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Mis palabras

Conjuntos y proposiciones

Sets & Propositions

Un conjunto reúne objetos bien definidos; una proposición es una frase que puedes declarar verdadera o falsa. Dibujar en un diagrama de Venn la intersección y la unión de dos conjuntos deja clara su relación de un vistazo. Al invertir o negar 'si p, entonces q' surgen la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca, y solo esta última mantiene el valor de verdad original. Mueve el recuento de la unión y la tabla de la contrarrecíproca y se alinean. Complemento y De Morgan siguen en las cajas de fórmulas.

Conjuntos con diagramas de Venn

7
5
3
💡 ¿Por qué se resta?
Si A tiene 7 y B 5, sumar da 12 pero la intersección se cuenta dos veces. Restando una vez la intersección se obtiene la unión correcta.

Cardinal de la unión

Fórmula
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
restas la intersección para no duplicar
📐 Comprobación con Venn
①Solo A = n(A) − n(A∩B)
②Solo B = n(B) − n(A∩B)
③Intersección = n(A∩B)
④La suma da la fórmula
⑤Verifícalo con los sliders

Operaciones y leyes de De Morgan

De Morgan (1)
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
el complementario de la unión es la intersección de los complementarios
De Morgan (2)
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
complementario de la intersección = unión de complementarios
💡 Truco
①Al complementar, ∪ y ∩ se intercambian
②Idea: "no estar en A o B" = "no estar ni en A ni en B"
③Diferencia: A − B = A ∩ Bᶜ

Proposiciones — comparación de valores de verdad

1
1
p → q
p → q es falso solo cuando p es verdadero y q falso
si la premisa es cierta y la conclusión falsa, la implicación es falsa
🔍 Recíproca, contraria y contrarrecíproca
①Recíproca: q → p (su valor de verdad puede cambiar)
②Contraria: ~p → ~q (idem)
③Contrarrecíproca: ~q → ~p (¡siempre tiene el mismo valor que la original!)
④Para demostrar p → q a veces es más fácil probar ~q → ~p
⑤Si p→q es cierto, p es condición suficiente y q necesaria

Resuélvelo

Ejemplo 1
Para subconjuntos A, B del conjunto universal, n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8. Halla n(A∪B).
1
Escribe la fórmula del cardinal de la unión.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
Sustituye los valores.
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
La clave es restar la intersección solapada exactamente una vez.
Ejemplo 2
Para el conjunto universal U, n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7. Halla n(Aᶜ ∩ Bᶜ).
1
Primero halla el cardinal de la unión.
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
Por De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ, así que resta del conjunto universal.
n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5
Convierte la intersección de complementos en el complemento de una unión con De Morgan.

Resumen

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Para x real, dos condiciones p: 1 ≤ x ≤ 5 y q: x ≥ k. Halla el mayor k real para el que p es suficiente para q.
①-1
②0
③1
④2
⑤3
▸ ③ 1
1
Si p es suficiente para q, los conjuntos de verdad cumplen P ⊆ Q.
P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q
2
Para que todo elemento de P cumpla x ≥ k, k no debe superar el mínimo de P, que es 1.
k ≤ 1, así que el máximo es k = 1
🎯 Puntos clave
①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
②De Morgan intercambia ∪ y ∩
③p→q falso ⟺ p verdadero y q falso
④Original ⟺ contrarrecíproca
⑤Si p → q es cierto, p es condición suficiente y q necesaria
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