Un logaritmo es la pregunta inversa de un exponente.
log₂8 pregunta cuántas veces multiplicas 2 para llegar a 8, y la respuesta es 3: son dos caras de una misma moneda.
Al convertir la multiplicación en suma, domestica números enormes y mide rangos amplios como el sonido o los sismos.
Mueve la base y la curva se dispara, y la escala logarítmica reparte la multiplicación.
Intuición — multiplicar repetidamente
Cuando ya conoces la base y el valor de la potencia pero no el exponente, ese hueco necesita un nombre. Ese nombre es log_a N: es la x que resuelve a^x = N. Como un producto de la misma base se convierte en una suma de exponentes, el logaritmo te deja tratar una cadena larga de multiplicaciones como una suma. La base debe cumplir a > 0 y a ≠ 1, y el argumento debe cumplir N > 0. El deslizador solo admite bases de 1.2 a 4, así que el dibujo muestra crecimiento, no decaimiento. El caso 0 < a < 1 está escrito en el texto; queda fuera del rango dibujado.
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Curvas exponenciales con distintas bases
El dibujo de arriba muestra una curva dorada y = a^x, con marcas de x del 0 al 5. Una línea a trazos queda a altura 1, y el título escribe la base elegida con un decimal en y = a^x. Si cambias la base a de 1.2 a 4, el eje vertical se vuelve a escalar a la altura a^5, de modo que una base grande se queda baja a la izquierda y luego sube con fuerza a la derecha. Abajo, los mismos cinco valores a^0, a^1, a^2, a^3, a^4 están marcados en dos barras. La barra de arriba es escala logarítmica, así que los huecos son iguales; la de abajo es lineal, así que los números grandes se apiñan hacia un extremo. No hay un punto que recorra la curva. Cada base nueva redibuja la curva y las marcas en su sitio.
2
💡 Exponente = multiplicar varias veces
①2³ = 2·2·2 = 8 ("multiplica 2 tres veces")
②Cuanto mayor la base, más rápido crece
③Base > 1: crece; 0 < base < 1: decrece
④Este dibujo usa a ≥ 1.2. La caída 0 < a < 1 es la frase de
③
Logaritmo — la pregunta inversa
Si intercambias los dos lugares de log_a N, estás preguntando otra cosa. El primer número es la base y el segundo el argumento; al invertirlos invertiste la potencia. Una base 1, una base negativa o un argumento menor o igual que 0 no están definidos, así que un símbolo de aspecto familiar no basta para calcular. La regla que convierte el logaritmo de un producto en una suma de logs vale solo cuando el argumento es un producto. Usarla en una suma rompe la definición. Si omites la base y lees solo el argumento, las mismas letras pasan a señalar otro valor.
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Escala logarítmica frente a lineal
💡 "¿Cuántas veces hay que multiplicar?"
①log_2(8) = 3 → "¿cuántas veces 2 da 8?" → 3
②En la escala log las multiplicaciones quedan equidistantes
③Sismo, decibelios y pH usan escala logarítmica
Reglas
Reglas de los exponentes
am · an = am+n, am / an = am-n
misma base: suma o resta los exponentes
Definición de logaritmo
ax = N ⟺ x = loga N
cuántas veces hay que multiplicar a para obtener N
Reglas del logaritmo
loga (MN) = loga M + loga N
log de un producto = suma de logs
Cambio de base
loga b = logc blogc a
útil para usar cualquier base c
Relación exp ↔ log
🔗 Son operaciones espejo
①Exponente: base y exponente → valor (2³ = 8)
②Logaritmo: base y valor → exponente (log₂ 8 = 3)
③Sabiendo uno obtienes el otro
④Sus gráficas son simétricas respecto a y = x
⑤El logaritmo decimal y el natural se distinguen más adelante en este capítulo