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Ecuaciones trigonométricas

Trigonometric Equations

La ecuación trigonométrica sin x = k pregunta dónde se cortan la curva que sube y baja, y = sin x, y la recta horizontal de altura k. Las abscisas de los puntos de corte son las soluciones, y para 0 ≤ x < 2π, al subir o bajar la recta se pasa de dos soluciones a una y luego a ninguna. Una ecuación se resuelve fijando el ángulo de referencia y eligiendo los cuadrantes con el signo adecuado; una inecuación, hallando primero las soluciones que hacen de frontera y leyendo después el intervalo en el que la curva queda por encima de la recta. En el dibujo, al mover la recta y = k cada punto de corte se rotula con su solución, y arriba aparece el número de soluciones.

Los puntos de corte son las soluciones

0.5
👀 Leer las soluciones en la gráfica
①Las soluciones de sin x = k son las abscisas de los puntos en que y = sin x corta a y = k
②Si −1 < k < 1 hay dos soluciones; si k = ±1 la recta solo toca un pico o un valle y hay una; si |k| > 1 no hay ninguna
③Cuando k vale 0, ±1/2 o ±1 las soluciones salen como fracciones exactas de π; en los demás casos el dibujo muestra aproximaciones
④La solución de la inecuación sin x > k es el intervalo en que la curva queda por encima de la recta

Ángulo de referencia y cuadrantes

Cómo resolver una ecuación trigonométrica
sin x = k ⇒ se fija el ángulo de referencia y se reúnen las soluciones de los cuadrantes con el signo adecuado
Para 0 ≤ x < 2π, sin x = k tiene dos soluciones si −1 < k < 1 y una si k = ±1
Ecuaciones de tan
tan x = k ⇒ una solución en cada periodo π
tan tiene periodo π, así que para 0 ≤ x < 2π siempre hay dos soluciones

Las inecuaciones dan intervalos

📐 Ver si la curva queda arriba o abajo
①La solución de sin x > k es el intervalo de x en el que la curva queda por encima de la recta y = k
②Primero se resuelve sin x = k para obtener los extremos del intervalo
③Se prueba un punto entre los extremos para ver si la curva queda arriba o abajo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla todas las soluciones de sin x = 1/2 en 0 ≤ x < 2π.
1
sin(π/6) = 1/2, así que el ángulo de referencia es π/6.
2
Se reúnen las soluciones del primer y del segundo cuadrante, donde el seno es positivo.
x = π/6, 5π/6
▸ x = π/6, 5π/6
La solución del segundo cuadrante es π − π/6 = 5π/6. Fijar primero el ángulo de referencia y elegir solo los cuadrantes con el signo adecuado es el camino rápido.
Ejemplo 2
Resuelve cos x < 1/2 en 0 ≤ x < 2π.
1
La ecuación frontera cos x = 1/2 tiene las soluciones x = π/3 y 5π/3.
2
Entre los dos extremos, cos x es menor que 1/2.
π/3 < x < 5π/3
▸ π/3 < x < 5π/3
Al probar el punto intermedio x = π se obtiene cos π = −1 < 1/2, así que la respuesta es el intervalo entre los extremos. Primero se hallan los extremos y luego se prueba un punto intermedio.

Resumen

Estrategia
Ecuación: ángulo de referencia + cuadrantes / Inecuación: extremos y luego el intervalo
Lo más seguro es dibujar primero dónde quedan las soluciones en la gráfica o en la circunferencia unidad
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
En 0 ≤ x < 2π, ¿cuál es la suma de todas las soluciones de 2 sin x = √3?
①π/2
②2π/3
③π
④4π/3
⑤3π/2
▸ ③ π
1
Al dividir los dos miembros entre 2 queda sin x = √3/2, con ángulo de referencia π/3.
2
Las soluciones del primer y del segundo cuadrante son x = π/3 y 2π/3, así que su suma es la siguiente.
π/3 + 2π/3 = π
🎯 Puntos de examen
①Las soluciones se buscan como puntos de corte en la gráfica o en la circunferencia unidad
②Para 0 ≤ x < 2π, las ecuaciones con sin y cos suelen tener dos soluciones, y tan tiene periodo π
③En una inecuación se hallan primero las soluciones frontera y después se decide el intervalo intermedio
④Hay que comprobar antes el intervalo en el que se mueve x
⑤Los valores especiales 1/2, √2/2 y √3/2 deben venir a la mente enseguida
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