Movimientos en el plano

Geometric Transformation

Mover una figura cambia solo su posición o su orientación; la forma y el tamaño se mantienen. Una traslación desliza la figura sumando la misma cantidad (a, b) a todos sus puntos, pero en la ecuación de la figura hay que poner x − a e y − b en lugar de x e y, y es fácil confundirse. Una simetría refleja la figura en el eje x, el eje y, el origen o la recta y = x, de modo que cambia el signo de alguna coordenada o se intercambian x e y. En el primer dibujo el triángulo se mueve según la traslación elegida; en el segundo se pueden comparar lado a lado los vértices bajo las cuatro simetrías.

Traslación: misma forma, otro sitio

📦 Como deslizar una caja sobre la mesa

①Si deslizas una caja sobre la mesa, su forma, su tamaño y su orientación no cambian

②Solo cambia su posición: eso es una traslación

③En matemáticas se suma la misma cantidad (a, b) a todos los puntos de la figura

④Por eso los tres vértices se mueven la misma distancia en la misma dirección

Desplazamiento a en el eje x2

Desplazamiento b en el eje y1

Traslación de un punto

(x, y) → (x + a, y + b)

Se suma la misma cantidad (a, b) a todos los puntos

Trasladar una ecuación: ¿por qué se resta?

Traslación de la ecuación de una figura

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

A los puntos se les suma a y b, pero en la ecuación se pone x − a e y − b

🤔 Por qué los signos van al revés

①Sea (X, Y) un punto de la figura ya trasladada

②Antes de moverse, ese punto estaba en (X − a, Y − b)

③Ese punto de antes está en la figura original, así que cumple f(X − a, Y − b) = 0

④Por tanto, la figura trasladada tiene la ecuación f(x − a, y − b) = 0

⑤Dicho de otro modo, al restar el desplazamiento a las coordenadas nuevas se vuelve al sitio de partida

Ejemplo: trasladar una circunferencia

x² + y² = r² → (x − a)² + (y − b)² = r²

El centro pasa del origen a (a, b)

Ejemplo: trasladar una parábola

y = x² → y − b = (x − a)²

El vértice pasa de (0, 0) a (a, b)

Simetrías: la imagen en un espejo

Reglas de las simetrías

Cuatro simetrías

Simetría respecto del eje x

Solo cambia el signo de y

(x, y) → (x, −y)

Simetría respecto del eje y

Solo cambia el signo de x

(x, y) → (−x, y)

Simetría respecto del origen

Cambian los dos signos

(x, y) → (−x, −y)

Simetría respecto de la recta y = x

x e y se intercambian

(x, y) → (y, x)

💡 Cómo funcionan las simetrías

①La simetría respecto del eje x da la vuelta arriba y abajo, así que cambia el signo de y

②La simetría respecto del eje y da la vuelta izquierda y derecha, así que cambia el signo de x

③La simetría respecto del origen equivale a un giro de 180° alrededor del origen, así que cambian los dos signos

④La simetría respecto de la diagonal y = x intercambia x e y; las gráficas de una función y de su inversa están relacionadas justamente así

Un movimiento detrás de otro

🔗 Reglas para encadenar movimientos

①Dos traslaciones seguidas equivalen a sumar los desplazamientos, y el orden no importa

②Una simetría respecto del eje x seguida de otra respecto del eje y equivale a la simetría respecto del origen

③Si se mezclan traslaciones y simetrías, el orden puede cambiar el resultado

④En un problema como 'aplica al punto (2, 3) la simetría respecto del eje x y luego trasládalo 1 en el eje x y −2 en el eje y', se hacen los pasos de uno en uno en el orden indicado

Encadenar simetrías

Dos simetrías seguidas

Orden	Cambio de coordenadas	Equivale a
eje x → eje y	(x,y)→(−x,−y)	simetría respecto del origen
eje y → eje x	(x,y)→(−x,−y)	simetría respecto del origen
eje x → y = x	(x,y)→(−y,x)	giro de 90° en sentido antihorario alrededor del origen
y = x → eje x	(x,y)→(y,−x)	giro de 90° en sentido horario alrededor del origen

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1

Traslada el punto (3, −2) 4 unidades en el eje x y −5 unidades en el eje y. Halla las coordenadas del nuevo punto.

Para trasladar un punto se suman los desplazamientos a sus coordenadas.

(3 + 4, −2 + (−5))

Se calcula.

(7, −7)

▸ (7, −7)

Desplazar −5 en el eje y significa bajar 5 unidades.

Ejemplo 2

Halla la ecuación de la recta que se obtiene al trasladar y = 2x + 1 tres unidades en el eje x.

Para mover una figura 3 unidades en el eje x, se pone x − 3 en lugar de x en su ecuación.

y = 2(x − 3) + 1

Se desarrolla y se simplifica.

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

El punto (0, 1) de la recta original pasa a (3, 1), y en efecto, con x = 3 en y = 2x − 5 se obtiene y = 1.

Resumen

Traslación de un punto

(x + a, y + b)

Puntos: se suma el desplazamiento

Traslación de una ecuación

f(x − a, y − b) = 0

Ecuaciones: se resta el desplazamiento

Tipo de examen escolar de 10.º grado

Refleja el punto (4, −3) respecto de la recta y = x. ¿Cuál es la imagen?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

La reflexión respecto de y = x intercambia las coordenadas x e y.

(a, b) → (b, a)

Intercambia las coordenadas.

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 Lo que suele preguntarse

①Un punto pasa a (x + a, y + b), mientras que la ecuación de una figura pasa a f(x − a, y − b) = 0: los signos son opuestos

②La simetría respecto del eje x cambia y por −y; la del eje y cambia x por −x

③La simetría respecto de y = x intercambia x e y, y se relaciona con la gráfica de la función inversa

④Al trasladar una circunferencia se suma el desplazamiento al centro y el radio no cambia

⑤Con varios movimientos se hacen de uno en uno en el orden dado; cambiar el orden puede cambiar el resultado

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Ecuación de la circunferencia

Conjuntos y proposiciones

Última actualización 2026-10-17

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