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Logaritmo común

Common Logarithm

El logaritmo común es el logaritmo en base 10. El logaritmo común de un número positivo N se separa en una parte entera, la característica, y una parte decimal mayor o igual que 0 y menor que 1, la mantisa. Como log N aumenta exactamente 1 cada vez que N se multiplica por 10, la característica indica cuántas cifras tiene N, y la mantisa, en qué orden van sus dígitos. Por eso basta con conocer log 2 para saber cuántas cifras tiene 2³⁰, sin llegar a multiplicarlo. Al mover x en el dibujo, la barra del eje vertical se divide en una parte blanca, la característica, y otra dorada, la mantisa.

Logaritmos en base 10

200
👀 Qué se lee en la gráfica
①El logaritmo común omite la base 10 y se escribe log x
②Las marcas 1, 10, 100 y 1000 están a la misma distancia, y en ellas el logaritmo vale 0, 1, 2 y 3
③Cada vez que x se multiplica por 10, el logaritmo sube exactamente 1
④Así, para 2 ≤ x < 1000 el logaritmo se separa limpiamente en una característica entera y una mantisa entre 0 y 1

Característica y mantisa

Separar un logaritmo en dos
log N = (característica) + (mantisa), 0 ≤ mantisa < 1
La característica es un entero; la mantisa es la parte decimal, mayor o igual que 0 y menor que 1
Cifras y característica
el entero N tiene d cifras ⇔ característica = d − 1 ⇔ 10d-1 ≤ N < 10d
Si un número N ≥ 1 tiene d cifras, su característica es d − 1

Misma mantisa, mismos dígitos

🔢 Desplazar por potencias de 10
①log 200 = log 2 + 2 y log 0,02 = log 2 − 2: al multiplicar o dividir por una potencia de 10 solo cambia la característica
②Por eso 2, 20, 200 y 2000 tienen todos la mantisa 0,3010
③La característica decide dónde va la coma decimal, y la mantisa, en qué orden van los dígitos

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla log 200.
1
Se escribe 200 como 2 × 10².
log 200 = log 2 + log 102
2
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, y log 10² = 2.
= 0,3010 + 2 = 2,3010
▸ 2,3010 (característica 2, mantisa 0,3010)
Multiplicar por 10² deja igual la mantisa 0,3010 y solo lleva la característica de 0 a 2.
Ejemplo 2
¿Cuántas cifras tiene 230? (log 2 = 0,3010)
1
Al tomar el logaritmo común de 2³⁰, el exponente 30 pasa delante.
log 230 = 30 log 2 = 30 × 0,3010 = 9,03
2
El logaritmo 9,03 tiene característica 9, así que 10⁹ ≤ 2³⁰ < 10¹⁰.
característica 9 ⇒ 10 cifras
▸ 10 cifras
En efecto, 2³⁰ = 1 073 741 824, que tiene 10 cifras. Una característica 9 significa que el número es mayor o igual que 10⁹ y menor que 10¹⁰.

Resumen

Ideas clave
log N = característica + mantisa, d cifras ⇔ característica = d − 1
La característica se ocupa de cuántas cifras hay; la mantisa, de cuáles son
Tipo de examen CSAT 2021 Mat., adaptado
¿Cuántas cifras tiene 320? (log 3 = 0,4771)
①9 cifras
②10 cifras
③11 cifras
④12 cifras
⑤13 cifras
▸ ② 10 cifras
1
Se calcula el logaritmo común de 3²⁰ y se lee su característica.
log 320 = 20 × 0,4771 = 9,542
2
La característica es 9, así que 10⁹ ≤ 3²⁰ < 10¹⁰, es decir, 10 cifras.
característica 9 ⇒ 10 cifras
🎯 Puntos de examen
①log N = característica + mantisa (0 ≤ mantisa < 1)
②N ≥ 1 tiene d cifras ⇔ característica = d − 1
③Cifras de una potencia = característica de su logaritmo + 1
④Dos números con la misma mantisa tienen los mismos dígitos y se diferencian en un factor que es potencia de 10
⑤Si 0 < N < 1 la característica es negativa, y una característica −k indica que la primera cifra distinta de cero está en el lugar decimal k
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