seegongsik

Función irracional

Irrational Function

Una función irracional tiene la variable dentro de una raíz cuadrada, y aparece de forma natural al calcular raíces, como cuando un cuadrado de área S tiene lado √S. La más sencilla, y = √x, es la inversa de y = x² (x ≥ 0), así que las dos gráficas son simétricas respecto de la recta y = x; como lo que hay dentro de la raíz no puede ser negativo, el dominio y el recorrido quedan limitados a un lado. La gráfica de y = √(ax + b) + c empieza en el punto (−b/a, c), donde se anula lo que hay dentro de la raíz, y al resolver una ecuación irracional elevando al cuadrado pueden colarse soluciones que no cumplen la ecuación original, así que hay que comprobarlas siempre. En el primer dibujo se superponen y = √x e y = x² para ver la simetría; en el segundo, el punto de partida y la dirección cambian con a, b y c.

¿De dónde salen las funciones irracionales?

📐 Hallar el lado de un cuadrado
①Un cuadrado de área S tiene lado √S
②Con áreas 1, 4 y 9 salen lados exactos: 1, 2 y 3
③Pero con área 2 el lado es √2 = 1,414…, un número irracional
④Una función con la variable dentro de una raíz, como esta, se llama función irracional
🪞 La relación de inversas
①Si en y = x² (x ≥ 0) se intercambian x e y, queda x = y²
②Tomando solo la parte con y ≥ 0 sale y = √x
③Así que y = √x es la inversa de la parte de y = x² con x ≥ 0
④Las funciones inversas son simétricas respecto de y = x, y estas dos gráficas también
⑤En el dibujo, puntos con las coordenadas intercambiadas, como (4, 2) y (2, 4), forman parejas

Propiedades de y = √x

La función irracional básica
y = √x
Dominio x ≥ 0, recorrido y ≥ 0, empieza en el origen

Propiedades de y = √x

Rasgos de la forma básica
Dominio
Lo que hay dentro de la raíz debe ser 0 o más
x ≥ 0
Recorrido
Una raíz cuadrada nunca es negativa
y ≥ 0
Crecimiento
Si x aumenta, y también
Siempre creciente
Ritmo de crecimiento
Para subir y en 1, x tiene que crecer 3 (de 1 a 4) y luego 5 (de 4 a 9)
Cada vez más lento

La gráfica de y = √(ax + b) + c

1
0
0
Forma general
y = √(ax + b) + c
Desde el punto de partida (−b/a, c) va hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda si a < 0
🔑 Hallar rápido el punto de partida
①Se busca la x que anula lo que hay dentro de la raíz: de ax + b = 0 sale x = −b/a
②En ese punto y = √0 + c = c
③Así que el punto de partida es (−b/a, c)
④Si a > 0 el dominio es x ≥ −b/a y la gráfica va a la derecha; si a < 0 es x ≤ −b/a y va a la izquierda
⑤En los dos casos el recorrido es y ≥ c

Corte de una función irracional con una recta

Hallar los puntos de corte
√(ax + b) + c = mx + n → se elevan al cuadrado los dos miembros
Cada solución obtenida hay que sustituirla en la ecuación original
⚠️ La trampa de elevar al cuadrado
①Para resolver √x = x − 2 se elevan al cuadrado los dos miembros
②x = (x − 2)² = x² − 4x + 4, así que x² − 5x + 4 = 0
③Salen x = 1 o x = 4
④Con x = 1 el primer miembro vale √1 = 1 y el segundo 1 − 2 = −1, no coinciden: es una solución extraña
⑤Con x = 4, √4 = 2 y 4 − 2 = 2, coinciden, así que la única solución es x = 4
⑥Al elevar al cuadrado, −1 y 1 dan lo mismo y se pierde el signo; por eso hay que comprobar en la ecuación original

Resolver ecuaciones irracionales

Pasos para resolver una ecuación irracional
PasoQué hacerQué vigilar
Paso 1Dejar sola la parte con raízde la forma √(…) = (expresión)
Paso 2Elevar al cuadrado los dos miembrosanotar que la expresión debe ser ≥ 0
Paso 3Simplificar y resolversuele salir una ecuación de segundo grado
Paso 4Comprobar en la ecuación originaldescartar las soluciones extrañas

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1
Halla el dominio de la función irracional y = √(2x − 6) + 1.
1
Lo que hay dentro de la raíz tiene que ser 0 o más.
2x − 6 ≥ 0
2
Se resuelve la inecuación.
x ≥ 3
▸ {x | x ≥ 3}
Esta gráfica empieza en (3, 1) y va hacia la derecha; su recorrido es {y | y ≥ 1}.
Ejemplo 2
Explica qué traslación lleva la gráfica de y = √x a la de y = √(x − 2) + 3 y halla el punto de partida.
1
Poner x − 2 en lugar de x es trasladar 2 en el eje x, y sumar 3 a toda la expresión es trasladar 3 en el eje y.
y = √x → y = √(x − 2) + 3
2
El punto de partida es (0, 0) movido lo mismo.
(0, 0) → (2, 3)
▸ Es una traslación de 2 en el eje x y 3 en el eje y; el punto de partida es (2, 3)
Si en el segundo dibujo pones a = 1, b = −2, c = 3, sale la misma gráfica.

Resumen

Forma básica
y = √x
Dominio x ≥ 0, recorrido y ≥ 0
Forma general
y = √(ax + b) + c
Punto de partida (−b/a, c)
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Halla la abscisa del punto donde y = √(x + 1) corta a la recta y = x − 1.
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
Iguala ambas y eleva al cuadrado (con x − 1 ≥ 0).
√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²
2
Resulta x² − 3x = 0, así que x = 0 o 3; la condición x ≥ 1 deja x = 3.
x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 es solución extraña)
🎯 Lo que suele preguntarse
①El dominio sale de exigir que lo de dentro de la raíz sea 0 o más
②El punto de partida es (−b/a, c); la gráfica va a la derecha si a > 0 y a la izquierda si a < 0
③y = √x es la inversa de y = x² (x ≥ 0), así que las gráficas son simétricas respecto de y = x
④Las ecuaciones irracionales se resuelven elevando al cuadrado y luego se comprueban las soluciones en la ecuación original para quitar las extrañas
⑤La gráfica sale del punto de partida y crece cada vez más suavemente
← Anterior
Función racional
Siguiente →
Exponentes y logaritmos

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik