Función logarítmica

Logarithmic Function

La función logarítmica y = log_a x es el reflejo de la exponencial y = a^x. La exponencial dice cuánto obtienes al multiplicar varias veces; el logaritmo pregunta lo contrario: cuántas veces multiplicar para llegar a un valor, y sus gráficas se pliegan sobre y = x. Por eso siempre pasa por (1, 0) y, al acercarse x a 0, cae sin fin con el eje y como asíntota. Cambia la base y se aplana la curva, y el par queda reflejado en y = x.

Gráfica — efecto de la base

base a2

💡 Toda logarítmica pasa por (1, 0)

①log_a(1) = 0 → la gráfica corta el eje x en 1

②Cuanto mayor la base, más aplanada

③x → 0⁺ → y → −∞ (asíntota vertical x = 0)

④Este dibujo usa a ≥ 1.5. La caída 0 < a < 1 es la frase del recuadro de examen

Simetría con la exponencial

🔗 Inversa

①y = log_a x es la inversa de y = a^x

②Sus gráficas son simétricas respecto a y = x

③Dominio y recorrido se intercambian

④(0, 1) ↔ (1, 0)

Propiedades

Definición

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

dominio: x > 0; recorrido: ℝ

Propiedades

log_a 1 = 0, log_a a = 1

pasa por (1, 0) y (a, 1)

📐 Monotonía y asíntota

①a > 1: creciente

②0 < a < 1: decreciente

③Asíntota: el eje y (x = 0)

④No definida para x ≤ 0

Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas

Ecuación

log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x)

misma base: comparas argumentos (que deben ser positivos)

⚠️ Inecuaciones

①a > 1: log_a M > log_a N ⟺ M > N

②0 < a < 1: log_a M > log_a N ⟺ M < N (¡se invierte!)

③Asegúrate de que los argumentos son positivos

Resumen

Esencia

y = log_a x: dominio (0, ∞), recorrido ℝ, asíntota x = 0

inversa de la exponencial; simétrica respecto a y = x

🎯 Puntos clave

①Pasa por (1, 0)

②Creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1

③Inversa de y = a^x

④Ecuación: igualar bases y comparar argumentos

⑤Argumento positivo siempre

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación logarítmica log₂ (x − 1) = 3.

Usa la definición para pasar a forma exponencial (argumento = base^valor).

x - 1 = 2³ = 8

Despeja x y comprueba el dominio x − 1 > 0.

x = 9 (x - 1 = 8 > 0)

▸ x = 9

Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial y comprueba siempre que el argumento sea positivo.

Ejemplo 2

¿Respecto a qué recta son simétricas las gráficas de y = log₂ x e y = 2^x?

y = log₂ x es la inversa de y = 2^x.

y = 2^x ⟺ x = log₂ y

Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la recta y = x.

eje de simetría: y = x

▸ Simétricas respecto a la recta y = x

La función exponencial y la logarítmica son inversas, por eso son simétricas respecto a y = x.

tipo de examen

Resuelve la desigualdad logarítmica log₃ (x − 2) < 2 (incluye el dominio).

①2 < x < 11

②x < 11

③x > 2

④0 < x < 11

⑤2 < x < 9

▸ ① 2 < x < 11

Como la base 3 > 1 la función crece (se mantiene la desigualdad); aplica también el dominio.

log₃ (x-2) < 2 ⟺ 0 < x - 2 < 3²

Resuelve la desigualdad para el rango.

2 < x < 11

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