Una progresión aritmética es una fila de números que se forma sumando siempre la misma cantidad al término anterior.
2, 5, 8, 11 crece de 3 en 3, así que su diferencia es 3, y como el término n es el primero más (n − 1) veces la diferencia, se puede llegar directamente a cualquier término.
La suma sale de emparejar: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, y así todas las parejas dan el mismo total.
Al cambiar el primer término y la diferencia, cambian a la vez la escalera del primer dibujo y el rectángulo del segundo.
Progresiones aritméticas: una escalera de peldaños iguales
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Cada barra es un término; el número de arriba es la suma de los n primeros
2
3
5
💡 Dos términos vecinos siempre se diferencian en lo mismo
①Si se resta a un término el anterior, siempre sale la diferencia d
②Por eso los extremos de las barras quedan sobre una misma recta
③Si d > 0 los términos crecen, si d < 0 decrecen y si d = 0 todos son iguales
El término general: cuántas veces se suma d
Término general
an = a₁ + (n-1)d
término n = primer término + (n − 1) × diferencia
📐 Cómo leer el término general
①Se parte de a₁ y se suma d exactamente (n − 1) veces
②Los puntos (n, aₙ) están sobre la recta y = dx + (a₁ − d), de pendiente d
③Así, una progresión aritmética es una función lineal que solo toma valores en los números naturales
La suma: una copia al revés forma un rectángulo
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Una copia invertida sobre la progresión dorada forma un rectángulo; la suma es la mitad
Suma de una progresión aritmética
Sn = n(a₁ + an)2
(primer término + último término) × número de términos ÷ 2
La suma escrita con d
Sn = n2(2 a₁ + (n-1)d)
Si no se conoce el último término aₙ, basta con el primer término y la diferencia
💡 Las parejas de Gauss
①En 1 + 2 + … + 100, si se empareja 1 con 100 y 2 con 99, cada pareja suma 101
②Hay 50 parejas, así que el total es 101 × 50 = 5050
③Si se escribe la progresión otra vez al revés y se suma columna a columna, las n columnas valen a₁ + aₙ y la suma original es la mitad
Media aritmética
Media aritmética
b = a + c2
Si a, b, c forman en ese orden una progresión aritmética, b es la media de a y c
📐 Cómo usar la media aritmética
①a, b, c forman en ese orden una progresión aritmética ⟺ 2b = a + c
②El término del medio es la media de sus dos vecinos
③Los términos tomados a intervalos iguales de una progresión aritmética forman otra progresión aritmética
④Si se conoce la suma Sₙ, para n ≥ 2 el término general se recupera con aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
Resumen
Fórmulas clave
an = a₁ + (n-1)d, Sn = n(a₁ + an)2
El término general y la suma, uno al lado del otro
🎯 Puntos clave
①Término general aₙ = a₁ + (n − 1)d
②Suma Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n{2a₁ + (n − 1)d}/2
③Media aritmética 2b = a + c
④Si d ≠ 0, Sₙ es una expresión de segundo grado en n sin término independiente
⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2) y a₁ = S₁
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Halla el término 10 de la progresión aritmética de primer término 3 y diferencia 2.
1
Se sustituye n = 10 en el término general aₙ = a₁ + (n − 1)d.
a10 = 3 + (10 − 1) × 2
2
Del primer término al décimo se suma 2 nueve veces, es decir, 18.
= 3 + 18 = 21
▸ a₁₀ = 21
Para llegar al término 10 la diferencia se suma nueve veces, no diez, porque el primer término ya está al principio de la fila.
Ejemplo 2
Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 3.
1
La fórmula de la suma usa el último término, así que primero se calcula el término 10.
a10 = 2 + (10 − 1) × 3 = 29
2
Se multiplica la suma del primero y el último, 31, por el número de términos, 10, y se divide entre 2.
S10 = 10(2 + 29)2 = 155
▸ S₁₀ = 155
Si se emparejan 2 con 29, 5 con 26 y 8 con 23, cada pareja suma 31. Diez términos forman cinco parejas, así que la suma es 31 × 5 = 155.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
En una progresión aritmética, a₃ = 7 y a₇ = 19. ¿Cuánto valen el primer término a₁ y la diferencia d?
①a₁ = 1, d = 3
②a₁ = 3, d = 2
③a₁ = 1, d = 4
④a₁ = 2, d = 3
⑤a₁ = 7, d = 3
▸ ① a₁ = 1, d = 3
1
El tercer término es el primero más dos veces la diferencia; el séptimo, el primero más seis veces.
a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19
2
Los dos términos están a cuatro pasos y se diferencian en 19 − 7 = 12, así que d = 3 y a₁ = 7 − 2 × 3 = 1.