Función exponencial

Exponential Function

La función exponencial y = a^x multiplica su valor por a cada vez que x sube 1. Por eso el dinero con intereses o una célula que se divide sin parar parece lento al inicio y luego se dispara. Si la base supera 1 la curva sube; si es menor que 1 se acerca a 0, pero siempre pasa por (0, 1) con el eje x como asíntota. Aquí ajustas la base para cambiar la pendiente y mueves la gráfica para ver cómo la asíntota la sigue.

Gráfica — efecto de la base

base a2

💡 Toda exponencial pasa por (0, 1)

①a^0 = 1, así que la ordenada al origen es siempre 1

②Cuanto mayor la base, más rápido sube

③Cuando x → -∞, y → 0 (asíntota horizontal y = 0)

Propiedades

Definición

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

la base es real positiva distinta de 1

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1: y crece rápido al aumentar x (creciente)

②0 < a < 1: y → 0 al aumentar x (decreciente)

③Asíntota: el eje x

④Recorrido: y > 0

Traslaciones

traslación en x0

traslación en y0

Traslación

y = a^x-p + q

traslada p en x y q en y; nueva asíntota y = q

Ecuaciones e inecuaciones

Ecuación exponencial

a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

misma base: comparas exponentes

⚠️ En las inecuaciones la base lo cambia todo

①a > 1: a^m > a^n ⟺ m > n

②0 < a < 1: a^m > a^n ⟺ m < n (¡se invierte!)

③Comprueba siempre si a es mayor o menor que 1

Resumen

Esencia

y = a^x: dominio ℝ, recorrido (0, ∞), asíntota y = 0

crece si a > 1; decrece si 0 < a < 1

🎯 Puntos clave

①Pasa por (0, 1)

②Creciente o decreciente según a

③Asíntotas y traslaciones: y = a^{x-p} + q → y = q

④Ecuación: igualar bases y comparar exponentes

⑤Inecuación: invierte el sentido si 0 < a < 1

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación exponencial 2^x+1 = 8.

Escribe 8 como potencia de base 2. 8 = 2³.

2^x+1 = 2³

Con bases iguales, iguala los exponentes.

x + 1 = 3 ⟹ x = 2

▸ x = 2

Haz que ambos lados tengan la misma base y luego iguala los exponentes.

Ejemplo 2

Traslada la gráfica de y = 2^x tres unidades a la derecha. Halla la nueva ecuación y su asíntota.

Un desplazamiento de +3 en el eje x reemplaza x por x − 3.

y = 2^x-3

Un desplazamiento horizontal no cambia la asíntota.

asíntota: y = 0

▸ y = 2^x-3, asíntota y = 0

Un desplazamiento horizontal mantiene la asíntota; solo el vertical la mueve.

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado

Para 0 < a < 1, resuelve la desigualdad exponencial a^2x < a^x+3.

①x > 3

②x < 3

③x > -3

④x < -3

⑤x > 1

▸ ① x > 3

Como la base está entre 0 y 1, la función decrece y la desigualdad se invierte.

a^2x < a^x+3 ⟺ 2x > x + 3

Resuelve la desigualdad.

2x - x > 3 ⟹ x > 3

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Función logarítmica

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