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Mis palabras

Ecuación de la circunferencia

Circle Equations

Una circunferencia reúne los puntos que están a la misma distancia (el radio) de un punto fijo (el centro). Con centro (a, b) y radio r se escribe (x − a)² + (y − b)² = r², que surge de la fórmula de la distancia entre dos puntos. Si la forma general aparece desarrollada, al completar cuadrados vuelves a leer el centro y el radio. Mueve el centro y el radio y se ven cómo cambian la ecuación y la figura.

Centro y radio

La circunferencia es el conjunto de puntos a igual distancia del centro. Con el centro (a, b) y el radio r queda determinada.

2
1
3
💡 Derivación
①Para (x, y) sobre la circunferencia: distancia a (a, b) = r
②√((x − a)² + (y − b)²) = r
③Al elevar al cuadrado: (x − a)² + (y − b)² = r²

Forma canónica y general

Forma canónica
(x − a)² + (y − b)² = r²
centro (a, b), radio r
Forma general
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
al desarrollar: D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r²
📐 General → canónica
①Completa cuadrado en x: (x + D/2)²
②En y: (y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² − F
④Si r² ≤ 0, no hay circunferencia
⑤La recta por los cortes de dos círculos es f₁ − f₂ = 0. Las tangentes están en las cajas de abajo

Posición circunferencia-recta

Compara la distancia d del centro a la recta con el radio r.

2
Posición
d < r: dos puntos; d = r: tangente; d > r: sin corte
d = distancia del centro a la recta

Tangentes

Tangente en un punto del círculo
x1 x + y1 y = r²
para x² + y² = r² en (x₁, y₁)
Tangente con pendiente m
y = m x ± r √(1 + m²)
tangente al círculo x² + y² = r² con pendiente m

Resuélvelo

Ejemplo 1
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (2, −1) y radio 3.
1
Sustituye a = 2, b = −1, r = 3 en la forma estándar (x − a)² + (y − b)² = r². Como b es negativo, queda (y + 1).
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2
Calcula el lado derecho.
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
Las coordenadas del centro entran en la ecuación con el signo cambiado.
Ejemplo 2
Halla el centro y el radio de la circunferencia x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
1
Completa cuadrados en x y en y.
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2
Pasa las constantes a la derecha para llegar a la forma estándar.
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, centro (3, −2), radio 5
▸ Centro (3, −2), radio 5
Convierte la forma general en estándar completando cuadrados.

Resumen

Canónica
(x − a)² + (y − b)² = r²
centro y radio explícitos
Condición de tangencia
distancia del centro a la recta = r
condición de tangencia
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Desde el punto (5, 5), halla la longitud de la tangente a la circunferencia (x − 1)² + (y − 2)² = 9.
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ② 4
1
Primero halla la distancia d del punto exterior al centro.
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2
La longitud de la tangente es √(d² − r²).
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 Puntos clave
①General → completa cuadrados
②Comprueba r² > 0
③Círculo-recta: sustituye o usa el discriminante
④Tangentes: en punto de la circunferencia vs externas
⑤Recta que une los cortes de dos círculos: f₁ − f₂ = 0
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