Función exponencial

Exponential Function

La función exponencial y = aˣ multiplica su valor por a cada vez que x aumenta en 1. Por eso describe cambios que empiezan despacio y de pronto se disparan, como unos ahorros que crecen con interés compuesto o unas células que se dividen en dos una y otra vez. Si la base es mayor que 1, la gráfica sube cada vez más deprisa hacia la derecha, y si está entre 0 y 1, se acerca a 0; en ambos casos pasa por el punto (0, 1) y tiene el eje x como asíntota. En el primer dibujo, al cambiar la base cambia lo empinada que es la curva; en el segundo, al trasladar la gráfica se mueven con ella la asíntota y el punto (0, 1).

Cómo cambia la forma según la base

base a2

💡 Toda gráfica exponencial pasa por (0, 1)

①Como a⁰ = 1, la gráfica pasa por (0, 1) sea cual sea la base

②Para x > 0, cuanto mayor es la base más empinada sube, y para x < 0, cuanto mayor es la base más se pega a 0

③Al disminuir x, y se acerca a 0 tanto como se quiera, así que el eje x es una asíntota

④La base de este dibujo es al menos 1,2, así que solo aparecen curvas crecientes

Propiedades

Definición

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

La base a es un número positivo distinto de 1

📐 a > 1 frente a 0 < a < 1

①Si a > 1, y crece cuando crece x: es una función creciente

②Si 0 < a < 1, y disminuye cuando crece x: es una función decreciente

③La gráfica de y = (1/a)ˣ es la de y = aˣ reflejada respecto del eje y

④En ambos casos el recorrido son todos los números positivos y la asíntota es el eje x (y = 0)

Traslaciones

Traslación p en el eje x0

Traslación q en el eje y0

Traslación

y = a^x-p + q

Al trasladar p unidades en la dirección del eje x y q en la del eje y, la asíntota pasa a ser y = q. La base del dibujo es 2

Ecuaciones e inecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial

a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

Se igualan las bases y luego se comparan los exponentes

⚠️ En una inecuación, primero hay que ver si la base es mayor que 1

①Si a > 1, aᵐ > aⁿ ⟺ m > n: la desigualdad conserva su sentido

②Si 0 < a < 1, aᵐ > aⁿ ⟺ m < n: la desigualdad cambia de sentido

③En una función decreciente, un exponente mayor da un valor menor

Resumen

Esencia

y = a^x: dominio ℝ, recorrido (0, ∞), asíntota y = 0

Creciente si la base es mayor que 1 y decreciente si está entre 0 y 1

🎯 Puntos clave

①La gráfica siempre pasa por (0, 1), porque a⁰ = 1

②Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1

③La asíntota de y = aˣ⁻ᵖ + q es y = q

④Ecuaciones exponenciales: igualar bases y comparar exponentes

⑤Inecuaciones exponenciales: si la base es menor que 1, se invierte la desigualdad

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación exponencial 2^x+1 = 8.

Se escribe 8 como potencia de 2: 2³.

2^x+1 = 2³

y = 2ˣ es creciente, así que si los valores son iguales, los exponentes también.

x + 1 = 3 ⟹ x = 2

▸ x = 2

Con la misma base (distinta de 1), dos exponentes distintos nunca dan el mismo valor. Por eso, al igualar las bases, la ecuación se convierte en una simple comparación de exponentes.

Ejemplo 2

Traslada la gráfica de y = 2^x tres unidades a la derecha. Halla la nueva ecuación y su asíntota.

Para trasladar la gráfica 3 unidades en la dirección del eje x, se pone x − 3 en lugar de x.

y = 2^x-3

La gráfica solo se ha movido hacia un lado, así que la asíntota y = 0 sigue igual.

asíntota: y = 0

▸ y = 2^x-3, asíntota y = 0

La asíntota es una recta horizontal, y al desplazarla a izquierda o derecha sigue siendo la misma recta. Solo el desplazamiento vertical q cambia la asíntota.

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado

Para 0 < a < 1, resuelve la desigualdad exponencial a^2x < a^x+3.

①x > 3

②x < 3

③x > -3

④x < -3

⑤x > 1

▸ ① x > 3

Si 0 < a < 1, y = aˣ es decreciente, así que el orden de los valores es el inverso del orden de los exponentes.

a^2x < a^x+3 ⟺ 2x > x + 3

Al ordenar 2x > x + 3 se obtiene x > 3.

2x - x > 3 ⟹ x > 3