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Conjuntos y proposiciones

Sets & Propositions

Un conjunto es una colección en la que se puede decidir con claridad si algo pertenece o no, y una proposición es un enunciado que es claramente verdadero o falso. La intersección, los elementos que están en los dos conjuntos, y la unión, los que están al menos en uno, se ven de un vistazo en un diagrama de Venn. En una proposición del tipo 'si p, entonces q', al intercambiar o negar la hipótesis y la conclusión se obtienen la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca, y de ellas solo la contrarrecíproca tiene siempre el mismo valor de verdad que la original. En el primer dibujo se cambian los números de elementos para comprobar la fórmula del cardinal de la unión; en el segundo se cambia si p y q son verdaderas y se comparan lado a lado la proposición original y su contrarrecíproca.

Conjuntos en un diagrama de Venn

7
5
3
💡 ¿Por qué se resta la intersección?
Si en el equipo de fútbol hay 7 alumnos y en el de baloncesto 5, eso no significa que haya 12 alumnos en total en los dos equipos. Si 3 están en ambos, esos 3 se han contado dos veces. Restándolos una vez se obtiene cuántos están al menos en un equipo, que son 9. Esa es la fórmula del cardinal de la unión.

Cardinal de la unión

Cardinal de la unión
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Se resta una vez la intersección que se contó dos veces
📐 Comprobarlo con el diagrama de Venn
①Elementos solo de A: n(A) − n(A ∩ B)
②Elementos solo de B: n(B) − n(A ∩ B)
③Elementos de los dos: n(A ∩ B)
④Sumando las tres regiones sale n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
⑤Si sumas los tres números del dibujo de arriba, siempre obtienes el n(A ∪ B) de la línea de abajo

Complementarios y leyes de De Morgan

Ley de De Morgan (1)
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios
Ley de De Morgan (2)
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
El complementario de la intersección es la unión de los complementarios
💡 Cómo recordarlas
①Al meter el complementario dentro del paréntesis, ∪ y ∩ se intercambian
②'No estar en A o en B' es lo mismo que 'no estar en A y no estar en B'
③La diferencia de conjuntos se escribe de la misma manera: A − B = A ∩ B^c

Proposiciones y contrarrecíproca

1
1
La proposición p → q
p → q solo es falsa cuando p es verdadera y q es falsa
Si la hipótesis es verdadera y la conclusión falsa, la proposición es falsa
🔍 Recíproca, contraria y contrarrecíproca
①La recíproca q → p puede tener o no el mismo valor de verdad que la original
②La contraria ¬p → ¬q tampoco coincide necesariamente con la original
③La contrarrecíproca ¬q → ¬p siempre tiene el mismo valor de verdad que la original
④Si p → q es difícil de probar directamente, se puede probar su contrarrecíproca ¬q → ¬p
⑤Si p → q es verdadera, p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1
A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(A) = 20, n(B) = 15 y n(A ∩ B) = 8. Halla n(A ∪ B).
1
Se usa la fórmula del cardinal de la unión.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
Se sustituyen los valores.
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
Hay 12 elementos solo en A, 7 solo en B y 8 en los dos, y 12 + 7 + 8 = 27 lo confirma.
Ejemplo 2
En un conjunto universal U con n(U) = 30, n(A) = 18, n(B) = 14 y n(A ∩ B) = 7, halla n(Ac ∩ Bc).
1
Primero se halla el cardinal de la unión.
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
Por la ley de De Morgan, Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c, así que se resta del conjunto universal.
n(Ac ∩ Bc) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Ac ∩ Bc) = 5
La pregunta es cuántos elementos no están ni en A ni en B: la región de fuera de los dos círculos en un diagrama de Venn.

Resumen

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Para x real, dos condiciones p: 1 ≤ x ≤ 5 y q: x ≥ k. Halla el mayor k real para el que p es suficiente para q.
①-1
②0
③1
④2
⑤3
▸ ③ 1
1
Si p es suficiente para q, los conjuntos de verdad cumplen P ⊆ Q.
P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q
2
Para que todo elemento de P cumpla x ≥ k, k no debe superar el mínimo de P, que es 1.
k ≤ 1, así que el máximo es k = 1
🎯 Lo que suele preguntarse
①n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
②Leyes de De Morgan: al meter el complementario dentro, ∪ y ∩ se intercambian
③p → q solo es falsa cuando p es verdadera y q falsa
④Una proposición y su contrarrecíproca tienen siempre el mismo valor de verdad
⑤Si p → q es verdadera, p es suficiente y q es necesaria
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