Aquí se va más allá del segundo grado: ecuaciones de tercer y cuarto grado y sistemas con dos incógnitas.
Las raíces reales de una ecuación de tercer grado son las abscisas de los puntos donde su gráfica corta el eje x, así que, en cuanto el teorema del factor da una raíz, la regla de Ruffini baja el grado y se resuelve la ecuación de segundo grado que queda.
Las soluciones de un sistema son los puntos donde se cortan dos gráficas, y un sistema formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo se resuelve sustituyendo una en la otra para obtener una ecuación con una sola incógnita.
En el primer dibujo, el número de puntos donde la cúbica corta el eje x cambia con p y q; en el segundo, los cortes de la parábola y la recta cambian con la pendiente k.
Hallar las raíces de una cúbica con su gráfica
Las raíces reales de la ecuación x³ + px + q = 0 son las abscisas de los puntos donde la gráfica corta el eje x. Al cambiar los coeficientes, el número de raíces reales pasa de 1 a 2 o a 3.
-3
2
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Gráfica de y = x³ + px + q con los puntos donde corta el eje x y el número de raíces reales distintas
💡 Raíces reales de una ecuación de tercer grado
①La gráfica de una cúbica va de abajo a la izquierda a arriba a la derecha, así que corta el eje x al menos una vez: una ecuación de tercer grado siempre tiene al menos una raíz real
②Si p es negativo y grande en valor absoluto, la gráfica se curva lo bastante para cortar el eje x tres veces
③Donde la gráfica toca el eje x hay una raíz doble: el ejemplo inicial x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2) es tangente en x = 1
④Para resolver, se busca una raíz con el teorema del factor y se baja a segundo grado con la regla de Ruffini
Resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado
Usar el teorema del factor
candidatas a raíz entera → regla de Ruffini → bajar a segundo grado
Se sustituyen divisores del término independiente hasta obtener 0
Usar un cambio de variable
x⁴ + ax² + b = 0 → cambio x² = t
La ecuación de cuarto grado pasa a ser de segundo grado en t
🔑 Orden de los pasos
①Primero se mira si hay factor común
②Se sustituyen divisores del término independiente para encontrar una raíz
③Se baja un grado con la regla de Ruffini
④La ecuación de segundo grado que queda se resuelve factorizando o con la fórmula
Sistemas y puntos de corte de dos gráficas
Las soluciones de un sistema son las coordenadas de los puntos donde se cortan las dos gráficas. Un sistema con una ecuación de primer grado y otra de segundo se resuelve por sustitución.
2
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Los dos puntos donde se cortan la parábola y = x² y la recta y = kx + 1
📐 Resolver el sistema
①Se sustituye una ecuación en la otra para obtener una ecuación con una incógnita
②x² = kx + 1 se ordena como x² − kx − 1 = 0
③Su discriminante es Δ = k² + 4, positivo para cualquier k, así que la recta del dibujo corta siempre a la parábola en dos puntos
④Las coordenadas de los dos puntos de corte son las soluciones del sistema
Ecuaciones especiales
Ecuaciones con valor absoluto
|f(x)| = g(x) → f(x) = g(x) o f(x) = −g(x)
Se separa en dos casos y se comprueba que g(x) ≥ 0
Ecuaciones irracionales
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
Después de elevar al cuadrado, hay que comprobar en la ecuación original
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Halla las raíces reales de x³ − 8 = 0.
1
Se factoriza con la diferencia de cubos.
x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0
2
De x − 2 = 0 sale la raíz real; x² + 2x + 4 = 0 tiene discriminante 4 − 16 < 0, así que sus raíces son complejas.
x = 2 (las raíces de x² + 2x + 4 = 0 son complejas)
▸ x = 2
x³ − 8 = 0 tiene tres raíces en total, pero solo una es real, y la gráfica y = x³ − 8 corta el eje x una sola vez.
Ejemplo 2
Resuelve el sistema x + y = 5, x² + y² = 13.
1
De x + y = 5 sale y = 5 − x, que se sustituye en la segunda ecuación.
x² + (5 − x)² = 13
2
Simplificando queda 2x² − 10x + 12 = 0, es decir, x² − 5x + 6 = 0, así que (x − 2)(x − 3) = 0.
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)
▸ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)
Significa también que la circunferencia x² + y² = 13 y la recta x + y = 5 se cortan en los puntos (2, 3) y (3, 2).
Resumen
La clave de las ecuaciones de grado alto
teorema del factor + regla de Ruffini → bajar el grado
Se descomponen las de tercer y cuarto grado en otras de grado dos o menor
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Halla la suma de las tres raíces reales de x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ④ 6
1
Para ax³ + bx² + cx + d = 0, la suma de las raíces es −b/a.
α + β + γ = −b/a
2
Sustituye a = 1, b = −6.
α + β + γ = −(−6)/1 = 6
🎯 Lo que suele preguntarse
①Una ecuación de tercer grado tiene siempre al menos una raíz real
②En una de cuarto grado con solo potencias pares, como x² y x⁴, se prueba el cambio x² = t
③Los sistemas se reducen por sustitución a una ecuación con una incógnita
④En las ecuaciones irracionales se eleva al cuadrado y se descartan las soluciones extrañas
⑤En las ecuaciones con valor absoluto se distinguen casos y se comprueba la condición de cada uno