seegongsik
Mis palabras

Sucesiones geométricas

Geometric Sequence

Una sucesión geométrica se forma multiplicando siempre por un mismo número el término anterior. Cuando la razón común r es mayor que 1 los términos crecen como una bola de nieve, entre 0 y 1 se reducen hacia cero, y si r es negativa los signos se alternan. Cualquier término es primer término × r^(n − 1), la suma de muchos términos se reduce a una fórmula y, sorprendentemente, cuando |r| es menor que 1 hasta una suma infinita se acerca a un solo valor. Cambia el primer término y la razón y los términos crecen o se desvanecen, y se ve si una serie infinita converge o diverge.

Geométrica — multiplicar por la misma razón

2
2
5
💡 Geométrica = multiplicar por una razón fija
①El cociente entre términos consecutivos es constante (r)
②r > 1: crecimiento exponencial
③0 < r < 1: decrecimiento exponencial
④r < 0: signos alternantes
⑤La razón de la primera fila es r ≥ 0.3. r < 0 es el control de convergencia

Término general y suma

Término general
an = a₁ · rn-1
an = primer término × razón(n-1)
Suma de términos
Sn = a₁(rn - 1)r - 1 (r ≠ 1)
si r = 1, Sn = n a₁
📐 Demostración
①S_n = a₁ + a₁r + ... + a₁ r^{n-1}
②r S_n = a₁ r + ... + a₁ r^n
③Restando: S_n − r S_n = a₁ − a₁ r^n
④S_n (1 − r) = a₁ (1 − r^n)

Serie geométrica

0.5
Serie geométrica infinita
S = a₁1 - r (|r| < 1)
converge si |r| < 1; diverge en otro caso. Este lienzo de suma infinita usa a₁ = 1

Término medio geométrico

Término medio
b² = a c (a, b, c en progresión)
el cuadrado del medio = producto de los extremos
📐 Aplicación
①a, b, c en geométrica ⟺ b² = a c
②b = ±√(ac) (cuidado con el signo)
③Tomar términos a paso constante también da una geométrica

Resumen

Fórmulas
an = a₁ rn-1, Sn = a₁(rn - 1)r - 1
término general y suma
🎯 Puntos clave
①a_n = a₁ · r^{n-1}
②S_n = a₁ (r^n − 1)/(r − 1) si r ≠ 1
③Serie infinita: |r| < 1 → S = a₁/(1 − r)
④Término medio: b² = ac
⑤El signo y tamaño de r marcan el comportamiento

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Halla el término 5 de una sucesión geométrica de primer término 3 y razón común 2.
1
Sustituye en el término general an = a₁ · rn-1.
a5 = 3 × 25-1 = 3 × 24
2
Calcula.
= 3 × 16 = 48
▸ término 5 = 48
El término general multiplica el primer término por la razón (n−1) veces.
Ejemplo 2
Halla la suma de los 4 primeros términos de una sucesión geométrica de primer término 2 y razón común 3.
1
Sustituye en la fórmula de la suma Sn = a₁(rn − 1)/(r − 1).
S4 = 2(34 - 1)3 - 1
2
Calcula.
= 2(81 - 1)2 = 80
▸ suma = 80
La suma de una sucesión geométrica es a₁(rn − 1)/(r − 1) para r ≠ 1.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
Halla la suma de la serie geométrica infinita de primer término 4 y razón común 1/2.
①8
②4
③2
④6
⑤no converge
▸ ① 8
1
Como |r| = 1/2 < 1 converge; usa S = a₁/(1 − r).
S = a₁1 - r = 41 - 1/2
2
Calcula.
= 41/2 = 8
← Anterior
Sucesiones aritméticas
Siguiente →
Sumas de series
¿Te fue útil? Apoyar seegongsik