Un logaritmo es una pregunta sobre exponentes hecha al revés. ¿Cuántas veces hay que multiplicar 2 para obtener 8? La respuesta es 3, y se escribe log₂ 8 = 3.
Así, 2³ = 8 y log₂ 8 = 3 dicen lo mismo desde dos direcciones.
Con los logaritmos la multiplicación se convierte en suma, y cantidades que se diferencian en factores, como la magnitud de un terremoto o el sonido en decibelios, se manejan con mucha más facilidad.
Al cambiar la base a, cambian a la vez lo empinada que sube la curva exponencial del primer dibujo y la diferencia entre las dos escalas del segundo.
Exponentes: multiplicar el mismo número una y otra vez
Si se conocen la base y el exponente, como en 2⁵ = 32, la multiplicación da el valor enseguida. Pero si solo se dan la base 2 y el valor 32 y se pregunta por el exponente, la multiplicación no tiene un símbolo para escribir la respuesta; el nombre de ese hueco es el logaritmo. logₐ N indica a qué potencia hay que elevar a para obtener N, y exige una base con a > 0 y a ≠ 1 y un argumento N > 0.
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La curva y = aˣ según la base a, con puntos en los x enteros que crecen a veces en cada paso
La curva dorada del primer dibujo es y = aˣ, con puntos en x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Cada paso de un punto al siguiente multiplica la altura por a, así que la curva va pegada al suelo al principio y se dispara en el extremo derecho. El tope del eje vertical es a⁵: con base 1,2 solo llega a unos 2,49, pero con base 4 vale 1024, y en la misma medida los puntos de la izquierda quedan aplastados cerca de la línea punteada de altura 1.
2
💡 Un exponente cuenta multiplicaciones
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 es 2 multiplicado tres veces
②Cada vez que x aumenta en 1, aˣ se multiplica por a, así que cuanto mayor es la base, más rápido crece
③Si a > 1 los valores crecen, y si 0 < a < 1 decrecen
④La base de este dibujo es al menos 1,2, así que solo aparece el caso creciente
Logaritmos: preguntar cuántas veces
En logₐ N, el número pequeño escrito abajo es la base y el que sigue es el argumento. Si se intercambian y se escribe log₈ 2, la pregunta pasa a ser a qué potencia hay que elevar 8 para obtener 2, y la respuesta ya no es 3 sino 1/3. Otro error frecuente es partir log₂(8 + 4) en log₂ 8 + log₂ 4: un logaritmo solo se separa en suma cuando su argumento es un producto. De hecho, log₂ 12 vale unos 3,58, mientras que log₂ 8 + log₂ 4 vale 5.
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Los mismos valores a⁰ a a⁴ marcados en una escala logarítmica (arriba) y en una escala corriente (abajo)
💡 Un logaritmo devuelve la pregunta de cuántas veces
①log₂ 8 = 3 significa que la respuesta a «¿cuántos 2 se multiplican para dar 8?» es 3
②En una escala logarítmica cada paso es el mismo factor, así que 1, a, a², a³ y a⁴ quedan a la misma distancia
③La magnitud de los terremotos, el sonido en decibelios y la acidez en pH usan escalas logarítmicas
Reglas
Reglas de los exponentes
am · an = am+n, am / an = am-n
Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes; al dividir, se restan
Definición de logaritmo
ax = N ⟺ x = loga N
A qué potencia hay que elevar a para obtener N
Reglas del logaritmo
loga (MN) = loga M + loga N
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos (la ley de exponentes escrita con logaritmos)
Cambio de base
loga b = logc blogc a
Si numerador y denominador se escriben como logaritmos de la misma base c, se puede pasar a cualquier base
Cómo se relacionan exponentes y logaritmos
🔗 Dos caras del mismo hecho
①Exponente: con la base y el exponente sale el valor (2³ = 8)
②Logaritmo: con la base y el valor sale el exponente (log₂ 8 = 3)
③Por eso cualquiera de las dos expresiones se puede reescribir enseguida como la otra
④Las gráficas de y = aˣ y de y = logₐ x son simétricas respecto de la recta y = x
⑤El logaritmo común, de base 10, se estudia más adelante en este mismo capítulo
Propiedades clave
alog_a N = N, loga ax = x
Exponentes y logaritmos se deshacen el uno al otro
Resumen
Lo esencial de exponentes y logaritmos
loga N = x ⟺ ax = N
Un logaritmo es un exponente preguntado al revés
🎯 Puntos clave
①Definición: aˣ = N ⟺ logₐ N = x
②Condiciones: base a > 0, a ≠ 1, argumento N > 0
③Leyes: los productos pasan a sumas, los cocientes a restas y las potencias a coeficientes
④Cambio de base: logₐ b = log b / log a (basta con que arriba y abajo tengan la misma base)
⑤logₐ(M + N) no es logₐ M + logₐ N
Ejemplos y examen
Ejemplo 1
Calcula log2 8 + log2 4.
1
Una suma de logaritmos de la misma base se reúne en el logaritmo de un solo producto.
log2 8 + log2 4 = log2 (8 × 4) = log2 32
2
Como 32 = 2⁵, al multiplicar 2 cinco veces se obtiene 32.
log2 32 = log2 25 = 5
▸ 5
Como 8 = 2³ y 4 = 2², la respuesta 5 es la suma de exponentes 3 + 2. Esa suma de exponentes es justo la razón por la que una suma de logaritmos es el logaritmo de un producto.
Ejemplo 2
Si log2 3 = a, expresa log2 24 en términos de a.
1
Se descompone 24 en una potencia de 2 por el factor que sobra, 3, es decir, 2³ × 3.
log2 24 = log2 (23 × 3) = log2 23 + log2 3
2
log₂ 2³ = 3 y log₂ 3 = a.
= 3 + a
▸ a + 3
Al separar el argumento en una potencia de la base y un factor sobrante, la parte de la potencia se convierte en un entero y solo el factor sobrante queda con la letra dada.
Tipo de examen CSAT 2023 Mat., adaptado
Si log3 5 = a y log3 4 = b, expresa log3 80 en términos de a y b. (Nota: 80 = 16 × 5)
①a + b
②a + 2b
③2a + b
④ab
⑤2a + 2b
▸ ② a + 2b
1
Escribiendo 80 como 4² × 5, todo se puede expresar solo con log₃ 4 y log₃ 5.
log3 80 = log3 (42 × 5) = log3 42 + log3 5
2
El exponente de una potencia baja como coeficiente, así que log₃ 4² = 2b, y log₃ 5 = a.