Una inecuación cuadrática solo pregunta si la parábola queda por debajo o por encima del eje x.
El discriminante D decide si hay solución, que cae entre las dos raíces o fuera de ellas.
|x| < a marca los puntos más cercanos al origen que a, y un sistema se queda con la parte común.
Mueve los coeficientes para ver la banda verde crecer o desaparecer y el intervalo en la recta.
Inecuación cuadrática — partes de la parábola
La solución de ax² + bx + c ≤ 0 es la zona donde la parábola queda por debajo del eje x. Primero usa el discriminante para saber si hay solución.
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Solución de x² + px + q ≤ 0 (verde)
💡 Solución
①x² + px + q ≤ 0: entre raíces (α ≤ x ≤ β)
②x² + px + q ≥ 0: fuera de las raíces (x ≤ α o x ≥ β)
③D < 0 y a > 0: siempre positiva
Sistemática
Método
f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0 (a > 0 → α ≤ x ≤ β)
factoriza y analiza signos
Si D < 0
a > 0: siempre positiva; a < 0: siempre negativa
sin cambios de signo
📐 Tabla de signos
①Factoriza f(x) = a(x − α)(x − β)
②Marca α y β en la recta
③Determina el signo en cada intervalo
④Toma los intervalos con el signo pedido
Inecuaciones con valor absoluto
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Solución de |x| < a en la recta
|x| < a
|x| < a ⟺ −a < x < a
distancia al origen menor que a
|x| > a
|x| > a ⟺ x < −a o x > a
distancia al origen mayor que a
Sistemas
Solución del sistema
A ∩ B (intersección de soluciones)
resuelve cada una y queda con la parte común
🔑 Estrategia
①Resuelve cada inecuación
②Dibújalas en la recta
③Toma la intersección
④Si no hay intersección, no hay solución
Resuélvelo
Ejemplo 1
Resuelve la inecuación cuadrática x² − x − 6 < 0.
1
Factoriza el lado izquierdo.
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0
2
Una parábola hacia arriba es negativa entre sus dos raíces.
−2 < x < 3
▸ −2 < x < 3
Una cuadrática hacia arriba es menor que 0 entre sus dos raíces.
Ejemplo 2
Resuelve el sistema 2x − 1 > 3 y x² − 5x + 4 ≤ 0.
1
Resuelve cada inecuación por separado.
x > 2 y (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4
2
Toma el rango común.
2 < x ≤ 4
▸ 2 < x ≤ 4
Un sistema de inecuaciones pide la intersección de las soluciones.
Resumen
Cuadrática
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
según la posición de la parábola
Valor absoluto
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
quita el valor absoluto y queda doble inecuación
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
¿Para qué rango de la constante k se cumple x² − 2x + k > 0 para todo x real?
①k < 1
②k > 1
③k ≤ 1
④k ≥ 1
⑤k > 2
▸ ② k > 1
1
Abre hacia arriba (coeficiente principal 1 > 0), así que ser siempre positiva exige discriminante D < 0.