Ecuaciones varias

Various Equations

Más allá de las cuadráticas llegan las cúbicas, las cuárticas y los sistemas. Las raíces de una cúbica son los cortes de su gráfica con el eje x: halla una con el teorema del factor y baja a una cuadrática por división sintética. La solución de un sistema es el corte de dos gráficas. Valor absoluto y radicales siguen en las cajas de fórmulas. Cambia los coeficientes y se ven las raíces reales de la cúbica y el corte de las dos curvas.

Cúbica — raíces como cortes

Las raíces de x³ + px + q = 0 son los cortes con el eje x. Cambia los coeficientes y observa cuántas hay.

p-3

💡 Raíces de la cúbica

①Toda cúbica tiene al menos una raíz real

②Con curvas marcadas puede haber 3

③Si encuentras una raíz, usa división sintética para reducir a cuadrática

Estrategia para grado 3 y 4

Factorizar

busca raíces enteras → división sintética → reducir a cuadrática

prueba con divisores del término independiente

Sustitución

x⁴ + ax² + b = 0 → toma t = x²

reduces a cuadrática

🔑 Pasos

①Saca factor común

②Prueba raíces enteras

③Reduce con división sintética

④Resuelve la cuadrática restante

Sistemas — cortes de curvas

La solución de un sistema es el corte de las gráficas. Combinando una recta y una parábola, sustituye y resuelve.

pendiente k2

📐 Resolución

①Sustituye una ecuación en la otra y resuelve

②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0

③Esta figura es y = x² e y = kx + 1, así que D = k² + 4 es siempre positivo y hay 2 cortes

④Las coordenadas del corte son la solución

Especiales

Con valor absoluto

|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)

estudia dos casos (g(x) ≥ 0)

Irracional

√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0

al cuadrar verifica siempre

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla la raíz real de la cúbica x³ − 8 = 0.

Factoriza con la diferencia de cubos.

x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0

x − 2 = 0 da la raíz real; x² + 2x + 4 = 0 tiene D = 4 − 16 < 0, raíces complejas.

x = 2 (x² + 2x + 4 = 0 tiene raíces complejas)

▸ La raíz real es x = 2

En una cúbica, factoriza y luego usa el discriminante para separar raíces reales y complejas.

Ejemplo 2

Resuelve el sistema x + y = 5, x² + y² = 13.

De x + y = 5, sustituye y = 5 − x en la segunda ecuación.

x² + (5 − x)² = 13

Se reduce a x² − 5x + 6 = 0, es decir (x − 2)(x − 3) = 0.

x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)

▸ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)

Despeja una variable en la ecuación lineal y sustituye en la cuadrática.

Resumen

Esencia

teorema del factor + división sintética → bajar grado

reduce cúbicas y cuárticas a cuadráticas

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado

Halla la suma de las tres raíces reales de x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ④ 6

Para ax³ + bx² + cx + d = 0, la suma de las raíces es −b/a.

α + β + γ = −b/a

Sustituye a = 1, b = −6.

α + β + γ = −(−6)/1 = 6

🎯 Puntos clave

①Cúbica: al menos una raíz real

②Cuártica: prueba t = x² si solo hay potencias pares

③Sistemas: sustituye

④Irracional: verifica al cuadrar

⑤Valor absoluto: estudia los casos y comprueba condiciones

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