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Sumas de series

Sum of Series

El símbolo sumatorio Σ es una forma breve de decir «suma todos los términos hechos con la misma regla, uno tras otro». Sumas frecuentes, como la de los naturales de 1 a n, la de sus cuadrados o la de sus cubos, se obtienen de golpe con una sola fórmula, sin ir sumando término a término. Si se sabe de dónde salen esas fórmulas, una suma de aspecto complicado se puede partir en sumas de k, k², k³ y constantes. En el primer dibujo, las alturas de las barras suman el valor de Σ; en el segundo, dos escaleras de puntos encajan en un rectángulo, y así se ve por qué la suma de los naturales es n(n + 1)/2.

Qué significa el símbolo Σ

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💡 Σ significa «sumarlo todo»
①k = 1 bajo la Σ es el índice inicial, n encima es el índice final y la expresión de la derecha es la regla de cada término
②Así, la Σ de aₖ desde k = 1 hasta n es a₁ + a₂ + … + aₙ
③En el dibujo, las alturas de las barras coloreadas suman el valor de Σ de arriba, que siempre coincide con el valor de la fórmula a la derecha
④La suma de los n primeros impares 1, 3, 5, … es n²

La suma de los naturales: dos escaleras de puntos

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Suma de naturales
n(n+1)2
1 + 2 + 3 + … + n es la mitad de un rectángulo de n × (n + 1) puntos

Tres fórmulas básicas

Σ k
n(n+1)2
1 + 2 + … + n
Σ k²
n(n+1)(2n+1)6
1² + 2² + … + n²
Σ k³
[n(n+1)2]² = (Σk)²
1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²
🔗 Cómo se relacionan las tres fórmulas
①La suma de los cubos es igual al cuadrado de la suma de los naturales; por ejemplo, 1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6²
②Con estas tres fórmulas y la suma de constantes n se resuelven casi todas las sumas de términos polinómicos
③Una expresión complicada se desarrolla primero y se separa en términos con k³, k², k y constantes

Propiedades de Σ

Linealidad
Σ(c ak + bk) = c·Σ ak + Σ bk
Los factores constantes salen fuera de la Σ y las sumas se pueden separar
Recuperar el término general a partir de la suma
an = Sn − Sn-1 (n ≥ 2)
Conocida la suma Sₙ, esta expresión da el término general para n ≥ 2
⚠️ Cuidado al recuperar el término general
①Para n ≥ 2, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
②Para n = 1 se usa aparte a₁ = S₁
③Hay que comprobar si los dos resultados encajan en una misma fórmula; si no, el primer término se escribe aparte

Resumen

Las tres fórmulas básicas de sumas
Σ k = n(n+1)2, Σ k² = n(n+1)(2n+1)6, Σ k³ = [n(n+1)2]²
Sumas de naturales, cuadrados y cubos
🎯 Puntos clave
①Σk = n(n + 1)/2
②Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6
③Σk³ = {n(n + 1)/2}²
④Los factores constantes salen fuera y las sumas se separan
⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2), y a₁ = S₁ se comprueba aparte

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Halla el valor de 1 + 2 + 3 + ... + 10.
1
Se sustituye n = 10 en la fórmula de la suma de los naturales, n(n + 1)/2.
Σk = 10 × 112
2
Se divide 10 × 11 = 110 entre 2.
= 1102 = 55
▸ 55
Al emparejar el principio con el final, 1 con 10 y 2 con 9, salen cinco parejas que suman 11 cada una, así que la suma es 55. La fórmula n(n + 1)/2 es ese emparejamiento escrito como expresión.
Ejemplo 2
Halla el valor de 1² + 2² + 3² + 4².
1
Se sustituye n = 4 en la fórmula de la suma de cuadrados, n(n + 1)(2n + 1)/6.
Σk² = 4 × 5 × 96
2
Se divide 4 × 5 × 9 = 180 entre 6.
= 1806 = 30
▸ 30
Sumar directamente 1 + 4 + 9 + 16 también da 30. Cuantos más términos hay, más ahorra la fórmula.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
Expresa en función de n la suma de (2k + 1) desde k = 1 hasta n.
①n(n+2)
②n(n+1)
③n²
④2n+1
⑤n²+1
▸ ① n(n+2)
1
Separando con las propiedades de Σ se obtiene Σ(2k + 1) = 2Σk + Σ1, y Σ1 es 1 sumado n veces, es decir, n.
Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n
2
Al simplificar n(n + 1) + n se obtiene n² + 2n = n(n + 2).
= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)
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