El teorema del resto es un atajo que da el resto sin necesidad de hacer la división.
Al dividir f(x) entre x − a, el resto resulta ser exactamente f(a), así que basta una sustitución.
Y si ese resto es cero, x − a es un factor, y este teorema del factor descompone polinomios de grado alto.
Aquí puedes cambiar el valor de a y ver cómo varía el resto y cuándo llega a cero.
Teorema del resto — sustituye y listo
Al dividir P(x) entre (x − a), el resto es P(a). Sin necesidad de dividir, basta sustituir.
2
seegongsik.com
Comprueba P(a) en P(x) = x³ − 2x² + x − 3
💡 Idea
①f(x) = (x − a) · Q(x) + R
②Sustituye x = a: f(a) = 0 · Q(a) + R = R
③Por tanto, R = f(a)
Fórmulas
Teorema del resto
resto de P(x) ÷ (x − a) = P(a)
sustituyendo se obtiene el resto
Generalización
resto de P(x) ÷ (ax + b) = P(-ba)
sustituye la raíz de ax + b = 0
Teorema del factor — P(a) = 0 indica factor
Resto cero significa que la gráfica corta el eje x. Si P(a) = 0, (x − a) es factor de P(x).
3
seegongsik.com
P(a) = 0 → (x − a) es factor
🔑 Idea
①P(a) = 0 ⟺ (x − a) es factor
②Los cortes con el eje x señalan factores
③Para factorizar, busca raíces enteras
Uso del teorema del factor
Teorema del factor
P(a) = 0 ⟺ (x − a) es factor de P(x)
resto cero = divisible = factor
📐 Estrategia para grado alto
①Prueba con divisores del término independiente (±1, ±2, ±3...)
②Busca P(a) = 0
③Usa división sintética para el cociente
④Factoriza el cociente recursivamente
Resuélvelo
Ejemplo 1
Halla el resto al dividir P(x) = x³ − 2x + 5 entre x − 2.
1
Por el teorema del resto, el resto al dividir entre x − a es P(a) (aquí a = 2).
R = P(2)
2
Sustituye x = 2.
P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9
▸ El resto es 9
El resto al dividir entre x − a es simplemente P(a).
Ejemplo 2
Si P(x) = x³ + ax + 2 es divisible entre x + 1, halla la constante a.
1
Por el teorema del factor, ser divisible entre x + 1 significa P(−1) = 0.
P(−1) = 0
2
Sustituye x = −1 y resuelve.
(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1
▸ a = 1
Divisible significa resto 0, es decir, el teorema del factor P(a) = 0.
Resumen
Resto
R = P(a)
un solo cálculo y listo
Factor
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x − a) · Q(x)
resto cero implica factor
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
P(x) deja resto 3 al dividir entre x − 1 y −3 al dividir entre x + 2. Si el resto al dividir entre (x − 1)(x + 2) es R(x) = ax + b, ¿cuánto vale ab?
①0
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
Por el teorema del resto, P(1) = R(1) y P(−2) = R(−2) dan dos ecuaciones.
a + b = 3, −2a + b = −3
2
Resolviendo el sistema: 3a = 6, así que a = 2, b = 1.
a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2
🎯 Puntos clave
①Vale para (x − a) y (ax + b)
②Empieza probando divisores del término independiente
③Combínalo con la división sintética
④Si f(x) divide entre (x − a)(x − b), entonces f(a) = f(b) = 0
⑤Inversamente, R conocido permite hallar coeficientes