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Función racional

Rational Function

Una función racional tiene la variable en el denominador y parte de la proporcionalidad inversa y = k/x, en la que el producto de dos magnitudes se mantiene fijo, como el tiempo que se tarda en llenar una bañera. Su gráfica es una hipérbola de dos ramas que se acerca cada vez más al eje x y al eje y sin llegar nunca a tocarlos; esas rectas se llaman asíntotas. y = k/(x − a) + b es y = k/x trasladada, así que el punto (a, b) donde se cortan las dos asíntotas pasa a ser el centro de la curva, y hasta una forma general complicada se reduce a esta al dividir el numerador entre el denominador. En el primer dibujo, los cuadrantes de la hipérbola y un rectángulo de área k cambian con k; en el segundo, las asíntotas y la curva se mueven juntas con a y b.

Las funciones racionales parten de la proporcionalidad inversa

💧 Un grifo y una bañera
①Supón que llenas una bañera con 12 L de agua
②A 1 L por minuto se tarda 12 minutos, a 2 L por minuto 6 minutos y a 3 L por minuto 4 minutos
③Si aumenta el caudal x, baja el tiempo y, y el producto xy siempre vale 12
④Esta proporcionalidad inversa, escrita como fórmula, es y = k/x
2
Función racional básica
y = kx (x ≠ 0)
xy = k: el producto de las dos variables es siempre el mismo
📐 Propiedades de la forma básica
①f(−x) = −f(x), así que la gráfica es simétrica respecto del origen
②Si k > 0 la gráfica está en los cuadrantes primero y tercero; si k < 0, en el segundo y el cuarto
③Cuanto mayor es |k|, más lejos del origen queda la gráfica
④Las asíntotas son el eje x (y = 0) y el eje y (x = 0): la gráfica se acerca sin fin a los dos ejes pero no los corta
⑤El rectángulo del dibujo siempre tiene área k, lo que muestra que en cualquier punto de la curva el producto de las coordenadas es k

Traslaciones y asíntotas

1
1
Forma estándar
y = kx − a + b
Asíntotas x = a e y = b
🔑 Por qué importa el punto de corte de las asíntotas
①La gráfica de y = k/x es simétrica respecto del origen (0, 0)
②y = k/(x − a) + b es esa gráfica movida (a, b), así que es simétrica respecto del punto (a, b)
③(a, b) es el punto donde se cortan las asíntotas x = a e y = b
④El dominio son todos los reales salvo x = a, y el recorrido, todos los reales salvo y = b

De la forma general a la estándar

Forma general
y = cx + dex + f
Se divide el numerador entre el denominador para obtener cociente + resto/denominador
🧮 Transformar y = (2x + 5)/(x + 1)
①2x + 5 = 2(x + 1) + 3, así que al dividir el numerador entre el denominador sale cociente 2 y resto 3
②Por tanto y = 2 + 3/(x + 1) = 3/(x + 1) + 2
③En la forma estándar, k = 3, a = −1, b = 2
④Las asíntotas son x = −1 e y = 2
⑤La gráfica es simétrica respecto del punto (−1, 2)

Atajos

Leer directamente de la forma general
Asíntota horizontal y = b
p. ej., en (2x + 5)/(x + 1), b = 2/1 = 2
(coeficiente de x del numerador) ÷ (coeficiente de x del denominador)
Asíntota vertical x = a
p. ej., x + 1 = 0 da a = −1
La x que anula el denominador
Valor de k
p. ej., 2x + 5 = 2(x + 1) + 3 da k = 3
Si el coeficiente de x del denominador es 1, el resto de dividir numerador entre denominador

Inversa de una función racional

Función inversa
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
Las asíntotas intercambian su papel (a ↔ b); las dos gráficas son simétricas respecto de la recta y = x
🪞 Una función que es su propia inversa
①Si en y = k/x se intercambian x e y, sale x = k/y, es decir, y = k/x, la misma función
②Así que y = k/x es su propia inversa
③La inversa de y = k/(x − a) + b es y = k/(x − b) + a: a y b se intercambian
④Si a = b, la función vuelve a ser su propia inversa y su gráfica es simétrica respecto de la recta y = x

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1
Halla las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica de y = 2/(x − 3) + 1.
1
En la forma y = k/(x − p) + q, las asíntotas son x = p e y = q.
y = 2/(x − 3) + 1
2
Se leen p = 3 y q = 1.
asíntota vertical x = 3, asíntota horizontal y = 1
▸ x = 3, y = 1
Si en el segundo dibujo pones k = 2, a = 3, b = 1, aparece esta gráfica.
Ejemplo 2
Escribe y = (2x + 1)/(x − 1) en la forma y = k/(x − p) + q y halla las ecuaciones de sus asíntotas.
1
Se divide el numerador entre el denominador: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.
y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)
2
Se leen las asíntotas en la forma estándar.
y = 3/(x − 1) + 2, asíntotas x = 1, y = 2
▸ x = 1, y = 2
La asíntota horizontal y = 2 coincide con el cociente 2/1 de los coeficientes de x, así que se puede adivinar antes de dividir.

Resumen

Forma estándar de una función racional
y = kx − a + b
Asíntotas x = a, y = b; dominio x ≠ a; recorrido y ≠ b
Tipo de examen escolar de 10.º grado
La gráfica de y = 3/(x − 2) + 1 es simétrica respecto del punto (a, b). ¿Cuánto vale a + b?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
Una función racional y = k/(x − p) + q es simétrica respecto de la intersección de sus asíntotas, (p, q).
Centro de simetría = (p, q) = (2, 1)
2
Suma a = 2 y b = 1.
a + b = 2 + 1 = 3
🎯 Lo que suele preguntarse
①La asíntota vertical es la x que anula el denominador; la horizontal sale del cociente de los coeficientes de x de arriba y de abajo
②Si k > 0 la gráfica queda hacia los cuadrantes primero y tercero; si k < 0, hacia el segundo y el cuarto
③La forma general (cx + d)/(ex + f) se pasa a estándar dividiendo
④Del dominio se quita x = a y del recorrido y = b
⑤La inversa intercambia a y b, y si a = b la función es su propia inversa
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