Inecuaciones varias

Various Inequalities

Una inecuación cuadrática solo pregunta si la parábola queda por debajo o por encima del eje x. El discriminante D decide si hay solución, que cae entre las dos raíces o fuera de ellas. |x| < a marca los puntos más cercanos al origen que a, y un sistema se queda con la parte común. Mueve los coeficientes y la banda verde crece o desaparece, y el intervalo queda en la recta.

Inecuación cuadrática — partes de la parábola

La solución de ax² + bx + c ≤ 0 es la zona donde la parábola queda por debajo del eje x. Primero usa el discriminante para saber si hay solución.

p-2

q-3

💡 Solución

①x² + px + q ≤ 0: entre raíces (α ≤ x ≤ β)

②x² + px + q ≥ 0: fuera de las raíces (x ≤ α o x ≥ β)

③D < 0 y a > 0: siempre positiva

④En esta figura a es 1

Sistemática

Método

f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0 (a > 0 → α ≤ x ≤ β)

factoriza y analiza signos

Si D < 0

a > 0: siempre positiva; a < 0: siempre negativa

sin cambios de signo

📐 Tabla de signos

①Factoriza f(x) = a(x − α)(x − β)

②Marca α y β en la recta

③Determina el signo en cada intervalo

④Toma los intervalos con el signo pedido

Inecuaciones con valor absoluto

|x| < a

|x| < a ⟺ −a < x < a

distancia al origen menor que a

|x| > a

|x| > a ⟺ x < −a o x > a

distancia al origen mayor que a

Sistemas

Solución del sistema

A ∩ B (intersección de soluciones)

resuelve cada una y queda con la parte común

🔑 Estrategia

①Resuelve cada inecuación

②Dibújalas en la recta

③Toma la intersección

④Si no hay intersección, no hay solución

Resuélvelo

Ejemplo 1

Resuelve la inecuación cuadrática x² − x − 6 < 0.

Factoriza el lado izquierdo.

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0

Una parábola hacia arriba es negativa entre sus dos raíces.

−2 < x < 3

▸ −2 < x < 3

Una cuadrática hacia arriba es menor que 0 entre sus dos raíces.

Ejemplo 2

Resuelve el sistema 2x − 1 > 3 y x² − 5x + 4 ≤ 0.

Resuelve cada inecuación por separado.

x > 2 y (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4

Toma el rango común.

2 < x ≤ 4

▸ 2 < x ≤ 4

Un sistema de inecuaciones pide la intersección de las soluciones.

Resumen

Cuadrática

a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β

según la posición de la parábola

Valor absoluto

|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a

quita el valor absoluto y queda doble inecuación

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado

¿Para qué rango de la constante k se cumple x² − 2x + k > 0 para todo x real?

①k < 1

②k > 1

③k ≤ 1

④k ≥ 1

⑤k > 2

▸ ② k > 1

Abre hacia arriba (coeficiente principal 1 > 0), así que ser siempre positiva exige discriminante D < 0.

D = (−2)² − 4·1·k < 0

Resuelve la inecuación.

4 − 4k < 0 ⇒ k > 1

🎯 Puntos clave

①Empieza por D

②a > 0, D < 0 → siempre positiva

③|x − a| < b → a − b < x < a + b

④Sistemas: usa la recta para la intersección

⑤"Para todo x" → impone D ≤ 0

← Anterior

Ecuaciones varias

Coordenadas y ecuación de la recta

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik