seegongsik

Factorización

Factorization

Factorizar es desarrollar al revés: se vuelve a escribir un polinomio como producto de varios polinomios. Piensa en hallar el largo y el ancho de un rectángulo cuya área es x² + 5x + 6: se buscan dos números que sumen 5 y multipliquen 6, que son 2 y 3, y queda (x + 2)(x + 3). Una expresión con x⁴ que parece difícil se convierte en una ecuación de segundo grado conocida al hacer x² = t, y en las de grado tres o más la puerta de entrada es encontrar una raíz con el teorema del factor. En el primer dibujo, las cuatro piezas del modelo de áreas cambian con los números a y b; en el segundo, los pasos de la factorización por cambio de variable cambian con el coeficiente k.

Factorizar es multiplicar al revés

Factorizar es desarrollar al revés. Es como recuperar el largo y el ancho de un rectángulo cuando se conoce su área como expresión.

2
3
💡 Dos números a partir de su suma y su producto
①En x² + px + q se buscan dos números que sumen p y multipliquen q
②Si esos números son a y b, entonces x² + px + q = (x + a)(x + b)
③En el modelo de áreas, el rectángulo de arriba a la derecha, bx, y el de abajo a la izquierda, ax, suman px, y el rectángulo de abajo a la derecha, de área ab, es q

Fórmulas de factorización

Fórmulas

Fórmulas de factorización imprescindibles

Factorizar con cambio de variable

Hasta las expresiones complicadas se convierten en trinomios de segundo grado con un cambio de variable adecuado. Si aparece x⁴, se hace x² = t; si el mismo bloque se repite, se sustituye por una sola letra.

3
🔑 Pasos del cambio de variable
①Si ves un bloque repetido, sustitúyelo por una sola letra
②Una expresión de la forma x⁴ + ax² + b se convierte en un trinomio en t con x² = t
③Se factoriza el trinomio en t y luego se vuelve a poner x² en lugar de t
④Si algún factor, como x² − 4, todavía se puede descomponer, se sigue hasta el final

Por dónde empezar

Primero, el factor común
sacar factor común → aplicar fórmulas → cambio de variable o teorema del factor
Revisando en este orden se factorizan casi todas las expresiones
Diferencia de cuadrados
a² − b² = (a + b)(a − b)
La fórmula de factorización que más se usa

Ejemplos y evaluación de la unidad

Ejemplo 1
Factoriza x³ + 8.
1
Como 8 = 2³, se usa la suma de cubos a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
2
Se sustituye a = x, b = 2.
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
▸ (x + 2)(x² − 2x + 4)
El discriminante de x² − 2x + 4 es 4 − 16 < 0, así que no se descompone más en los números reales.
Ejemplo 2
Factoriza x⁴ − 13x² + 36.
1
Con x² = t queda un trinomio en t.
t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9)
2
Se vuelve a poner x² en lugar de t y cada factor se descompone otra vez con la diferencia de cuadrados.
(x² − 4)(x² − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
▸ (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)
Quedarse en (x² − 4)(x² − 9) es dejar el trabajo a medias. Después de volver a x², hay que comprobar siempre si los factores se descomponen más.

Resumen

Factorizar un trinomio de segundo grado
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Se hallan los dos factores a partir de una suma y un producto
Suma y diferencia de cubos
a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
El término central del segundo paréntesis lleva el signo contrario
Tipo de examen escolar de 10.º grado
Factoriza el polinomio x³ − 2x² − 5x + 6.
①(x − 1)(x − 2)(x + 3)
②(x − 1)(x + 2)(x − 3)
③(x + 1)(x − 2)(x − 3)
④(x − 1)(x − 2)(x − 3)
⑤(x + 1)(x + 2)(x − 3)
▸ ② (x − 1)(x + 2)(x − 3)
1
Como al sustituir x = 1 da 0, por el teorema del factor x − 1 es factor.
f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0
2
Divide para hallar el cociente y vuelve a factorizar.
(x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)
🎯 Lo que suele preguntarse
①Primero se mira si hay factor común
②Si los dos términos son cuadrados, se usa la diferencia de cuadrados
③Con tres términos se comprueba si tienen la forma a² ± 2ab + b² para escribirlos como cuadrado perfecto
④En las expresiones con x⁴ se prueba x² = t
⑤En las de grado tres o más se sustituyen divisores del término independiente hasta obtener 0 y se usa el teorema del factor para sacar un factor de primer grado
← Anterior
Teoremas del resto y del factor
Siguiente →
Números complejos

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik