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Inecuaciones varias

Various Inequalities

Resolver una inecuación de segundo grado es distinguir dónde la parábola queda por debajo del eje x y dónde por encima. El signo del discriminante Δ dice primero si la parábola corta el eje x, y si lo corta, la respuesta depende de si se busca el tramo entre las dos raíces o los de fuera. La inecuación con valor absoluto |x| < a describe los puntos de la recta numérica que están a menos de a del origen, y un sistema de inecuaciones busca dónde se solapan las soluciones de cada una. En el primer dibujo, el intervalo verde de soluciones crece y se encoge con los coeficientes y desaparece cuando Δ se vuelve negativo; en el segundo, la anchura del intervalo en la recta cambia con a.

Inecuaciones de segundo grado: donde la parábola baja

La solución de ax² + bx + c ≤ 0 (a > 0) es el intervalo en que la parábola está por debajo del eje x o lo toca. Con el discriminante Δ se mira primero si existe ese intervalo.

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💡 Cómo leer la solución
①La solución de x² + px + q ≤ 0 está entre las dos raíces α y β: α ≤ x ≤ β
②La solución de x² + px + q ≥ 0 está fuera de las raíces: x ≤ α o x ≥ β
③Si Δ = 0, la parábola toca el eje x y x² + px + q ≤ 0 tiene la única solución x = −p/2
④Si Δ < 0, la parábola queda siempre por encima del eje x: x² + px + q ≤ 0 no tiene solución y x² + px + q > 0 se cumple para todo x real
⑤En el dibujo el coeficiente de x² está fijo en 1

Cómo resolver inecuaciones de segundo grado

Factorizando
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
Se factoriza y se estudia el signo en cada intervalo
Cuando Δ < 0
si a > 0, ax² + bx + c > 0; si a < 0, ax² + bx + c < 0 (para todo x real)
Con discriminante negativo, el polinomio no cambia de signo
📐 Con una tabla de signos
①Se factoriza f(x) como a(x − α)(x − β)
②Se marcan las raíces α y β en la recta numérica
③Se decide el signo de f(x) en cada uno de los tres intervalos
④Los intervalos con el signo que pide la inecuación son la solución

Inecuaciones con valor absoluto

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Inecuación con valor absoluto
|x| < a ⟺ −a < x < a
A menos de a del origen (a > 0)
Inecuación con valor absoluto (al revés)
|x| > a ⟺ x < −a o x > a
A más de a del origen (a > 0)

Sistemas de inecuaciones

Solución de un sistema
(solución de la primera) ∩ (solución de la segunda)
Se resuelve cada inecuación y se busca dónde se solapan las soluciones
🔑 Orden de los pasos
①Se resuelven las inecuaciones de una en una
②Se dibujan todas las soluciones en la misma recta numérica
③El intervalo en que se solapan todas es la solución del sistema
④Si no se solapan, el sistema no tiene solución

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1
Resuelve x² − x − 6 < 0.
1
Se factoriza el primer miembro.
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0
2
Una parábola abierta hacia arriba queda por debajo del eje x entre sus raíces.
−2 < x < 3
▸ −2 < x < 3
La desigualdad es estricta, así que las raíces −2 y 3 no forman parte de la solución.
Ejemplo 2
Resuelve el sistema 2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0.
1
Se resuelven las dos inecuaciones por separado.
x > 2 y (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4
2
Se busca dónde se solapan las dos soluciones.
2 < x ≤ 4
▸ 2 < x ≤ 4
Si se dibujan x > 2 y 1 ≤ x ≤ 4 en la misma recta, solo se solapan entre 2 y 4; el 2 no cumple la primera inecuación, así que queda fuera.

Resumen

Inecuaciones de segundo grado
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
Se lee en la posición de la parábola respecto del eje x
Inecuaciones con valor absoluto
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
Al quitar el valor absoluto queda una doble desigualdad
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
¿Para qué rango de la constante k se cumple x² − 2x + k > 0 para todo x real?
①k < 1
②k > 1
③k ≤ 1
④k ≥ 1
⑤k > 2
▸ ② k > 1
1
Abre hacia arriba (coeficiente principal 1 > 0), así que ser siempre positiva exige discriminante D < 0.
D = (−2)² − 4·1·k < 0
2
Resuelve la inecuación.
4 − 4k < 0 ⇒ k > 1
🎯 Lo que suele preguntarse
①En una inecuación de segundo grado, primero se mira el signo de Δ
②Si a > 0 y Δ < 0, ax² + bx + c > 0 se cumple para todo número real
③|x − a| < b equivale a a − b < x < a + b, un intervalo centrado en a de radio b
④En un sistema, se dibuja la recta numérica y se comprueba dónde se solapan las soluciones
⑤Una condición del tipo 'se cumple para todo x real' se traduce en Δ < 0 o Δ ≤ 0
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