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2° Bachillerato (16-17 años)

Logaritmo común

Common Logarithm

El logaritmo común usa base 10 y separa un número positivo en una parte entera, la característica, y una parte decimal entre 0 y 1, la mantisa. La característica cuenta las cifras y la mantisa guarda el patrón de dígitos, así que sabes las cifras de un número enorme como 2 elevado a 30 sin multiplicarlo. Mueve el deslizador y observa cómo un valor del logaritmo se divide en característica y mantisa.

Logaritmo en base 10
200
👀 Velo
①El logaritmo común tiene base 10: log x = log_{10} x
②El log común de un positivo se separa en parte entera (característica) y parte decimal en [0,1) (mantisa)
③Cada vez que x se multiplica por 10, el logaritmo aumenta en 1
Característica y mantisa
Característica + mantisa
log N = (característica) + (mantisa), 0 ≤ mantisa < 1
La característica es entera, la mantisa está en [0,1) — guardan el número de cifras y el patrón de dígitos por separado
Número de cifras y característica
el entero N tiene d cifras ⇔ característica = d − 1 ⇔ 10d-1 ≤ N < 10d
Si la característica es d−1, entonces N es un entero de d cifras
Mantisas iguales, mismo patrón de dígitos
🔢 Desplazado por una potencia de 10
①Dos números con la misma mantisa comparten el patrón de dígitos y difieren solo en una potencia de 10
②p. ej., log 2 y log 200 tienen la misma mantisa
③La característica fija la posición decimal (cifras); la mantisa fija los dígitos
Calcúlalo directamente
Ejemplo 1
Dado log 2 = 0.3010, halla log 200.
1
Factoriza 200 = 2 × 100 = 2 × 10².
log 200 = log 2 + log 102
2
Suma log 10² = 2.
= 0.3010 + 2 = 2.3010
▸ 2.3010 (caract. 2, mant. 0.3010)
Una potencia de 10 cambia solo la característica y deja intacta la mantisa (0.3010).
Ejemplo 2
¿Cuántas cifras tiene 230? (log 2 = 0.3010)
1
Toma el logaritmo común.
log 230 = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03
2
La característica es 9, así que el número de cifras es 9 + 1.
caract. 9 ⇒ 10 cifras
▸ 10 cifras
El número de cifras de una potencia sale directo de la característica del log + 1.
Resumen
Resultado clave
log N = caract. + mant., d cifras ⇔ caract. = d − 1
Característica = número de cifras, mantisa = patrón de dígitos — separarlas es la clave
Tipo de CSAT 2021 Mat., adaptado
¿Cuántas cifras tiene 320? (log 3 = 0.4771)
①9 cifras
②10 cifras
③11 cifras
④12 cifras
⑤13 cifras
▸ ② 10 cifras
1
Toma el logaritmo común para hallar la característica.
log 320 = 20 × 0.4771 = 9.542
2
La característica es 9, así que cifras = 9 + 1.
caract. 9 ⇒ 10 cifras
🎯 Puntos de examen
①log N = caract. + mant. (0 ≤ mant. < 1)
②entero de d cifras ⇔ caract. = d − 1
③cifras de una potencia = característica del log + 1
④mantisas iguales ⇒ mismo patrón de dígitos
⑤si 0<N<1 la característica es negativa (posición del primer decimal no nulo)
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