La gráfica de una función trigonométrica es una onda en la que la misma forma se repite a intervalos regulares sin fin.
Si se sigue la altura de un punto que gira sobre la circunferencia unidad, se dibuja la curva del seno, por eso sirve tan bien para fenómenos que se repiten en ciclos, como un péndulo, las olas o el sonido.
En y = A sin(Bx + C) + D, A fija la altura de la onda, la amplitud; B fija la longitud de una repetición, el periodo; y C y D desplazan la gráfica hacia los lados y hacia arriba o abajo.
El primer dibujo compara las formas de sin, cos y tan; en el segundo, al cambiar los cuatro números se ve cómo la curva se estira, se encoge y se desplaza.
Las gráficas básicas de sin, cos y tan
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La gráfica de y = sin x, y = cos x o y = tan x, elegida con los botones (los trazos rojos de tan son asíntotas)
💡 En qué se diferencian las tres funciones
①y = sin x es simétrica respecto del origen y tiene periodo 2π
②y = cos x es simétrica respecto del eje y, tiene periodo 2π y es y = sin x desplazada π/2 a la izquierda
③y = tan x es simétrica respecto del origen, tiene periodo π y asíntotas en x = π/2 + nπ
④sin y cos quedan entre −1 y 1, mientras que tan toma todos los valores reales
Amplitud, periodo y traslaciones
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y = sin x (tenue) e y = A sin(Bx + C) + D (dorada) con la amplitud, el periodo y las traslaciones cambiados; las líneas de puntos marcan el máximo y el mínimo
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Las fórmulas del periodo y la amplitud
Forma general
y = A sin(B x + C) + D
Amplitud |A|, periodo 2π/|B|, traslación horizontal −C/B, traslación vertical D
Periodo
T = 2π|B|
Cuanto mayor es |B|, más corto es el periodo y más apretada la onda
📐 Qué hace cada uno de los cuatro números
①A fija la altura de la onda (amplitud |A|); si es negativo, la da la vuelta
②B fija el periodo 2π/|B|
③C desplaza la gráfica −C/B en la dirección del eje x
④D sube o baja la línea media hasta y = D
Resumen
Esencia
y = A sin(B x + C) + D → amplitud |A|, periodo 2π|B|
Los cuatro números A, B, C y D fijan la altura, la separación y la posición de una curva seno
🎯 Puntos clave
①sin y cos tienen periodo 2π; tan, periodo π
②y = A sin(Bx + C) + D tiene amplitud |A| y periodo 2π/|B|
③Como Bx + C = B(x + C/B), la traslación horizontal es −C/B
④El máximo es |A| + D y el mínimo −|A| + D
⑤cos x = sin(x + π/2)
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Halla la amplitud y el período de y = 3 sin 2x.
1
En la forma y = A sin Bx, la amplitud es |A|, es decir, 3.
amplitud = |A| = |3| = 3
2
El periodo es 2π/|B|, y aquí B = 2.
período = 2π|2| = π
▸ amplitud 3, período π
Multiplicar x por 2 hace que la misma onda pase el doble de rápido, así que el periodo se reduce a la mitad, π. La amplitud la fija el 3 de delante.
Ejemplo 2
Halla el máximo y el mínimo de y = 2 cos x + 1.
1
cos x toma valores entre −1 y 1.
-1 ≤ cos x ≤ 1
2
Se sustituyen los extremos 1 y −1 para obtener el máximo y el mínimo.
máx = 2(1)+1 = 3, mín = 2(-1)+1 = -1
▸ máx 3, mín −1
El 2 duplica la altura de la onda y el + 1 sube la línea media 1 unidad, así que el máximo es 2 + 1 y el mínimo −2 + 1.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
Halla el período y el máximo de y = 4 sin(2x − π) + 1.