En el plano cartesiano, conociendo las coordenadas de dos puntos se puede calcular la distancia entre ellos: se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diferencia horizontal y la vertical, y su hipotenusa es la distancia, así que basta con el teorema de Pitágoras.
El punto medio, a mitad de camino entre los dos puntos, se obtiene promediando las coordenadas x y promediando las coordenadas y.
Una recta queda determinada por solo dos números: su pendiente, que dice cuánto se inclina, y su ordenada en el origen, donde corta al eje y.
En el primer dibujo, al mover el punto B cambian a la vez el triángulo rectángulo, la distancia y el punto medio; en el segundo, al cambiar la pendiente y la ordenada en el origen la recta gira o sube y baja.
Distancia entre dos puntos y punto medio
En el plano, la distancia entre dos puntos sale del teorema de Pitágoras, y su punto medio, de promediar las coordenadas.
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La distancia entre el punto fijo A(1, 1) y el punto móvil B calculada con un triángulo rectángulo, con el punto medio M marcado
💡 Cómo ver la distancia y el punto medio
①La distancia entre dos puntos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos Δx (diferencia horizontal) y Δy (diferencia vertical)
②Por eso la distancia es √(Δx² + Δy²)
③El punto medio tiene como coordenadas la media de las dos x y la media de las dos y
④En el dibujo, A está fijo en (1, 1) y solo se mueve B
Fórmulas de distancia y punto medio
Distancia entre dos puntos
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
El teorema de Pitágoras escrito con coordenadas
Coordenadas del punto medio
M = (x1 + x22, y1 + y22)
Se promedian por separado las x y las y
Ecuación de la recta: pendiente y ordenada en el origen
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La recta y = mx + b al cambiar la pendiente m y la ordenada en el origen b, con un pequeño triángulo rectángulo que muestra que y cambia m cuando x aumenta 1
Forma explícita
y = mx + b
m es la pendiente (lo que cambia y cuando x aumenta 1) y b la ordenada en el origen
Forma punto-pendiente
y − y1 = m(x − x1)
La recta que pasa por (x₁, y₁) con pendiente m
Forma general y distancia de un punto a una recta
Ecuación general de la recta
ax + by + c = 0
Sirve para todas las rectas, también las verticales x = k
Distancia de un punto a una recta
d = |a x1 + b y1 + c|√(a² + b²)
Del punto (x₁, y₁) a la recta ax + by + c = 0
📐 Posición relativa de dos rectas
①Dos rectas con la misma pendiente y distinta ordenada en el origen son paralelas
②Si coinciden la pendiente y la ordenada en el origen, las rectas son la misma
③Si el producto de las pendientes es −1, es decir, m₁m₂ = −1, son perpendiculares
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Halla las coordenadas del punto P que divide el segmento que une A(1, 2) y B(7, 8) en la razón 2 : 1.
1
Si AP : PB = m : n, el punto es P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n)). Se pone m : n = 2 : 1.
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2
Se calcula.
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
El primer número de la razón, m, multiplica las coordenadas de B, y el segundo, n, las de A: se cruzan. Comprobar que P queda más cerca de B ayuda a evitar errores.
Ejemplo 2
Dados A(−1, 3) y B(3, −1), halla la longitud del segmento AB y las coordenadas de su punto medio M.
1
Se usan las fórmulas de la distancia y del punto medio.
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2
Se simplifica.
AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)
▸ AB = 4√2, M(1, 1)
Las diferencias horizontal y vertical valen 4, así que AB mide lo mismo que la diagonal de un cuadrado de lado 4.
Resumen
Distancia entre dos puntos
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
La herramienta más básica del plano cartesiano
Distancia de un punto a una recta
d = |a x0 + b y0 + c|√(a² + b²)
La longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta, la distancia más corta
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Halla la distancia del punto (2, 3) a la recta 3x − 4y + 1 = 0.
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ① 1
1
Usa la fórmula de distancia de un punto a una recta.
d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)
2
Sustituye los valores.
d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1
🎯 Lo que suele preguntarse
①La fórmula de la distancia eleva al cuadrado las diferencias de coordenadas, las suma y saca la raíz
②El punto medio divide el segmento en la razón 1 : 1
③Si θ es el ángulo que forma la recta con el semieje x positivo, la pendiente es m = tan θ
④En la distancia de un punto a una recta no hay que olvidar el valor absoluto del numerador ni la raíz del denominador
⑤La condición de perpendicularidad m₁m₂ = −1 sale a menudo