Sumas de series

Sum of Series

El símbolo Σ es una forma muy breve de decir suma muchos términos, uno tras otro. Al sumar de 1 a n, casos como la suma de los naturales o de los cuadrados salen tan a menudo que una fórmula corta da el resultado de una vez. Cuando ves de dónde vienen esas fórmulas, hasta una serie enredada se parte en sumas de k, k² y k³. Aquí deslizas un histograma para ver crecer las sumas parciales y ver por qué se cumple la fórmula.

Significado de Σ

nº de términos n5

💡 Σ = sumar todo

①Σ(k=1 a n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②abajo: desde dónde; arriba: hasta dónde; derecha: la regla

③la altura total es el valor de Σ

Suma de naturales — números triangulares

Suma de naturales

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Tres fórmulas clave

Σ k

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σ k²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σ k³

[n(n+1)2]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²

🔗 Relación curiosa

①Σ k³ = (Σ k)² — ¡suma de cubos igual al cuadrado de la suma!

②Estas tres fórmulas resuelven la mayoría de problemas

③Cualquier expresión se puede descomponer en k, k², k³

Propiedades de Σ

Linealidad

Σ(c a_k + b_k) = c·Σ a_k + Σ b_k

puedes sacar constantes y separar sumas

Recuperar a_n a partir de S_n

a_n = S_n − S_n-1 (n ≥ 2)

término general en función de la suma

⚠️ Cuidado al recuperar a_n

①Para n ≥ 2: a_n = S_n − S_{n-1}

②Para n = 1: a₁ = S₁ (verifícalo aparte)

③Comprueba que ambos coinciden

Resumen

Tres fórmulas

Σ k = n(n+1)2, Σ k² = n(n+1)(2n+1)6, Σ k³ = [n(n+1)2]²

sumas de naturales, cuadrados y cubos

🎯 Puntos clave

①Σ k = n(n+1)/2

②Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σ k³ = [n(n+1)/2]² = (Σ k)²

④Linealidad: saca constantes y separa

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2); a₁ = S₁ verifícalo aparte

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Halla el valor de 1 + 2 + 3 + ... + 10.

Sustituye n = 10 en la fórmula Σk = n(n+1)/2.

Σk = 10 × 112

Calcula.

= 1102 = 55

▸ 55

La suma de los n primeros naturales es n(n+1)/2.

Ejemplo 2

Halla el valor de 1² + 2² + 3² + 4².

Sustituye n = 4 en la fórmula Σk² = n(n+1)(2n+1)/6.

Σk² = 4 × 5 × 96

Calcula.

= 1806 = 30

▸ 30

La suma de cuadrados es n(n+1)(2n+1)/6.

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

Expresa Σ(k=1 to n) (2k + 1) como una expresión en n.

①n(n+2)

②n(n+1)

③n²

④2n+1

⑤n²+1

▸ ① n(n+2)

Separa por linealidad: Σ(2k+1) = 2Σk + Σ1.

Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n

Simplifica.

= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)

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