Función irracional

Irrational Function

Una función irracional esconde una variable bajo una raíz y surge de forma natural, como el lado √S de un cuadrado de área S. La forma básica y = √x es la inversa de y = x² (x ≥ 0), y sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. La general y = √(ax + b) + c parte de (−b/a, c), donde el radicando es cero, y cortar una recta obliga a elevar al cuadrado, lo que puede crear soluciones extrañas. Muestra u oculta y = x² y mueve a, b y c para ver cambiar el punto inicial y la dirección.

¿De dónde sale la función irracional?

📐 Lado de un cuadrado

①¿Lado de un cuadrado de área S?

②Lado = √S

③Área 1 → 1, área 4 → 2, área 9 → 3

④Pero área 2 → √2 ≈ 1,414... (¡irracional!)

⑤Las funciones con raíz cuadrada se llaman irracionales

🪞 Inversa

①En y = x² (x ≥ 0) intercambia x e y

②x = y² → y = √x (rama positiva)

③y = √x es la inversa de la rama positiva de y = x²

④Las gráficas son simétricas respecto a y = x

⑤Esa es la esencia: inversa de la cuadrática

Forma básica y = √x

Básica

y = √x

dominio x ≥ 0, recorrido y ≥ 0, parte del origen

Propiedades

ListRasgos básicos

Dominio

el radicando debe ser ≥ 0

x ≥ 0

Recorrido

la raíz cuadrada es siempre ≥ 0

y ≥ 0

Monotonía

a más x, más y (pero más despacio)

creciente

Velocidad de crecimiento

1→4: +1; 4→9: +1; los intervalos en x se ensanchan

cada vez más lenta

Forma general y = √(ax + b) + c

a (signo y dirección)1

b (desplaza el inicio)0

c (desplaza vertical)0

Forma general

y = √(ax + b) + c

punto inicial (−b/a, c); a > 0 va hacia la derecha; a < 0, izquierda

🔑 Encuentra el punto inicial

①Iguala el radicando a 0: ax + b = 0 → x = −b/a

②En ese punto y = c

③Punto inicial: (−b/a, c)

④a > 0 → x ≥ −b/a

⑤a < 0 → x ≤ −b/a

Cortes con una recta

Buscar cortes

√(ax + b) + c = mx + n → eleva al cuadrado y comprueba

¡al cuadrar pueden aparecer soluciones extrañas!

⚠️ Cuadrado y soluciones extrañas

①Resuelve √x = x − 2 cuadrando

②x = (x − 2)² → x² − 5x + 4 = 0

③x = 1 o x = 4

④Verifica: x = 1 → √1 = 1, 1 − 2 = −1, 1 ≠ −1 (¡extraña!)

⑤x = 4 → √4 = 2, 4 − 2 = 2 ✓

⑥Al cuadrar pierdes signos: comprueba siempre

Pasos

ChartResolución de ecuaciones irracionales

paso	qué hacer	cuidado
paso 1	aísla la raíz	√(…) = (expresión)
paso 2	eleva al cuadrado	comprueba que la expresión sea ≥ 0
paso 3	resuelve la ecuación resultante	normalmente es cuadrática
paso 4	sustituye en la original	descarta soluciones extrañas

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla el dominio de la función irracional y = √(2x − 6) + 1.

La expresión bajo la raíz debe ser mayor o igual que 0.

2x − 6 ≥ 0

Resuelve la inecuación.

x ≥ 3

▸ Dominio: {x | x ≥ 3}

En una función irracional, fija primero el dominio con radicando ≥ 0.

Ejemplo 2

Describe cómo y = √(x − 2) + 3 traslada a y = √x y halla su punto inicial.

x pasa a x − 2 (desplazamiento +2 en x) y +3 fuera (desplazamiento +3 en y).

y = √x → y = √(x − 2) + 3

El punto inicial es (0, 0) movido lo mismo.

(0, 0) → (2, 3)

▸ Desplazamiento 2 en x y 3 en y; punto inicial (2, 3)

El punto inicial de y = √(x − p) + q es (p, q).

Resumen

Básica

y = √x

dominio x ≥ 0, recorrido y ≥ 0

General

y = √(ax + b) + c

inicio en (−b/a, c)

Tipo de examen escolar de 10.º grado

Halla la abscisa del punto donde y = √(x + 1) corta a la recta y = x − 1.

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

Iguala ambas y eleva al cuadrado (con x − 1 ≥ 0).

√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²

Resulta x² − 3x = 0, así que x = 0 o 3; la condición x ≥ 1 deja x = 3.

x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 es solución extraña)

🎯 Puntos clave

①Radicando ≥ 0 marca el dominio

②Inicio (−b/a, c); signo de a determina dirección

③y = √x es la inversa de y = x² (x ≥ 0); simetría respecto a y = x

④Tras cuadrar verifica siempre

⑤Crece desde el inicio cada vez más lento

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Matemáticas I · Exponentes y logaritmos

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