Factorizar es el camino inverso a desarrollar: reescribe un polinomio como un producto.
Como quien recupera el largo y el ancho de un rectángulo a partir de su área, en x² + (a+b)x + ab buscas dos números con suma (a+b) y producto ab, y obtienes (x+a)(x+b).
Hasta x⁴ se vuelve una cuadrática al sustituir t = x², y el teorema del factor abre las de mayor grado al hallar una raíz.
Mueve los deslizadores de a, b y k para explorar el modelo de áreas y la sustitución.
Factorizar = inverso de multiplicar
Factorizar es el proceso inverso a desarrollar. Como buscar largo y ancho conocida el área.
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Modelo de áreas: x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
💡 Buscar suma y producto
①En x² + px + q busca dos números con suma p y producto q
②Esos son a y b → (x + a)(x + b)
③Modelo de áreas: encuentra largo y ancho
Fórmulas
Fórmulas
Identidades clave
Sustitución
Las expresiones complejas se simplifican con una sustitución adecuada. Para x⁴ usa t = x²; para partes que se repiten, define una nueva variable.
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Sustituye x² por t en x⁴ + kx² + (k − 2)
🔑 Cuándo sustituir
①Si ves una parte repetida, llámala con una variable
②x⁴ + ax² + b → con t = x² queda una cuadrática
③Tras factorizar, vuelve a la variable original
Estrategia
Lo primero: factor común
común → fórmulas → sustitución
esos 3 pasos
Diferencia de cuadrados
a² − b² = (a + b)(a − b)
la fórmula más usada
Resuélvelo
Ejemplo 1
Factoriza x³ + 8.
1
Como 8 = 2³, usa la suma de cubos a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
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Sustituye a = x, b = 2.
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)
Conocer la suma y la diferencia de cubos permite factorizar de inmediato.
Ejemplo 2
Factoriza x⁴ − 13x² + 36.
1
Haz x² = t para obtener una cuadrática.
t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)
2
Restituye t = x² y factoriza cada uno por diferencia de cuadrados.
(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
En una bicuadrática, sustituye y termina con diferencia de cuadrados.
Resumen
Cuadrática
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
busca dos números con suma y producto dados
Cubos
a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
el signo del término central es el opuesto
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Factoriza el polinomio x³ − 2x² − 5x + 6.
①(x − 1)(x − 2)(x + 3)
②(x − 1)(x + 2)(x − 3)
③(x + 1)(x − 2)(x − 3)
④(x − 1)(x − 2)(x − 3)
⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)
▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)
1
Como al sustituir x = 1 da 0, por el teorema del factor x − 1 es factor.
f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
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Divide para hallar el cociente y vuelve a factorizar.
(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)
🎯 Puntos clave
①Empieza siempre extrayendo factor común
②Diferencia de cuadrados
③Trinomio cuadrado perfecto: ¿el término medio es 2ab?
④Para x⁴ prueba t = x²
⑤Apóyate en el teorema del factor para hallar raíces