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Mis palabras

Función exponencial

Exponential Function

La función exponencial y = a^x multiplica su valor por a cada vez que x sube 1. Por eso el dinero con intereses o una célula que se divide sin parar parece lento al inicio y luego se dispara. Si la base supera 1 la curva sube; si es menor que 1 se acerca a 0, pero siempre pasa por (0, 1) con el eje x como asíntota. Ajusta la base y cambia la pendiente; mueve la gráfica y la asíntota la sigue.

Gráfica — efecto de la base

2
💡 Toda exponencial pasa por (0, 1)
①a^0 = 1, así que la ordenada al origen es siempre 1
②Cuanto mayor la base, más rápido sube
③Cuando x → -∞, y → 0 (asíntota horizontal y = 0)
④Este dibujo usa a ≥ 1.2. La caída 0 < a < 1 es la frase del paso 2 y del recuadro de examen

Propiedades

Definición
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
la base es real positiva distinta de 1
📐 a > 1 vs 0 < a < 1
①a > 1: y crece rápido al aumentar x (creciente)
②0 < a < 1: y → 0 al aumentar x (decreciente)
③Asíntota: el eje x
④Recorrido: y > 0

Traslaciones

0
0
Traslación
y = ax-p + q
traslada p en x y q en y; nueva asíntota y = q. Este lienzo está fijo en a = 2

Ecuaciones e inecuaciones

Ecuación exponencial
af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x)
misma base: comparas exponentes
⚠️ En las inecuaciones la base lo cambia todo
①a > 1: a^m > a^n ⟺ m > n
②0 < a < 1: a^m > a^n ⟺ m < n (¡se invierte!)
③Comprueba siempre si a es mayor o menor que 1

Resumen

Esencia
y = ax: dominio ℝ, recorrido (0, ∞), asíntota y = 0
crece si a > 1; decrece si 0 < a < 1
🎯 Puntos clave
①Pasa por (0, 1)
②Creciente o decreciente según a
③Asíntotas y traslaciones: y = a^{x-p} + q → y = q
④Ecuación: igualar bases y comparar exponentes
⑤Inecuación: invierte el sentido si 0 < a < 1

Ejemplos y examen

Ejemplo 1
Resuelve la ecuación exponencial 2x+1 = 8.
1
Escribe 8 como potencia de base 2. 8 = 23.
2x+1 = 23
2
Con bases iguales, iguala los exponentes.
x + 1 = 3 ⟹ x = 2
▸ x = 2
Haz que ambos lados tengan la misma base y luego iguala los exponentes.
Ejemplo 2
Traslada la gráfica de y = 2x tres unidades a la derecha. Halla la nueva ecuación y su asíntota.
1
Un desplazamiento de +3 en el eje x reemplaza x por x − 3.
y = 2x-3
2
Un desplazamiento horizontal no cambia la asíntota.
asíntota: y = 0
▸ y = 2x-3, asíntota y = 0
Un desplazamiento horizontal mantiene la asíntota; solo el vertical la mueve.
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat., adaptado
Para 0 < a < 1, resuelve la desigualdad exponencial a2x < ax+3.
①x > 3
②x < 3
③x > -3
④x < -3
⑤x > 1
▸ ① x > 3
1
Como la base está entre 0 y 1, la función decrece y la desigualdad se invierte.
a2x < ax+3 ⟺ 2x > x + 3
2
Resuelve la desigualdad.
2x - x > 3 ⟹ x > 3
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