Los números complejos amplían los reales con i, un número nuevo cuyo cuadrado es −1.
Un negativo no tiene raíz cuadrada real, pero con i toda ecuación cuadrática tiene solución.
Se escriben como a + bi, con parte real e imaginaria, y al multiplicarlos por su conjugado vuelven a ser reales.
Aquí los representas como puntos del plano complejo y ves cómo actúan la suma y el producto.
Aparece la unidad imaginaria i
Para resolver x² = −1 se define i² = −1. Esto sale de la recta real y abre una nueva dimensión.
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Las potencias de i se repiten cada 4
💡 Ciclo de i
①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i
②i⁴ = 1 → ciclo de 4
③i^n se determina por el resto de n entre 4
Plano complejo
z = a + bi se representa como punto (a, b) en el plano complejo. Eje X = parte real, eje Y = parte imaginaria.
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Plano complejo: z = a + bi y su conjugado z̄ = a − bi
🔑 Esencia
①z = a + bi → (a, b)
②z̄ = a − bi → simétrico respecto al eje real
③|z| = √(a² + b²)
Operaciones
Suma
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
parte real con real, imaginaria con imaginaria
Producto
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
distributiva y luego i² = −1
Producto por su conjugado
z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|²
siempre da un real (la parte imaginaria se anula)
Igualdad de complejos
Igualdad
a + bi = c + di ⟺ a = c y b = d
partes reales iguales y partes imaginarias iguales
📐 Usos
①En ecuaciones con complejos, iguala parte real e imaginaria por separado
②z = z̄ ⟺ b = 0 (es real puro)
③z = −z̄ ⟺ a = 0 (imaginario puro)
Resuélvelo
Ejemplo 1
Expresa (2 + 3i)(1 − 2i) en la forma a + bi. (i es la unidad imaginaria)
1
Desarrolla con la propiedad distributiva.
2 − 4i + 3i − 6i²
2
Sustituye i² = −1 y simplifica.
2 − i + 6 = 8 − i
▸ 8 − i
Sustituir i² = −1 es el núcleo de la multiplicación compleja.
Ejemplo 2
Halla el valor de i + i² + i³ + … + i¹⁰.
1
Las potencias de i recorren i, −1, −i, 1 con período 4, y cuatro términos consecutivos suman 0.
i + i² + i³ + i⁴ = 0
2
La suma de i¹ a i⁸ es 0, y queda i⁹ + i¹⁰.
i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i
▸ −1 + i
Juzga una potencia por el resto del exponente dividido entre 4.
Resumen
Unidad imaginaria
i² = −1; potencias con ciclo 4
i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i
Módulo
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
distancia al origen en el plano complejo
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Para el número complejo z = 3 − 4i, halla z·z̄. (z̄ es el conjugado de z)
①5
②7
③25
④−7
⑤−25
▸ ③ 25
1
El conjugado es z̄ = 3 + 4i, así que multiplica ambos.
z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)
2
Usa el producto de una suma por una diferencia.
= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25
🎯 Puntos clave
①Potencias de i: usa el resto módulo 4
②División: multiplica por el conjugado del denominador
③Memoriza z · z̄ = |z|²
④Igualdad: real con real, imaginaria con imaginaria
⑤El conjugado es el simétrico respecto al eje real