La función logarítmica y = log_a x es el reflejo de la exponencial y = a^x.
La exponencial dice cuánto obtienes al multiplicar varias veces; el logaritmo pregunta lo contrario: cuántas veces multiplicar para llegar a un valor, y sus gráficas se pliegan sobre y = x.
Por eso siempre pasa por (1, 0) y, al acercarse x a 0, cae sin fin con el eje y como asíntota.
Aquí cambias la base para ver cómo se aplana la curva y ves el par reflejado en y = x.
Gráfica — efecto de la base
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Cambia la base (a) y observa y = log_a(x)
2
💡 Toda logarítmica pasa por (1, 0)
①log_a(1) = 0 → la gráfica corta el eje x en 1
②Cuanto mayor la base, más aplanada
③x → 0⁺ → y → −∞ (asíntota vertical x = 0)
Simetría con la exponencial
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y = 2^x y y = log₂ x son simétricas respecto a y = x
🔗 Inversa
①y = log_a x es la inversa de y = a^x
②Sus gráficas son simétricas respecto a y = x
③Dominio y recorrido se intercambian
④(0, 1) ↔ (1, 0)
Propiedades
Definición
y = loga x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
dominio: x > 0; recorrido: ℝ
Propiedades
loga 1 = 0, loga a = 1
pasa por (1, 0) y (a, 1)
📐 Monotonía y asíntota
①a > 1: creciente
②0 < a < 1: decreciente
③Asíntota: el eje y (x = 0)
④No definida para x ≤ 0
Ecuaciones e inecuaciones logarítmicas
Ecuación
loga f(x) = loga g(x) ⇒ f(x) = g(x)
misma base: comparas argumentos (que deben ser positivos)
⚠️ Inecuaciones
①a > 1: log_a M > log_a N ⟺ M > N
②0 < a < 1: log_a M > log_a N ⟺ M < N (¡se invierte!)
③Asegúrate de que los argumentos son positivos
Resumen
Esencia
y = loga x: dominio (0, ∞), recorrido ℝ, asíntota x = 0
inversa de la exponencial; simétrica respecto a y = x
🎯 Puntos clave
①Pasa por (1, 0)
②Creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1
③Inversa de y = a^x
④Ecuación: igualar bases y comparar argumentos
⑤Argumento positivo siempre
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación logarítmica log2 (x − 1) = 3.
1
Usa la definición para pasar a forma exponencial (argumento = basevalor).
x - 1 = 23 = 8
2
Despeja x y comprueba el dominio x − 1 > 0.
x = 9 (x - 1 = 8 > 0)
▸ x = 9
Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial y comprueba siempre que el argumento sea positivo.
Ejemplo 2
¿Respecto a qué recta son simétricas las gráficas de y = log2 x e y = 2x?
1
y = log2 x es la inversa de y = 2x.
y = 2x ⟺ x = log2 y
2
Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la recta y = x.
eje de simetría: y = x
▸ Simétricas respecto a la recta y = x
La función exponencial y la logarítmica son inversas, por eso son simétricas respecto a y = x.
Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado
Resuelve la desigualdad logarítmica log3 (x − 2) < 2 (incluye el dominio).
①2 < x < 11
②x < 11
③x > 2
④0 < x < 11
⑤2 < x < 9
▸ ① 2 < x < 11
1
Como la base 3 > 1 la función crece (se mantiene la desigualdad); aplica también el dominio.