Una progresión geométrica es una fila de números que se forma multiplicando siempre por el mismo número.
Si ese factor, la razón r, es mayor que 1, los términos crecen como una bola de nieve; si está entre 0 y 1, se van haciendo más pequeños, y si es negativo, los signos se alternan.
El término n es el primero multiplicado (n − 1) veces por la razón, y cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1, aunque se sumen los términos sin fin, la suma se acerca a un único valor.
En el primer dibujo las barras crecen o menguan según el primer término y la razón; en el segundo, las sumas parciales se juntan en el límite o se salen del dibujo.
Progresiones geométricas: multiplicar siempre por la misma razón
seegongsik.com
Cada barra es un término, con los n primeros más oscuros (la línea punteada une los extremos de las barras)
2
2
5
💡 Dos términos vecinos siempre guardan la misma razón
①Si se divide un término entre el anterior, siempre sale la razón r
②Si r > 1, cada paso multiplica el término por r
③Si 0 < r < 1, cada paso lo achica y lo acerca a 0
④Si r < 0, los signos se alternan (la razón de este dibujo es al menos 0,3; las razones negativas se pueden elegir en el segundo dibujo)
El término general y la suma
Término general
an = a₁ · rn-1
término n = primer término × razónⁿ⁻¹
Suma de una progresión geométrica
Sn = a₁(rn - 1)r - 1 (r ≠ 1)
Si r = 1 todos los términos son iguales, así que Sₙ = na₁
📐 De dónde sale la fórmula de la suma
①Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹
②Al multiplicar por r se obtiene rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ
③Al restar se anulan todos los términos intermedios y queda Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ
④Si r ≠ 1, al dividir entre 1 − r se obtiene Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: sumar sin fin
seegongsik.com
Sumas parciales de una serie geométrica de primer término 1. Un término por fila; cada barra va de la suma parcial Sₙ a Sₙ₊₁
0.5
Serie geométrica infinita
S = a₁1 - r (|r| < 1)
Solo converge si |r| < 1 y diverge si |r| ≥ 1. El primer término del dibujo es 1
Término medio geométrico
Término medio
b² = a c (a, b, c en progresión)
El cuadrado del término central es el producto de los dos extremos
📐 Cómo usar la media geométrica
①Tres números no nulos a, b, c forman en ese orden una progresión geométrica ⟺ b² = ac
②Como b = ±√(ac), el signo de b lo deciden las condiciones del problema
③Los términos tomados a intervalos iguales de una progresión geométrica forman otra progresión geométrica
Resumen
Fórmulas
an = a₁ rn-1, Sn = a₁(rn - 1)r - 1
El término general y la suma, uno al lado del otro
🎯 Puntos clave
①Término general aₙ = a₁rⁿ⁻¹
②Suma Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (r ≠ 1), y Sₙ = na₁ si r = 1
③Una serie geométrica infinita vale S = a₁/(1 − r) si |r| < 1
④Media geométrica b² = ac
⑤El signo de la razón decide si los signos se alternan; su valor absoluto, si los términos crecen o menguan
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Halla el término 5 de una sucesión geométrica de primer término 3 y razón común 2.
1
Se sustituye n = 5 en el término general aₙ = a₁rⁿ⁻¹.
a5 = 3 × 25-1 = 3 × 24
2
2⁴ = 16, así que se multiplica 3 por 16.
= 3 × 16 = 48
▸ a₅ = 48
Para llegar al quinto término se multiplica por la razón cuatro veces. Escribir 3, 6, 12, 24, 48 uno tras otro da el mismo valor.
Ejemplo 2
Halla la suma de los 4 primeros términos de una sucesión geométrica de primer término 2 y razón común 3.
1
Se sustituyen a₁ = 2, r = 3 y n = 4 en la fórmula de la suma Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1).
S4 = 2(34 - 1)3 - 1
2
3⁴ = 81, así que el numerador es 2 × 80, y se divide entre el denominador 2.
= 2(81 - 1)2 = 80
▸ S₄ = 80
Sumar directamente 2, 6, 18 y 54 también da 80. Cuantos más términos hay, más tiempo ahorra la fórmula frente a sumar uno a uno.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
Halla la suma de la serie geométrica infinita de primer término 4 y razón común 1/2.
①8
②4
③2
④6
⑤no converge
▸ ① 8
1
|r| = 1/2 < 1, así que la suma converge y se puede usar S = a₁/(1 − r).