Las funciones trigonométricas parten de un punto que gira sobre la circunferencia unidad, la de radio 1. Tras girar un ángulo θ, la abscisa del punto es el coseno, la ordenada es el seno, y la ordenada dividida entre la abscisa es la tangente.
Así, las razones trigonométricas, que antes solo servían para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se definen para cualquier ángulo, y el signo depende del cuadrante en el que cae el punto.
El simple hecho de que el radio mida 1 da también, enseguida, la relación sin²θ + cos²θ = 1.
En el primer dibujo, al cambiar el ángulo el punto gira por la circunferencia y cambian las longitudes de la línea roja (cos) y la azul (sin); el segundo reúne las posiciones de los ángulos notables.
Un punto de la circunferencia unidad: definición de sin y cos
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El punto al que se llega girando θ sobre la circunferencia unidad, con su abscisa cos θ (roja) y su ordenada sin θ (azul)
45°
💡 La circunferencia unidad es el punto de partida
①El punto al que se llega girando θ sobre una circunferencia de radio 1 es P(cos θ, sin θ)
②cos θ es la abscisa (línea roja) y sin θ es la ordenada (línea azul)
③En los cuadrantes donde una coordenada es negativa, cos θ o sin θ también lo es
④En θ = 90° y 270°, cos θ = 0, así que tan θ no está definida
Valores en los ángulos notables
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Las posiciones de los ángulos notables (múltiplos de 30° y de 45°) en la circunferencia unidad; los puntos rojos son 0°, 90°, 180° y 270°, sobre los ejes
Razones de 30° y 60°
sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3
Un triángulo rectángulo de ángulos 30°, 60° y 90° tiene los lados en la proporción 1 : √3 : 2
Razones de 45°
sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1
Medio cuadrado cortado por la diagonal, con los lados en la proporción 1 : 1 : √2
Relaciones básicas entre las funciones
Identidad pitagórica
sin² θ + cos² θ = 1
P(cos θ, sin θ) está en la circunferencia de radio 1, así que x² + y² = 1
Definición de tangente
tan θ = sin θcos θ
Es igual a la pendiente y/x del radio que une el origen con P
Funciones recíprocas
sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ
Las recíprocas de las tres funciones tienen nombre propio
Signos según el cuadrante
📐 Cuadrantes y signos
①Primer cuadrante (0° < θ < 90°): sin, cos y tan positivas
②Segundo cuadrante (90° < θ < 180°): solo sin es positiva
③Tercer cuadrante (180° < θ < 270°): solo tan es positiva
④Cuarto cuadrante (270° < θ < 360°): solo cos es positiva
⑤En orden: «todas, seno, tangente, coseno»
Resumen
Lo esencial de las funciones trigonométricas
sin² θ + cos² θ = 1, tan θ = sin θcos θ
Todas las funciones trigonométricas se definen con un solo punto de la circunferencia unidad
🎯 Puntos clave
①En la circunferencia unidad, P(cos θ, sin θ)
②Razones de los ángulos notables 30°, 45° y 60°
③sin²θ + cos²θ = 1
④Signos por cuadrante: todas, seno, tangente y coseno positivas por turno
⑤tan θ = sin θ / cos θ no está definida cuando cos θ = 0
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Si sin θ = 3/5 y θ está en el primer cuadrante, halla cos θ.
1
Se obtiene cos²θ a partir de sin²θ + cos²θ = 1.
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25
2
En el primer cuadrante cos θ > 0, así que se toma la raíz positiva.
cos θ = √(16/25) = 4/5
▸ cos θ = 4/5
Si se imagina un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y altura 3, su base mide 4, así que cos θ = 4/5. La identidad da el tamaño y el cuadrante da el signo.
Ejemplo 2
Si tan θ = 1 y θ está en el tercer cuadrante, halla sin θ.
1
tan θ = 1, así que el ángulo de referencia es 45° y el ángulo del tercer cuadrante es 225°.
θ = 180° + 45° = 225°
2
En el tercer cuadrante sin θ < 0, así que sin 225° = −sin 45°.
sin θ = -√22
▸ sin θ = −√2/2
Un punto del tercer cuadrante tiene las dos coordenadas negativas, así que su cociente, tan θ, es positivo. Por eso tan θ = 1 también es posible en el tercer cuadrante.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
Si cos θ = −1/2 y 0° < θ < 180°, halla θ.
①60°
②120°
③135°
④150°
⑤240°
▸ ② 120°
1
cos 60° = 1/2, así que el ángulo de referencia es 60°.
cos 60° = 12
2
Para 0° < θ < 180°, cos θ < 0 corresponde al segundo cuadrante, así que θ = 180° − 60°.