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Aplicaciones de las trigonométricas

Applications of Trigonometry

Los tres lados y los tres ángulos de un triángulo están ligados entre sí, así que conociendo solo algunos se pueden calcular los demás. El teorema del seno dice que cada lado dividido entre el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, 2R, y el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab cos C, se convierte en el teorema de Pitágoras cuando el ángulo comprendido es recto. Si se añade la fórmula del área S = (1/2)ab sin C, se pueden hallar distancias y ángulos que no se pueden medir directamente, como en la topografía o la navegación. En el primer dibujo se traza el diámetro BA′ para ver por qué a = 2R sin A; en el segundo, el tercer lado c se vuelve a calcular cada vez que cambian los dos lados o el ángulo comprendido.

El teorema del seno: el diámetro de la circunferencia circunscrita

50°
Teorema del seno
asin A = bsin B = csin C = 2R
Cada lado dividido entre el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita
💡 Por qué a = 2R sin A
①Se traza el diámetro BA′ que pasa por el centro; al ser un ángulo inscrito en una semicircunferencia, ∠BCA′ = 90°
②Los dos ángulos abarcan el mismo arco BC, así que ∠A′ = ∠A
③En el triángulo rectángulo A′BC, BC = BA′ × sin A′, de donde a = 2R sin A
④Si A es obtuso, ∠A′ = 180° − A, pero el seno es el mismo y la fórmula sigue valiendo

El teorema del coseno: Pitágoras para cualquier triángulo

4
3
60°
Teorema del coseno
c² = a² + b² − 2ab cos C
Si C = 90°, cos C = 0 y queda el teorema de Pitágoras

Área del triángulo

Área con dos lados y el ángulo comprendido
S = 12 a b sin C
Tomando el lado a como base, la altura es b sin C, así que el área es (1/2) × a × b sin C
Fórmula de Herón
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
Se usa cuando solo se conocen los tres lados
📐 Qué fórmula usar
①Dos lados y el ángulo comprendido: S = (1/2)ab sin C
②Solo los tres lados: se halla el coseno de un ángulo con el teorema del coseno y después el área, o se usa la fórmula de Herón
③Un lado y los dos ángulos de sus extremos: se halla otro lado con el teorema del seno y después el área

En la vida cotidiana

🌍 Dónde se usan
①Topografía: medir la altura de un edificio o de una montaña a la que no se puede subir a partir de ángulos y distancias
②Navegación: hallar la posición y la distancia de un barco a partir de rumbos tomados desde dos puntos
③Física: descomponer una fuerza en dos direcciones o componer varias en una
④Arquitectura: fijar la pendiente de un tejado y la longitud de las piezas

Resumen

Teorema del seno
asin A = bsin B = csin C = 2R
lado ÷ seno del ángulo opuesto = diámetro de la circunferencia circunscrita
Teorema del coseno
c² = a² + b² − 2ab cos C
El teorema de Pitágoras extendido a cualquier triángulo
🎯 Puntos clave
①Teorema del seno: dos ángulos y un lado, o hallar el radio de la circunferencia circunscrita
②Teorema del coseno: dos lados y el ángulo comprendido, o los tres lados
③Área S = (1/2)ab sin C
④Si C = 90°, cos C = 0 y queda el teorema de Pitágoras
⑤El radio R se obtiene de a/sin A = 2R

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
En el triángulo ABC, a = 8 y sin A = 1/2. Halla el circunradio R.
1
Por el teorema del seno, a/sin A es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, 2R.
2R = asin A = 81/2
2
8 dividido entre 1/2 es 16, así que 2R = 16.
2R = 16, R = 8
▸ R = 8
sin A = 1/2 significa que A mide 30° o 150°, pero en los dos casos el radio de la circunferencia circunscrita es 8. El teorema del seno vale tanto si el ángulo es agudo como si es obtuso.
Ejemplo 2
Con lados a = 5, b = 3 y ángulo incluido C = 60°, usa la ley de cosenos para hallar c.
1
Se conocen dos lados y el ángulo comprendido, así que se usa el teorema del coseno.
c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°
2
cos 60° = 1/2, así que se resta 2 × 5 × 3 × 1/2 = 15.
c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19
▸ c = √19
Si C es menor que 90°, c² es menor que a² + b²; si es mayor que 90°, c² es mayor. El signo de cos C marca la diferencia.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
Halla el área de un triángulo con lados a = 4, b = 6 y ángulo incluido C = 30°.
①6
②12
③6√3
④3
⑤12√3
▸ ① 6
1
Se sustituyen los lados 4 y 6 y el ángulo comprendido de 30° en la fórmula del área S = (1/2)ab sin C.
S = 12 × 4 × 6 × sin 30°
2
sin 30° = 1/2, así que el área es 12 × 1/2 = 6.
S = 12 × 12 = 6
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