Conjuntos y proposiciones

Sets & Propositions

Un conjunto reúne objetos bien definidos; una proposición es una frase que puedes declarar verdadera o falsa. Dibujar en un diagrama de Venn la intersección y la unión de dos conjuntos deja clara su relación de un vistazo. Al invertir o negar 'si p, entonces q' surgen la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca, y solo esta última mantiene el valor de verdad original. Mueve los conjuntos para ver las operaciones y comprueba tú mismo la contrarrecíproca.

Conjuntos con diagramas de Venn

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 ¿Por qué se resta?

Si A tiene 7 y B 5, sumar da 12 pero la intersección se cuenta dos veces. Restando una vez la intersección se obtiene la unión correcta.

Cardinal de la unión

Fórmula

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

restas la intersección para no duplicar

📐 Comprobación con Venn

①Solo A = n(A) − n(A∩B)

②Solo B = n(B) − n(A∩B)

③Intersección = n(A∩B)

④La suma da la fórmula

⑤Verifícalo con los sliders

Operaciones y leyes de De Morgan

De Morgan (1)

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

el complementario de la unión es la intersección de los complementarios

De Morgan (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

complementario de la intersección = unión de complementarios

💡 Truco

①Al complementar, ∪ y ∩ se intercambian

②Idea: "no estar en A o B" = "no estar ni en A ni en B"

③Diferencia: A − B = A ∩ Bᶜ

Proposiciones — comparación de valores de verdad

p (0 = falso, 1 = verdadero)1

q (0 = falso, 1 = verdadero)1

p → q

p → q es falso solo cuando p es verdadero y q falso

si la premisa es cierta y la conclusión falsa, la implicación es falsa

🔍 Recíproca, contraria y contrarrecíproca

①Recíproca: q → p (su valor de verdad puede cambiar)

②Contraria: ~p → ~q (idem)

③Contrarrecíproca: ~q → ~p (¡siempre tiene el mismo valor que la original!)

④Para demostrar p → q a veces es más fácil probar ~q → ~p

Resuélvelo

Ejemplo 1

Para subconjuntos A, B del conjunto universal, n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8. Halla n(A∪B).

Escribe la fórmula del cardinal de la unión.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Sustituye los valores.

n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27

▸ n(A ∪ B) = 27

La clave es restar la intersección solapada exactamente una vez.

Ejemplo 2

Para el conjunto universal U, n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7. Halla n(Aᶜ ∩ Bᶜ).

Primero halla el cardinal de la unión.

n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25

Por De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ, así que resta del conjunto universal.

n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5

▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5

Convierte la intersección de complementos en el complemento de una unión con De Morgan.

Resumen

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado

Para x real, dos condiciones p: 1 ≤ x ≤ 5 y q: x ≥ k. Halla el mayor k real para el que p es suficiente para q.

①-1

②0

③1

④2

⑤3

▸ ③ 1

Si p es suficiente para q, los conjuntos de verdad cumplen P ⊆ Q.

P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q

Para que todo elemento de P cumpla x ≥ k, k no debe superar el mínimo de P, que es 1.

k ≤ 1, así que el máximo es k = 1

🎯 Puntos clave

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②De Morgan intercambia ∪ y ∩

③p→q falso ⟺ p verdadero y q falso

④Original ⟺ contrarrecíproca

⑤Si p → q es cierto, p es condición suficiente y q necesaria

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Movimientos en el plano

Función racional

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