Más allá de las cuadráticas llegan las cúbicas, las cuárticas y los sistemas.
Las raíces de una cúbica son los cortes de su gráfica con el eje x: halla una con el teorema del factor y baja a una cuadrática por división sintética.
La solución de un sistema es el corte de dos gráficas; con valor absoluto o radicales, divide en casos o comprueba al elevar al cuadrado.
Aquí cambias los coeficientes y ves variar las raíces y los cortes.
Cúbica — raíces como cortes
Las raíces de x³ + px + q = 0 son los cortes con el eje x. Cambia los coeficientes y observa cuántas hay.
-3
2
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Raíces de f(x) = x³ + px + q
💡 Raíces de la cúbica
①Toda cúbica tiene al menos una raíz real
②Con curvas marcadas puede haber 3
③Si encuentras una raíz, usa división sintética para reducir a cuadrática
Estrategia para grado 3 y 4
Factorizar
busca raíces enteras → división sintética → reducir a cuadrática
prueba con divisores del término independiente
Sustitución
x⁴ + ax² + b = 0 → toma t = x²
reduces a cuadrática
🔑 Pasos
①Saca factor común
②Prueba raíces enteras
③Reduce con división sintética
④Resuelve la cuadrática restante
Sistemas — cortes de curvas
La solución de un sistema es el corte de las gráficas. Combinando una recta y una parábola, sustituye y resuelve.
2
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Cortes de y = x² con y = kx + 1
📐 Resolución
①Sustituye una ecuación en la otra y resuelve
②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0
③Usa el discriminante
④Las coordenadas del corte son la solución
Especiales
Con valor absoluto
|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)
estudia dos casos (g(x) ≥ 0)
Irracional
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
al cuadrar verifica siempre
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla la raíz real de la cúbica x³ − 8 = 0.
1
Factoriza con la diferencia de cubos.
x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0
2
x − 2 = 0 da la raíz real; x² + 2x + 4 = 0 tiene D = 4 − 16 < 0, raíces complejas.
x = 2 (x² + 2x + 4 = 0 tiene raíces complejas)
▸ La raíz real es x = 2
En una cúbica, factoriza y luego usa el discriminante para separar raíces reales y complejas.
Ejemplo 2
Resuelve el sistema x + y = 5, x² + y² = 13.
1
De x + y = 5, sustituye y = 5 − x en la segunda ecuación.
x² + (5 − x)² = 13
2
Se reduce a x² − 5x + 6 = 0, es decir (x − 2)(x − 3) = 0.
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)
▸ (x, y) = (2, 3) o (3, 2)
Despeja una variable en la ecuación lineal y sustituye en la cuadrática.
Resumen
Esencia
teorema del factor + división sintética → bajar grado
reduce cúbicas y cuárticas a cuadráticas
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Halla la suma de las tres raíces reales de x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ④ 6
1
Para ax³ + bx² + cx + d = 0, la suma de las raíces es −b/a.
α + β + γ = −b/a
2
Sustituye a = 1, b = −6.
α + β + γ = −(−6)/1 = 6
🎯 Puntos clave
①Cúbica: al menos una raíz real
②Cuártica: prueba t = x² si solo hay potencias pares
③Sistemas: sustituye
④Irracional: verifica al cuadrar
⑤Valor absoluto: estudia los casos y comprueba condiciones