Función logarítmica

Logarithmic Function

La función logarítmica y = logₐ x es la inversa de la función exponencial y = aˣ. La exponencial responde a «¿cuánto da multiplicar a x veces?», y la logarítmica a «¿cuántas veces hay que multiplicar a para obtener x?», así que las dos gráficas quedan frente a frente a ambos lados de la recta y = x. Por eso la gráfica logarítmica pasa siempre por los puntos (1, 0) y (a, 1), y baja sin límite cuando x se acerca a 0, con el eje y como asíntota. En el primer dibujo, al cambiar la base se mueve el punto (a, 1) y cambia lo tendida que queda la curva; en el segundo aparecen dos parejas de puntos enfrentados a ambos lados de y = x.

Cómo cambia la forma según la base

base a2

💡 Toda gráfica logarítmica pasa por (1, 0)

①Como logₐ 1 = 0, la gráfica pasa por (1, 0) sea cual sea la base

②Como logₐ a = 1, también pasa por (a, 1); cuanto mayor es la base, más a la derecha queda ese punto y más tendida va la curva

③Cuando x se acerca a 0, y disminuye sin límite, así que el eje y es una asíntota

④La base de este dibujo es al menos 1,5, así que solo aparecen curvas crecientes

Simetría con la función exponencial

🔗 Funciones inversas

①La inversa de y = aˣ es y = logₐ x

②Si el punto (p, q) está en una gráfica, el punto (q, p) está en la otra

③Por eso las dos gráficas son simétricas respecto de la recta y = x

④Dominio y recorrido también se intercambian: la función logarítmica admite todos los positivos y toma todos los valores reales

Propiedades de la función logarítmica

Definición

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

Dominio x > 0, recorrido todos los números reales

Dos puntos por los que siempre pasa

log_a 1 = 0, log_a a = 1

La gráfica pasa por (1, 0) y por (a, 1)

📐 Crecimiento, decrecimiento y asíntota

①Si a > 1, y crece cuando crece x: es una función creciente

②Si 0 < a < 1, y disminuye cuando crece x: es una función decreciente

③La asíntota es el eje y (x = 0)

④No está definida para x ≤ 0

Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas

Ecuación

log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x)

Con la misma base se comparan los argumentos, comprobando que sean positivos

⚠️ Dos cosas que vigilar en una inecuación logarítmica

①Si a > 1, logₐ M > logₐ N ⟺ M > N: la desigualdad conserva su sentido

②Si 0 < a < 1, logₐ M > logₐ N ⟺ M < N: la desigualdad cambia de sentido

③Al final, el resultado se combina con las condiciones M > 0 y N > 0

Resumen

Esencia

y = log_a x: dominio (0, ∞), recorrido ℝ, asíntota x = 0

Es la inversa de la exponencial, y su gráfica es simétrica a la exponencial respecto de y = x

🎯 Puntos clave

①La gráfica siempre pasa por (1, 0), porque logₐ 1 = 0

②Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1

③y = aˣ e y = logₐ x son funciones inversas

④Ecuaciones logarítmicas: igualar bases y comparar argumentos

⑤Antes de dar la respuesta, comprobar que el argumento sea positivo

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación logarítmica log₂ (x − 1) = 3.

Por la definición de logaritmo, el argumento x − 1 es 2 al cubo.

x - 1 = 2³ = 8

x = 9, y entonces el argumento x − 1 = 8 es positivo, así que es la solución.

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

Al pasar una ecuación logarítmica a forma exponencial con la definición, queda una ecuación corriente. Eso sí, hay que sustituir el valor en el argumento y comprobar que sea positivo.

Ejemplo 2

¿Respecto a qué recta son simétricas las gráficas de y = log₂ x e y = 2^x?

Al despejar x en y = 2ˣ se obtiene x = log₂ y, así que las dos funciones son inversas entre sí.

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

Las gráficas de funciones inversas emparejan puntos con x e y intercambiadas, así que son simétricas respecto de la recta y = x.

eje de simetría: y = x

▸ Simétricas respecto a la recta y = x

Si (1, 2) está en y = 2ˣ, entonces (2, 1) está en y = log₂ x. Intercambiar x e y es justamente reflejar en la recta y = x.

Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado

Resuelve la desigualdad logarítmica log₃ (x − 2) < 2 (incluye el dominio).

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

La base 3 es mayor que 1, así que la desigualdad conserva su sentido, y se añade la condición x − 2 > 0.

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

Sumando 2 a cada parte de 0 < x − 2 < 9 se obtiene 2 < x < 11.

2 < x < 11

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Función exponencial

Logaritmo común

Última actualización 2026-10-17

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