Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a la misma distancia (el radio) de un punto (el centro), y escribir esa condición en coordenadas da su ecuación.
Si el centro es (a, b) y el radio es r, cada punto (x, y) de la circunferencia cumple (x − a)² + (y − b)² = r², directamente por la fórmula de la distancia entre dos puntos.
Aunque la ecuación esté desarrollada en la forma x² + y² + Dx + Ey + F = 0, completar cuadrados en x y en y permite volver a leer el centro y el radio.
En el primer dibujo, al cambiar el centro y el radio cambian a la vez la circunferencia y su ecuación; en el segundo, la forma en que una recta corta la circunferencia depende de la distancia del centro a la recta.
Una circunferencia determinada por su centro y su radio
Una circunferencia es el conjunto de puntos a la misma distancia del centro. Por eso, con el centro (a, b) y el radio r queda determinada su ecuación.
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Al cambiar el centro (a, b) y el radio r cambian a la vez la circunferencia en el plano, uno de sus puntos y su ecuación reducida
💡 De la fórmula de la distancia a la ecuación
①La distancia entre un punto (x, y) de la circunferencia y el centro (a, b) es r
②Con la fórmula de la distancia, √((x − a)² + (y − b)²) = r
③Al elevar al cuadrado los dos miembros, (x − a)² + (y − b)² = r²
④Si sustituyes en esta ecuación las coordenadas del punto verde del dibujo, los dos miembros siempre coinciden
Ecuación reducida y ecuación general
Ecuación reducida de la circunferencia
(x − a)² + (y − b)² = r²
centro (a, b), radio r
Ecuación general de la circunferencia
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Al desarrollar la reducida, D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r²
📐 De la ecuación general a la reducida
①Se agrupan los términos en x para formar (x + D/2)²
②Se agrupan los términos en y para formar (y + E/2)²
③Así el centro es (−D/2, −E/2) y r² = (D/2)² + (E/2)² − F
④Este valor tiene que ser positivo para que haya circunferencia; si es 0 se reduce a un punto, y si es negativo ningún punto cumple la ecuación
Posición relativa de una recta y una circunferencia
Comparando la distancia d del centro a la recta con el radio r se sabe en cuántos puntos se cortan sin resolver el sistema.
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Circunferencia de radio 3 y una recta: el número de puntos de corte cambia al variar la distancia d del centro a la recta
Recta y circunferencia
d < r: secantes, d = r: tangentes, d > r: exteriores
d es la distancia del centro de la circunferencia a la recta
Ecuaciones de la recta tangente
Tangente en un punto de la circunferencia
x1·x + y1·y = r²
Tangente a la circunferencia x² + y² = r² en su punto (x₁, y₁)
Tangente de pendiente m
y = mx ± r√(1 + m²)
Hay dos rectas de pendiente m tangentes a la circunferencia x² + y² = r²
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (2, −1) y radio 3.
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Se sustituyen a = 2, b = −1, r = 3 en la ecuación reducida (x − a)² + (y − b)² = r². Como b es negativo, y − (−1) queda y + 1.
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
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Se calcula el segundo miembro.
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
Las coordenadas del centro aparecen en la ecuación con el signo cambiado. Al ver (y + 1) no hay que leer que la coordenada y del centro es 1.
Ejemplo 2
Halla el centro y el radio de la circunferencia x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
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Se completan cuadrados por separado en los términos en x y en los términos en y.
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
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Se pasan las constantes al segundo miembro para obtener la ecuación reducida.
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, centro (3, −2), radio 5
▸ Centro (3, −2), radio 5
Con la fórmula se comprueba lo mismo: el centro es (−D/2, −E/2) = (3, −2) y r² = 9 + 4 + 12 = 25.
Resumen
Ecuación reducida
(x − a)² + (y − b)² = r²
La forma en la que se leen directamente el centro y el radio
Condición de tangencia
distancia del centro a la recta d = r
La recta y la circunferencia se tocan en un solo punto
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Desde el punto (5, 5), halla la longitud de la tangente a la circunferencia (x − 1)² + (y − 2)² = 9.
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ② 4
1
Primero halla la distancia d del punto exterior al centro.
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
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La longitud de la tangente es √(d² − r²).
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 Lo que suele preguntarse
①La ecuación general se pasa a reducida completando cuadrados y luego se leen el centro y el radio
②Para que haya circunferencia, el segundo miembro de la reducida (r²) tiene que ser positivo
③La posición de una recta y una circunferencia se decide comparando d con r o con el discriminante de la ecuación de segundo grado que sale al sustituir
④En los problemas de tangentes, primero hay que ver si el punto de tangencia está en la circunferencia o si la tangente se traza desde un punto exterior
⑤La recta que pasa por los puntos de corte de las circunferencias f₁ = 0 y f₂ = 0 es f₁ − f₂ = 0