El cuadrado de un número real nunca es negativo, así que ningún número real cumple x² = −1. Los números complejos amplían el conjunto de los números introduciendo un número nuevo, i, cuyo cuadrado es −1.
Un número complejo se escribe a + bi (con a y b reales), con parte real a y parte imaginaria b, y con ellos incluso una ecuación de segundo grado con discriminante negativo tiene solución.
a + bi y a − bi son conjugados, y su producto, a² + b², es un número real; la división de complejos se basa justamente en eso.
En el primer dibujo las potencias de i dan vueltas por cuatro posiciones; en el segundo, el número complejo a + bi y su conjugado aparecen como puntos de un plano.
La unidad imaginaria i
Hacía falta un número que cumpliera x² = −1, así que se definió un número nuevo i con i² = −1. Con i, los números pueden salir de la recta real y extenderse en una dirección nueva.
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Las potencias de i recorren por turnos cuatro posiciones: 1, i, −1, −i
💡 Las potencias de i se repiten de cuatro en cuatro
①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i
②i⁴ = i² × i² = 1 hace volver al principio, así que los valores se repiten con periodo 4
③Por eso el valor de iⁿ solo depende del resto de dividir n entre 4
④La división escrita en la parte de abajo del dibujo es justo ese resto
Los complejos como puntos de un plano
Si se representa el número complejo z = a + bi como el punto (a, b) del plano complejo, el eje horizontal da la parte real y el vertical la parte imaginaria.
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Plano complejo con z = a + bi y su conjugado z̄ = a − bi como puntos, junto con la distancia |z| al origen
🔑 Qué leer en el plano complejo
①z = a + bi es el punto (a, b)
②El conjugado z̄ = a − bi es el punto (a, −b), simétrico de z respecto del eje real
③|z| es la distancia del origen al punto (a, b), es decir, √(a² + b²)
④z · z̄ = a² + b² = |z|² es siempre real; por eso, para dividir se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador y así este queda real
Operaciones con números complejos
Suma
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Se suman las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí
Producto
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Se desarrolla con la propiedad distributiva y luego se usa i² = −1
Producto de conjugados
z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|²
La parte imaginaria se anula, así que el resultado siempre es real
Cuándo son iguales dos números complejos
Igualdad de números complejos
a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d
Con a, b, c, d reales, tienen que coincidir las partes reales y las imaginarias
📐 Usar la condición de igualdad
①En una ecuación con complejos se comparan por separado las partes reales y las imaginarias de los dos miembros para hallar las incógnitas
②Si z = z̄, entonces b = 0 y z es real
③Si z = −z̄, entonces a = 0 y z es 0 o imaginario puro
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Escribe (2 + 3i)(1 − 2i) en la forma a + bi, siendo i la unidad imaginaria.
1
Se desarrolla con la propiedad distributiva.
2 − 4i + 3i − 6i²
2
Se sustituye i² = −1 y se agrupan la parte real y la imaginaria.
2 − i + 6 = 8 − i
▸ 8 − i
El momento en que −6i² pasa a ser +6 es la clave del producto de complejos. Si se pierde ese signo, sale la respuesta errónea −4 − i.
Ejemplo 2
Calcula i + i² + i³ + … + i¹⁰.
1
Las potencias de i repiten i, −1, −i, 1 con periodo 4, y cuatro términos seguidos suman 0.
i + i² + i³ + i⁴ = 0
2
Los términos de i¹ a i⁸ suman 0, así que solo queda i⁹ + i¹⁰.
i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i
▸ −1 + i
9 entre 4 da resto 1 y 10 entre 4 da resto 2, así que i⁹ = i e i¹⁰ = i² = −1. Se puede comprobar poniendo n en 9 y 10 en el primer dibujo.
Resumen
Unidad imaginaria
i² = −1; las potencias de i se repiten con periodo 4
i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i
Módulo de un número complejo
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
Distancia al origen en el plano complejo
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Para el número complejo z = 3 − 4i, halla z·z̄. (z̄ es el conjugado de z)
①5
②7
③25
④−7
⑤−25
▸ ③ 25
1
El conjugado es z̄ = 3 + 4i, así que multiplica ambos.
z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)
2
Usa el producto de una suma por una diferencia.
= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25
🎯 Lo que suele preguntarse
①iⁿ se calcula con el resto de dividir n entre 4
②Para dividir complejos se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador
③Hay que recordar z · z̄ = |z|²
④Para la igualdad de complejos se comparan por separado la parte real y la imaginaria
⑤En el plano complejo, dos conjugados son simétricos respecto del eje real