Funciones trigonométricas

Trigonometric Functions

La trigonometría parte de un punto que gira sobre una circunferencia de radio 1: la coordenada x es el coseno, la y es el seno y su cociente es la tangente. Así se definen las razones para cualquier ángulo, no solo en un triángulo rectángulo, y el cuadrante donde cae el punto decide cada signo. Gira el punto con el deslizador de ángulo para ver cómo cambian el seno y el coseno.

Definición en la circunferencia unidad

ángulo θ45°

💡 La circunferencia unidad es el punto de partida

①En la circunferencia de radio 1, el punto P es (cos θ, sen θ)

②cos θ = coordenada x (roja); sen θ = coordenada y (azul)

③Al cambiar θ, el punto recorre la circunferencia

Valores en ángulos especiales

Triángulo 30°-60°-90°

sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3

lados en proporción 1 : √3 : 2

Ángulo 45°

sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1

triángulo rectángulo de la diagonal de un cuadrado

Relaciones básicas

Identidad pitagórica

sin² θ + cos² θ = 1

la circunferencia tiene radio 1: x² + y² = 1

Definición de la tangente

tan θ = sin θcos θ

pendiente = y/x

Funciones recíprocas

sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ

las recíprocas de las trigonométricas

Signos por cuadrante

📐 Regla ASTC (Todos, Sen, Tan, Cos)

①Cuadrante I (0°-90°): sen+, cos+, tan+ (Todos)

②II (90°-180°): sen+, cos−, tan− (Sen)

③III (180°-270°): sen−, cos−, tan+ (Tan)

④IV (270°-360°): sen−, cos+, tan− (Cos)

Resumen

Esencia

sin² θ + cos² θ = 1, tan θ = sin θcos θ

las trigonométricas se definen en la circunferencia unidad

🎯 Puntos clave

①Definición en la circunferencia unidad: P(cos θ, sen θ)

②Memoriza 30°, 45°, 60°

③Identidad pitagórica

④ASTC para los signos por cuadrante

⑤tan θ = sen θ/cos θ (no definida si cos θ = 0)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Si sin θ = 3/5 y θ está en el primer cuadrante, halla cos θ.

Usa la identidad pitagórica sin²θ + cos²θ = 1.

cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25

En el primer cuadrante cos θ > 0, así que toma la raíz positiva.

cos θ = √(16/25) = 4/5

▸ cos θ = 4/5

Halla el otro valor con la identidad pitagórica y fija el signo según el cuadrante.

Ejemplo 2

Si tan θ = 1 y θ está en el tercer cuadrante, halla sin θ.

tan θ = 1 da ángulo de referencia 45°; en el tercer cuadrante θ = 225°.

θ = 180° + 45° = 225°

En el tercer cuadrante sin θ < 0, así que sin 225° = −sin 45°.

sin θ = -√22

▸ sin θ = −√2/2

Halla la razón del ángulo de referencia y añade el signo del cuadrante (ASTC).

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

Si cos θ = −1/2 y 0° < θ < 180°, halla θ.

①60°

②120°

③135°

④150°

⑤240°

▸ ② 120°

cos θ = −1/2 da ángulo de referencia 60°.

cos 60° = 12

Para 0°<θ<180°, cos θ < 0 indica el segundo cuadrante, así que θ = 180° − 60°.

θ = 180° - 60° = 120°

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