Exponentes y logaritmos

Exponents & Logarithms

Un logaritmo es la pregunta inversa de un exponente. log₂8 pregunta cuántas veces multiplicas 2 para llegar a 8, y la respuesta es 3: son dos caras de una misma moneda. Al convertir la multiplicación en suma, domestica números enormes y mide rangos amplios como el sonido o los sismos. Aquí mueves la base para ver la curva dispararse y cómo la escala logarítmica reparte la multiplicación.

Intuición — multiplicar repetidamente

base a2

💡 Exponente = multiplicar varias veces

①2³ = 2·2·2 = 8 ("multiplica 2 tres veces")

②Cuanto mayor la base, más rápido crece

③Base > 1: crece; 0 < base < 1: decrece

Logaritmo — la pregunta inversa

💡 "¿Cuántas veces hay que multiplicar?"

①log_2(8) = 3 → "¿cuántas veces 2 da 8?" → 3

②En la escala log las multiplicaciones quedan equidistantes

③Sismo, decibelios y pH usan escala logarítmica

Reglas

Reglas de los exponentes

a^m · aⁿ = a^m+n, a^m / aⁿ = a^m-n

misma base: suma o resta los exponentes

Definición de logaritmo

a^x = N ⟺ x = log_a N

cuántas veces hay que multiplicar a para obtener N

Reglas del logaritmo

log_a (MN) = log_a M + log_a N

log de un producto = suma de logs

Cambio de base

log_a b = log_c blog_c a

útil para usar cualquier base c

Relación exp ↔ log

🔗 Son operaciones espejo

①Exponente: base y exponente → valor (2³ = 8)

②Logaritmo: base y valor → exponente (log₂ 8 = 3)

③Sabiendo uno obtienes el otro

④Sus gráficas son simétricas respecto a y = x

Propiedades clave

a^{log_a N} = N, log_a a^x = x

son funciones inversas

Resumen

Esencia

log_a N = x ⟺ a^x = N

el logaritmo es la inversa del exponente

🎯 Puntos clave

①Definición: a^x = N ⟺ log_a N = x

②Condiciones: a > 0, a ≠ 1, N > 0

③Reglas: producto → suma, cociente → resta, potencia → coeficiente

④Cambio de base

⑤Distingue logaritmo decimal (log₁₀) y natural (ln)

Ejemplos y examen

Ejemplo 1

Calcula log₂ 8 + log₂ 4.

Una suma de logaritmos de igual base se combina en el logaritmo de un producto.

log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 × 4) = log₂ 32

Como 32 = 2⁵, el logaritmo es el exponente 5.

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

▸ 5

Combina logaritmos de igual base en un producto y escríbelo como potencia.

Ejemplo 2

Si log₂ 3 = a, expresa log₂ 24 en términos de a.

Factoriza 24 = 2³ × 3.

log₂ 24 = log₂ (2³ × 3) = log₂ 2³ + log₂ 3

log₂ 2³ = 3 y log₂ 3 = a.

= 3 + a

▸ a + 3

Descompón el argumento en una potencia de la base por el factor restante.

Tipo de CSAT 2023 Mat., adaptado

Si log₃ 5 = a y log₃ 4 = b, expresa log₃ 80 en términos de a y b. (Nota: 80 = 16 × 5)

①a + b

②a + 2b

③2a + b

④ab

⑤2a + 2b

▸ ② a + 2b

Factoriza 80 = 4² × 5.

log₃ 80 = log₃ (4² × 5) = log₃ 4² + log₃ 5

log₃ 4² = 2 log₃ 4 = 2b y log₃ 5 = a.

= 2b + a = a + 2b

Función exponencial

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