Una ecuación cuadrática es de grado dos, y su discriminante D = b² − 4ac dice cuántas raíces tiene antes de resolverla.
D positivo da dos raíces reales, cero una raíz doble y negativo raíces complejas, visible en cómo la parábola corta el eje x.
La relación entre raíces y coeficientes da además su suma y su producto sin resolver la ecuación.
Aquí mueves los coeficientes y ves cómo responden la parábola y sus raíces.
Discriminante
En ax² + bx + c = 0, el discriminante D = b² − 4ac nos dice cuántas raíces reales tiene observando la parábola.
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Relación entre D y la parábola
💡 Significado
①D > 0: dos cortes con el eje x → dos raíces reales distintas
②D = 0: tangente → raíz doble
③D < 0: sin cortes → raíces imaginarias
Fórmula general
Fórmula
x = -b ± √(b² − 4ac)2a
soluciones de ax² + bx + c = 0
Discriminante
D = b² − 4ac
D > 0: dos reales; D = 0: doble; D < 0: imaginarias
📐 Idea del desarrollo
①Completa cuadrados: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²
②Saca raíz: x + b/2a = ±√D / 2a
③Despeja x
Relación entre raíces y coeficientes
Sin calcular α, β puedes obtener su suma y producto.
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Raíces de x² + px + q = 0 con su suma y producto
Fórmulas
Suma y producto
α + β = -ba, αβ = ca
para ax² + bx + c = 0
Reconstruir la cuadrática
x² − (α + β)x + αβ = 0
a partir de la suma y el producto
🔑 Aplicaciones
①α² + β² = (α + β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
③|α − β| = √((α + β)² − 4αβ) = √D/|a|
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla las dos raíces de la cuadrática x² − 5x + 6 = 0.
1
Factoriza el lado izquierdo.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2
Iguala cada factor a 0.
x = 2 o x = 3
▸ x = 2 o x = 3
Cuando factoriza, es más rápido que la fórmula general.
Ejemplo 2
Sean α, β las raíces de x² − 7x + 10 = 0. Halla α² + β².
1
Obtén la suma y el producto por las relaciones entre raíces y coeficientes.
α + β = 7, αβ = 10
2
Sustituye en α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
Calcula la expresión simétrica con suma y producto, sin hallar las raíces.
Resumen
Fórmula
x = -b ± √(b² − 4ac)2a
fórmula universal
Suma y producto
α + β = -ba, αβ = ca
sin necesidad de hallar las raíces
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
Si x² − 4x + k = 0 tiene raíz doble, ¿cuál es la constante k?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ④ 4
1
Una raíz doble significa discriminante D = 0.
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2
Resuelve D = 0 para k.
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 Puntos clave
①Usa D para clasificar
②D = 0 → tangente y raíz doble
③Suma y producto sirven para expresiones simétricas