Función racional

Rational Function

Una función racional tiene una variable en el denominador y nace de la proporcionalidad inversa y = k/x, donde el producto de dos cantidades se mantiene constante. Su gráfica es una hipérbola centrada en el origen que se acerca a los ejes sin llegar a tocarlos. Al pasar a y = k/(x − a) + b, el centro se sitúa en el cruce de las asíntotas, (a, b). Varía k y los desplazamientos a y b para ver moverse la hipérbola y sus asíntotas.

Proporcionalidad inversa — punto de partida

💧 Llenar una bañera

①Llenas una bañera con 12 L

②A 1 L/min → 12 min; a 2 L/min → 6 min; a 3 L/min → 4 min

③Más caudal x, menos tiempo y: xy = 12 (constante)

④Es proporcionalidad inversa: y = k/x

Forma básica

y = kx (x ≠ 0)

xy = k: el producto se mantiene

📐 Propiedades

①Simétrica respecto al origen: f(−x) = −f(x) (impar)

②k > 0 → cuadrantes 1 y 3; k < 0 → 2 y 4

③A más |k|, gráfica más alejada de los ejes

④Asíntotas: ejes x e y

Traslación — el punto de cruce de asíntotas

a (asíntota vertical)1

b (asíntota horizontal)1

Forma estándar

y = kx − a + b

asíntota vertical x = a; horizontal y = b

🔑 ¿Por qué importa el cruce?

①El "centro" de y = k/x es el origen

②En y = k/(x − a) + b pasa a (a, b)

③El cruce de las asíntotas es el centro de la hipérbola

④Dominio: x ≠ a; recorrido: y ≠ b

General → estándar

Forma general

y = cx + dex + f

divide y obtén cociente + resto/denominador

🧮 Ej.: y = (2x + 5)/(x + 1)

①(2x + 5) ÷ (x + 1) = 2 con resto 3

②y = 2 + 3/(x + 1) = 3/(x + 1) + 2

③k = 3, a = −1, b = 2

④Asíntotas: x = −1, y = 2

⑤Centro (−1, 2)

Trucos

ListDe general a estándar

Asíntota horizontal b

ej.: (2x + 5)/(x + 1) → b = 2

cociente de los coeficientes principales

Asíntota vertical a

ej.: x + 1 = 0 → a = −1

el x que anula el denominador

ej.: 2x + 5 = 2(x + 1) + 3 → k = 3

el resto al dividir

Función inversa

Inversa

y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a

a y b se intercambian; simetría respecto a y = x

🪞 ¿Es involutiva?

①Inversa de y = k/x: x = k/y → y = k/x

②Es involución (su propia inversa)

③Para y = k/(x−a) + b: la inversa intercambia a y b

④Si a = b, es involutiva (simétrica respecto a y = x)

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla las asíntotas de la función racional y = 2/(x − 3) + 1.

En y = k/(x − p) + q, las asíntotas son x = p e y = q.

y = 2/(x − 3) + 1

Identifica p = 3, q = 1.

Asíntota vertical x = 3, asíntota horizontal y = 1

▸ x = 3, y = 1

La x que anula el denominador da la asíntota vertical; el término constante, la horizontal.

Ejemplo 2

Reescribe y = (2x + 1)/(x − 1) como y = k/(x − p) + q y halla sus asíntotas.

Divide el numerador entre el denominador: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3.

y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)

Lee las asíntotas de la forma estándar.

y = 3/(x − 1) + 2, asíntotas x = 1, y = 2

▸ x = 1, y = 2

Para la forma general, divide numerador entre denominador para la forma estándar.

Resumen

Esencia

y = kx − a + b

centro (a, b); dominio x ≠ a; recorrido y ≠ b

Tipo de examen escolar de 10.º grado

La gráfica de y = 3/(x − 2) + 1 es simétrica respecto del punto (a, b). ¿Cuánto vale a + b?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

Una función racional y = k/(x − p) + q es simétrica respecto de la intersección de sus asíntotas, (p, q).

Centro de simetría = (p, q) = (2, 1)

Suma a = 2 y b = 1.

a + b = 2 + 1 = 3

🎯 Puntos clave

①Asíntotas: x = a (vertical), y = b (horizontal)

②k > 0 cuadrantes 1 y 3; k < 0 los otros

③De general a estándar: divide

④Excluye los valores de las asíntotas

⑤Inversa: intercambia a y b; si a = b es involutiva

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Conjuntos y proposiciones

Función irracional

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