Movimientos en el plano

Geometric Transformation

Un movimiento en el plano cambia la posición o la orientación de una figura sin alterar su forma ni su tamaño. La traslación suma el mismo vector (a, b) a cada punto para deslizar la figura, aunque la ecuación usa −a y −b. La reflexión toma como espejo el eje x, el eje y, el origen o la recta y = x, cambiando un signo o intercambiando x e y. Traslada un triángulo con los deslizadores y alterna las cuatro reflexiones para comprobar cada regla.

Traslación — sin cambiar la forma

📦 Como mover una caja

①La forma, tamaño y orientación no cambian

②Solo cambia la posición → traslación

③En matemáticas, suma el mismo vector (a, b) a cada punto

④Toda la figura se desliza

desplazamiento en x2

desplazamiento en y1

Traslación de un punto

(x, y) → (x + a, y + b)

sumar el mismo vector a todo punto

Traslación de la ecuación — ¿por qué con signo opuesto?

Traslación de la ecuación

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

el punto se mueve +a, +b; la ecuación, −a, −b

🤔 ¿Por qué se resta?

①Si el punto trasladado es (X, Y), el original está en (X − a, Y − b)

②El original cumple f(x, y) = 0

③Entonces f(X − a, Y − b) = 0 es la nueva ecuación

④Resta el vector para volver a la posición original

Ej.: traslación del círculo

x² + y² = r² → (x − a)² + (y − b)² = r²

centro pasa de (0, 0) a (a, b)

Ej.: traslación de la parábola

y = x² → y − b = (x − a)²

vértice de (0, 0) a (a, b)

Reflexiones

Fórmulas

ListCuatro simetrías

eje x

cambia el signo de y

(x, y) → (x, −y)

eje y

cambia el signo de x

(x, y) → (−x, y)

origen

cambian ambos signos

(x, y) → (−x, −y)

y = x

intercambia x e y

(x, y) → (y, x)

💡 Idea

①Eje x: arriba/abajo → y cambia de signo

②Eje y: izda/dcha → x cambia

③Origen: rotación 180° → ambos

④y = x: bisectriz a 45° → x y y se intercambian (¡es la inversa!)

Composición — ¿importa el orden?

🔗 Reglas

①Trasl + trasl: suma vectores (orden indiferente)

②Sim + sim: x luego y = origen

③Trasl + sim: distinto orden, distinto resultado

④En problemas: aplica los pasos en el orden indicado

Composición de simetrías

ChartResultado

composición	resultado	equivalencia
x luego y	(x,y)→(−x,−y)	simetría origen
y luego x	(x,y)→(−x,−y)	simetría origen
x luego y=x	(x,y)→(−y,x)	rotación 90° antihoraria
y=x luego x	(x,y)→(y,−x)	rotación 90° horaria

Resuélvelo

Ejemplo 1

Traslada el punto (3, −2) en 4 sobre el eje x y en −5 sobre el eje y. Halla la imagen.

La traslación suma el desplazamiento a cada coordenada.

(3 + 4, −2 + (−5))

Calcula.

(7, −7)

▸ (7, −7)

Trasladar un punto solo suma el desplazamiento a sus coordenadas.

Ejemplo 2

Traslada la recta y = 2x + 1 en 3 sobre el eje x. Halla su ecuación.

Desplazar una figura en 3 sobre el eje x reemplaza x por x − 3 en la ecuación.

y = 2(x − 3) + 1

Desarrolla y simplifica.

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

Para una figura, sustituye x − a (lo contrario de lo que parece hacer un punto).

Resumen

Punto

(x + a, y + b)

puntos: se suman

Ecuación

f(x − a, y − b) = 0

ecuaciones: se restan

Tipo de examen escolar de 10.º grado

Refleja el punto (4, −3) respecto de la recta y = x. ¿Cuál es la imagen?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

La reflexión respecto de y = x intercambia las coordenadas x e y.

(a, b) → (b, a)

Intercambia las coordenadas.

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 Puntos clave

①Punto: (x + a, y + b); ecuación: f(x − a, y − b) = 0 (signos opuestos)

②Sim X: cambia y a −y

③Sim y = x: intercambia x e y (función inversa)

④Círculo: el centro se suma al vector

⑤Composición: hazlo paso a paso, el orden importa

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Ecuación de la circunferencia

Conjuntos y proposiciones

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