Una ecuación de segundo grado tiene como término de mayor grado uno de grado 2, y basta calcular un solo número, el discriminante Δ = b² − 4ac, para saber cuántas raíces reales tiene antes de hallarlas.
Si el discriminante es positivo hay dos raíces reales distintas, si es 0 una raíz doble, y si es negativo dos raíces complejas conjugadas; esto coincide exactamente con que la parábola y = ax² + bx + c corte al eje x en dos puntos, lo toque o no lo corte.
Las relaciones de Cardano-Vieta dan la suma y el producto de las dos raíces solo con los coeficientes, sin resolver la ecuación.
En el primer dibujo, la forma en que la parábola toca el eje x cambia con b y c; en el segundo, las dos raíces y su suma y producto cambian con p y q.
El discriminante anticipa cuántas raíces hay
En la ecuación ax² + bx + c = 0, el discriminante Δ = b² − 4ac dice, solo por su signo, cuántas raíces reales hay. Verlo junto a la forma en que la parábola corta el eje x deja clara la razón.
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Según el signo del discriminante, la parábola y = x² + bx + c corta el eje x en dos puntos, lo toca o no lo corta
💡 Lo que dice el discriminante
①Si Δ > 0, la parábola corta el eje x en dos puntos y la ecuación tiene dos raíces reales distintas
②Si Δ = 0, la parábola toca el eje x y la ecuación tiene una raíz doble
③Si Δ < 0, la parábola no corta el eje x y la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas
④En el dibujo a está fijo en 1, así que Δ = b² − 4c
La fórmula general
Fórmula de la ecuación de segundo grado
x = -b ± √(b² − 4ac)2a
Raíces de ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Discriminante
Δ = b² − 4ac
Δ > 0: dos raíces reales distintas, Δ = 0: una raíz doble, Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas
📐 De dónde sale la fórmula
①Se divide entre a y se completa el cuadrado: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)
②Se saca la raíz cuadrada de los dos miembros: x + b/(2a) = ±√Δ/(2a)
③Despejando x se obtiene la fórmula
④Como aparece √Δ, el signo de Δ decide qué tipo de raíces hay
Relación entre raíces y coeficientes
Aunque no se hallen las dos raíces α y β, su suma y su producto se conocen solo con los coeficientes.
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Las dos raíces α y β de x² + px + q = 0 sobre una recta numérica, con su suma α + β y su producto αβ
Fórmulas de Cardano-Vieta
Relación entre raíces y coeficientes
α + β = -ba, αβ = ca
Suma y producto de las raíces α, β de ax² + bx + c = 0
Construir la ecuación a partir de sus raíces
x² − (α + β)x + αβ = 0
Conociendo la suma y el producto se escribe enseguida la ecuación con coeficiente principal 1
④En el segundo dibujo, aunque Δ < 0 y no aparezcan raíces en la recta, la suma y el producto se siguen calculando, porque las raíces complejas también cumplen estas relaciones
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Resuelve x² − 5x + 6 = 0.
1
Se factoriza el primer miembro.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2
Se iguala a 0 cada factor.
x = 2 o x = 3
▸ x = 2 o x = 3
La suma de las raíces, 5, y su producto, 6, coinciden con −(−5)/1 y 6/1, lo que confirma las relaciones de Cardano-Vieta.
Ejemplo 2
Sean α y β las raíces de x² − 7x + 10 = 0. Halla α² + β².
1
Se obtienen la suma y el producto a partir de los coeficientes.
α + β = 7, αβ = 10
2
Se sustituye en α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
Las raíces son en realidad 2 y 5, y 2² + 5² = 29: se llega a lo mismo sin resolver.
Resumen
Fórmula general
x = -b ± √(b² − 4ac)2a
Un método que sirve para cualquier ecuación de segundo grado
Raíces y coeficientes
α + β = -ba, αβ = ca
Suma y producto sin hallar las raíces
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Si x² − 4x + k = 0 tiene raíz doble, ¿cuál es la constante k?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ④ 4
1
Una raíz doble significa discriminante D = 0.
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2
Resuelve D = 0 para k.
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 Lo que suele preguntarse
①Primero se decide el tipo de raíces con el discriminante
②La condición Δ = 0 se usa mucho en problemas de tangencia y de raíz doble
③Con las relaciones entre raíces y coeficientes se calculan expresiones simétricas como α² + β²
④Con la suma y el producto de dos raíces se construye una nueva ecuación
⑤En una ecuación con coeficientes reales, las raíces complejas son conjugadas, así que conocer una determina la otra