Inducción matemática

Mathematical Induction

La inducción matemática derriba infinitas afirmaciones en una fila, como una hilera de fichas de dominó. Primero muestras que cae la primera ficha (se cumple en n = 1), y luego que, si cae una cualquiera, también cae la siguiente (si vale en n = k, vale en n = k + 1). Con solo comprobar esas dos cosas, queda garantizada para todos los naturales de una vez. Aquí sigues las fichas cayendo en orden para ver por ti mismo los dos pasos de la inducción.

Efecto dominó — intuición

fichas caídas3

💡 Dominó vs inducción

①Tira la primera ficha (n = 1 verificado)

②Si una cae, la siguiente también (k → k+1)

③Con ambas condiciones, caen todas

④Es el principio de la inducción

Estructura — 3 pasos

📐 Cada paso

①Base: comprobar P(1)

②Hipótesis: suponer P(k)

③Inducción: demostrar P(k+1) usando la hipótesis

④Si los tres pasos están, vale para todo n natural

Ejemplo: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Paso 1: n = 1

izda = 1; dcha = 1·22 = 1 ✓

comprueba directamente que coinciden

Paso 2: hipótesis (n = k)

1+2+...+k = k(k+1)2 (hipótesis)

supone cierto para n = k

Paso 3: demostrar para n = k+1

1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2

usa la hipótesis para probar el caso k+1

✅ ¡Demostración completa!

①n = 1 verificado ✓

②n = k → n = k+1 demostrado

③Por tanto vale para todo n natural

Aplicaciones

⚠️ Errores frecuentes

①Olvidar el caso base

②Confundir hipótesis con tesis

③No usar la hipótesis al pasar a k+1

④Si no se usa la hipótesis, no es inducción

📐 ¿Cuándo aplicarla?

①Igualdades o desigualdades sobre n natural

②Fórmulas de sumas

③Divisibilidad (3^n − 1 múltiplo de 2)

④Propiedades geométricas (suma de ángulos de un polígono)

Resumen

Inducción

P(1) ∧ [P(k) → P(k+1)] ⇒ ∀n∈ℕ, P(n)

caso base + paso inductivo demuestran para todos los naturales

🎯 Puntos clave

①Tres pasos: base (n=1), hipótesis (n=k), tesis (n=k+1)

②No omitas el caso base

③Usa la hipótesis

④En desigualdades, manipula la izquierda y aplica la hipótesis

⑤A veces se empieza en n=2

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Al demostrar 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 para todo natural n por inducción matemática, ¿qué paso se verifica primero?

La inducción tiene dos pasos: (i) se cumple en n=1, y (ii) si se cumple en n=k, se cumple en n=k+1.

(i) verificar n = 1, (ii) P(k) ⟹ P(k+1)

Primero, en el paso base n=1, comprueba que el lado izquierdo y el derecho son iguales.

n=1: izquierda = 1, derecha = 1×22 = 1

▸ Paso base: primero verifica que se cumple en n = 1.

Sin el punto de partida (n=1), toda la inducción se derrumba.

Ejemplo 2

En inducción, tras suponer que se cumple en n=k, ¿qué debes demostrar usando esa hipótesis?

Supón que se cumple en n=k (hipótesis de inducción).

supón: P(k) se cumple

Usando esto como trampolín, demuestra que también se cumple en n=k+1.

demostrar: P(k+1) se cumple

▸ Demuestra que también se cumple en n = k+1.

Debes usar realmente la hipótesis P(k) para deducir P(k+1).

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

¿Qué dos pasos de la inducción matemática corresponden a que caigan todas las fichas de dominó?

①n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)

②solo n=1 se cumple

③solo P(k) ⟹ P(k+1)

④sustituir cada n directamente

⑤n=2 se cumple, y P(k) ⟹ P(k−1)

▸ ① n=1 se cumple, y P(k) ⟹ P(k+1)

La primera ficha cae = el paso base se cumple en n=1.

(i) se cumple en n = 1

Si cae la k-ésima, cae la (k+1)-ésima = el paso inductivo P(k) ⟹ P(k+1).

(ii) P(k) ⟹ P(k+1)

← Anterior

Sumas de series

Relaciones de recurrencia

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik