Sucesiones aritméticas

Arithmetic Sequence

Una sucesión aritmética se forma sumando siempre un mismo número al término anterior. En cuanto ves la regla, como 2, 5, 8, 11 creciendo con una diferencia común de 3, cualquier término es primer término + (n − 1) × diferencia común. Y con la idea de Gauss de emparejar el primer y el último término, la suma de muchos términos se reduce a una fórmula sencilla. Aquí puedes cambiar el primer término y la diferencia común para ver cómo varían la sucesión y su suma.

Aritmética — escalera de pasos iguales

primer término a₁2

diferencia d3

nº de términos n5

💡 Aritmética = sucesión con incrementos iguales

①La diferencia entre términos consecutivos es constante (d)

②Como peldaños de la misma altura

③d > 0 crece, d < 0 decrece, d = 0 constante

Término general

Fórmula general

a_n = a₁ + (n-1)d

término n = primer término + (n-1) × diferencia

📐 Significado

①Desde a₁ se suma d (n-1) veces

②Coincide con los puntos enteros de y = d x + (a₁ - d)

③Misma forma que una función lineal de pendiente d

Suma — área del trapecio

Suma de términos

S_n = n(a₁ + a_n)2

(primer + último) × n / 2

En función de d

S_n = n2(2 a₁ + (n-1)d)

sin necesidad de a_n

💡 El truco de Gauss

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②Empareja extremos: (1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③De ahí n(a₁ + a_n)/2

Término medio aritmético

Término medio

b = a + c2

si a, b, c están en progresión, b = media aritmética

📐 Aplicación

①a, b, c en aritmética ⟺ 2b = a + c

②El medio es la media

③En una sucesión aritmética, los términos seleccionados a paso constante también son aritméticos

Resumen

Fórmulas clave

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

término general y suma

🎯 Puntos clave

①a_n = a₁ + (n-1)d

②S_n = n(a₁ + a_n)/2

③Término medio: 2b = a + c

④S_n es cuadrática en n si d ≠ 0; lineal si d = 0

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Halla el término 10 de una sucesión aritmética de primer término 3 y diferencia común 2.

Sustituye en el término general a_n = a₁ + (n−1)d.

a₁₀ = 3 + (10-1) × 2

Calcula.

= 3 + 18 = 21

▸ término 10 = 21

El término general suma la diferencia común (n−1) veces al primer término.

Ejemplo 2

Halla la suma de los 10 primeros términos de una sucesión aritmética de primer término 2 y diferencia común 3.

Primero halla el término 10: a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29.

a₁₀ = 2 + (10-1) × 3 = 29

Sustituye en la fórmula de la suma S_n = n(a₁ + a_n)/2.

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ suma = 155

La suma es (primer término + último término) × número de términos ÷ 2.

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

En una sucesión aritmética {a_n}, a₃ = 7 y a₇ = 19. Halla el primer término a₁ y la diferencia común d.

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

Plantea a₃ = a₁ + 2d = 7 y a₇ = a₁ + 6d = 19.

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

Restando: 4d = 12, así que d = 3 y a₁ = 1.

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1

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