En un triángulo los lados y los ángulos están ligados, así que con unos pocos datos se obtiene el resto.
El teorema del seno dice que cada lado dividido por el seno de su ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita 2R, y el teorema del coseno c² = a² + b² − 2ab cos C generaliza a Pitágoras, al que se reduce cuando el ángulo es recto.
Con la fórmula del área S = (1/2)ab sin C puedes calcular distancias y ángulos que no se pueden medir directamente, como en topografía o navegación.
Aquí ajustas el vértice, los lados y el ángulo con los deslizadores para ver cómo las dos leyes determinan un triángulo.
Teorema del seno y circunferencia circunscrita
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Triángulo inscrito en su circunferencia y teorema del seno
50°
Teorema del seno
asin A = bsin B = csin C = 2R
lado / seno del ángulo opuesto = diámetro de la circunferencia circunscrita
💡 Esencia del teorema del seno
①lado / sen del ángulo opuesto = 2R
②Con dos ángulos y un lado puedes calcular el resto
③Área: S = (1/2) a b sen C
Teorema del coseno (Pitágoras generalizado)
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Calcula el tercer lado con dos lados y el ángulo entre ellos
4
3
60°
Teorema del coseno
c² = a² + b² − 2 a b cos C
si C = 90° se reduce al teorema de Pitágoras
Área del triángulo
Área (dos lados + ángulo)
S = 12 a b sin C
a partir de dos lados y el ángulo entre ellos
Fórmula de Herón
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
área a partir de los tres lados
📐 ¿Qué fórmula uso?
①Dos lados + ángulo → S = (1/2) ab sen C
②Solo lados → Herón
③Un lado + dos ángulos → primero teorema del seno y luego calcula el área
Aplicaciones
🌍 Dónde se usan
①Topografía: alturas de edificios o montañas
②Navegación: distancia entre dos puntos
③Física: descomposición de fuerzas
④Arquitectura: pendientes y diseño
Resumen
Teorema del seno
asin A = bsin B = csin C = 2R
lado/seno = diámetro circunscrito
Teorema del coseno
c² = a² + b² − 2 a b cos C
generalización de Pitágoras
🎯 Puntos clave
①Teorema del seno: relación lado-ángulo (ASA, AAS)
②Teorema del coseno: dos lados + ángulo o tres lados (SAS, SSS)
③Área: S = (1/2) ab sen C
④Con C = 90° → Pitágoras
⑤Permite calcular R del circunscrito
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
En el triángulo ABC, a = 8 y sin A = 1/2. Halla el circunradio R.
1
Por la ley de senos, a/sin A = 2R.
2R = asin A = 81/2
2
Calcula para hallar R.
2R = 16, R = 8
▸ R = 8
Usa la ley de senos a/sin A = 2R para hallar el circunradio.
Ejemplo 2
Con lados a = 5, b = 3 y ángulo incluido C = 60°, usa la ley de cosenos para hallar c.
1
Sustituye en la ley de cosenos c² = a² + b² − 2ab cos C.
c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°
2
Sustituye cos 60° = 1/2 y calcula.
c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19
▸ c = √19
Con dos lados y el ángulo incluido, la ley de cosenos halla el tercer lado.
Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado
Halla el área de un triángulo con lados a = 4, b = 6 y ángulo incluido C = 30°.
①6
②12
③6√3
④3
⑤12√3
▸ ① 6
1
Sustituye en la fórmula del área S = (1/2)ab sin C.