se comprueba primero ese número
Cómo se construye la demostración: tres pasos
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El esquema de una demostración por inducción
📐 Qué hace cada paso
①Paso 1 (caso base): se sustituye n = 1 y se comprueba que se cumple
②Paso 2 (hipótesis): se supone que se cumple para n = k
③Paso 3 (paso inductivo): con esa hipótesis se demuestra que se cumple para n = k + 1
④Completados los tres pasos, la demostración vale para todo número natural n
Ejemplo: demostrar 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
Paso 1: n = 1
izquierda = 1; derecha = 1·22 = 1
Se comprueba directamente que los dos miembros son iguales para n = 1
Paso 2: suponer n = k
1+2+...+k = k(k+1)2 (hipótesis)
Se supone que la fórmula se cumple para n = k
Paso 3: demostrar n = k + 1
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
Al sumar k + 1 a los dos miembros de la fórmula supuesta y simplificar, se obtiene la fórmula para n = k + 1
✅ Demostración terminada
①La fórmula se cumple para n = 1
②Si se cumple para n = k, se cumple para n = k + 1
③Por tanto, 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 para todo número natural n
Al usar la inducción
⚠️ Errores frecuentes
①Sin el paso 1, la segunda condición por sí sola no demuestra nada
②En el paso 2 se supone la afirmación para n = k; no vale suponer la de n = k + 1, que es la que hay que demostrar
③Si el paso 3 no usa nunca la hipótesis, la demostración no es por inducción
📐 Dónde se usa la inducción
①Igualdades y desigualdades sobre un número natural n
②Fórmulas de sumas de sucesiones
③Afirmaciones sobre divisibilidad (por ejemplo, 3ⁿ − 1 es múltiplo de 2)
④Propiedades de figuras (por ejemplo, los ángulos interiores de un polígono de n lados suman (n − 2) × 180°)
Resumen
Inducción
P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⇒ ∀n∈ℕ, P(n)
Si se cumplen el caso base y el paso inductivo, la afirmación vale para todo número natural
🎯 Puntos clave
①Tres pasos: base (n = 1) → hipótesis (n = k) → demostración (n = k + 1)
②No se omite nunca el caso base
③El paso inductivo tiene que usar la hipótesis
④En una desigualdad, el primer miembro para n = k + 1 se transforma hasta que encaje la hipótesis
⑤Algunos problemas empiezan en un número distinto de 1, como n = 2
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Al demostrar 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 para todo natural n por inducción matemática, ¿qué paso se verifica primero?
1
La inducción tiene dos partes: (i) se cumple para n = 1, y (ii) si se cumple para n = k, se cumple para n = k + 1.
(i) verificar n = 1, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)
2
Lo primero es sustituir n = 1 y comprobar que los dos miembros coinciden.
n=1: izquierda = 1, derecha = 1×22 = 1
▸ Primero se comprueba que se cumple para n = 1 (el caso base).
Sin comprobar el punto de partida, la primera ficha nunca cae, por firme que sea la cadena de «la siguiente también cae».
Ejemplo 2
En inducción, tras suponer que se cumple en n=k, ¿qué debes demostrar usando esa hipótesis?
1
Se supone que se cumple para n = k (la hipótesis de inducción).
supón: P(k) se cumple
2
Apoyándose en esa hipótesis, se demuestra que se cumple para n = k + 1.
demostrar: P(k+1) se cumple
▸ Se demuestra que también se cumple para n = k + 1.
Lo esencial del paso inductivo es encontrar la expresión de n = k dentro de la de n = k + 1 y sustituirla usando la hipótesis.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
¿Qué dos pasos de la inducción matemática corresponden a que caigan todas las fichas de dominó?
①n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)
②solo n=1 se cumple
③solo P(k) ⟹ P(k+1)
④sustituir cada n directamente
⑤n=2 se cumple, y P(k) ⟹ P(k−1)
▸ ① n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)
1
Que caiga la primera ficha corresponde al caso base: se cumple para n = 1.
(i) se cumple en n = 1
2
Que la caída de la ficha k haga caer la k + 1 corresponde al paso inductivo P(k) ⟹ P(k + 1).