Coordenadas y ecuación de la recta

Plane Coordinates & Line Equations

En el plano cartesiano, dos puntos bastan para medir su distancia: sus diferencias horizontal y vertical forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es esa distancia (Pitágoras). El punto medio es el promedio de las coordenadas de los dos puntos en cada eje. Una recta queda fijada por completo por su pendiente y su ordenada al origen. Arrastra B para ver cambiar la distancia y su triángulo, y ajusta la pendiente y la ordenada para ver girar la recta.

Distancia y punto medio

En el plano cartesiano la distancia entre dos puntos sale del teorema de Pitágoras y el punto medio es la media de las coordenadas.

x de B4

y de B3

💡 Intuición

①Distancia = hipotenusa del triángulo (Pitágoras)

②Punto medio = media de coordenadas

③Construye un triángulo con Δx y Δy

Fórmulas

Distancia

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Pitágoras en coordenadas

Punto medio

M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

media aritmética de coordenadas

Recta — pendiente y ordenada al origen

pendiente m2

ordenada b-1

Forma pendiente-ordenada

y = mx + b

m: pendiente (Δy/Δx); b: ordenada al origen

Forma punto-pendiente

y − y₁ = m(x − x₁)

recta que pasa por (x₁, y₁) con pendiente m

Otras formas y distancia punto-recta

Forma general

ax + by + c = 0

incluye también verticales

Distancia punto-recta

d = |a x₁ + b y₁ + c|√(a² + b²)

distancia de (x₁, y₁) a ax + by + c = 0

📐 Relación entre dos rectas

①Paralelas: m₁ = m₂

②Perpendiculares: m₁ · m₂ = −1

③Coincidentes: misma pendiente y ordenada

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla el punto P que divide A(1, 2) y B(7, 8) internamente en razón 2 : 1.

Aplica la fórmula de división interna con m : n = 2 : 1.

P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )

Calcula.

P = (15/3, 18/3) = (5, 6)

▸ P(5, 6)

En la razón m : n, multiplica el extremo lejano por m y el cercano por n.

Ejemplo 2

Para A(−1, 3) y B(3, −1), halla la longitud del segmento AB y su punto medio M.

Usa las fórmulas de distancia y punto medio.

AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)

Simplifica.

AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)

▸ AB = 4√2, punto medio M(1, 1)

Para distancia y punto medio, basta sustituir las coordenadas.

Resumen

Distancia

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

herramienta básica

Punto-recta

d = |a x₀ + b y₀ + c|√(a² + b²)

distancia mínima al pie de la perpendicular

Tipo de examen escolar de 10.º grado

Halla la distancia del punto (2, 3) a la recta 3x − 4y + 1 = 0.

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ① 1

Usa la fórmula de distancia de un punto a una recta.

d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)

Sustituye los valores.

d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1

🎯 Puntos clave

①Distancia: suma de cuadrados bajo la raíz

②Medio: razón 1:1

③Pendiente = tan θ

④Punto-recta: numerador en valor absoluto, denominador con la raíz

⑤m₁m₂ = −1 cae mucho en exámenes

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