Teoremas del resto y del factor

Remainder Theorem & Factor Theorem

El teorema del resto es un atajo que da el resto sin necesidad de hacer la división. Al dividir f(x) entre x − a, el resto resulta ser exactamente f(a), así que basta una sustitución. Y si ese resto es cero, x − a es un factor, y este teorema del factor descompone polinomios de grado alto. Cambia el valor de a y se ve cómo varía el resto y cuándo llega a cero.

Teorema del resto — sustituye y listo

Al dividir P(x) entre (x − a), el resto es P(a). Sin necesidad de dividir, basta sustituir.

valor de a2

💡 Idea

①f(x) = (x − a) · Q(x) + R

②Sustituye x = a: f(a) = 0 · Q(a) + R = R

③Por tanto, R = f(a)

④Esta figura es solo (x − a). El resto P(−b/a) de (ax + b) está en la caja de fórmulas

Fórmulas

Teorema del resto

resto de P(x) ÷ (x − a) = P(a)

sustituyendo se obtiene el resto

Generalización

resto de P(x) ÷ (ax + b) = P(-ba)

sustituye la raíz de ax + b = 0

Teorema del factor — P(a) = 0 indica factor

Resto cero significa que la gráfica corta el eje x. Si P(a) = 0, (x − a) es factor de P(x).

raíz a3

🔑 Idea

①P(a) = 0 ⟺ (x − a) es factor

②Los cortes con el eje x señalan factores

③Para factorizar, busca raíces enteras

Uso del teorema del factor

Teorema del factor

P(a) = 0 ⟺ (x − a) es factor de P(x)

resto cero = divisible = factor

📐 Estrategia para grado alto

①Prueba con divisores del término independiente (±1, ±2, ±3...)

②Busca P(a) = 0

③Usa división sintética para el cociente

④Factoriza el cociente recursivamente

Resuélvelo

Ejemplo 1

Halla el resto al dividir P(x) = x³ − 2x + 5 entre x − 2.

Por el teorema del resto, el resto al dividir entre x − a es P(a) (aquí a = 2).

R = P(2)

Sustituye x = 2.

P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9

▸ El resto es 9

El resto al dividir entre x − a es simplemente P(a).

Ejemplo 2

Si P(x) = x³ + ax + 2 es divisible entre x + 1, halla la constante a.

Por el teorema del factor, ser divisible entre x + 1 significa P(−1) = 0.

P(−1) = 0

Sustituye x = −1 y resuelve.

(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1

▸ a = 1

Divisible significa resto 0, es decir, el teorema del factor P(a) = 0.

Resumen

Resto

R = P(a)

un solo cálculo y listo

Factor

P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x − a) · Q(x)

resto cero implica factor

Tipo de evaluación oficial de 10.º grado

P(x) deja resto 3 al dividir entre x − 1 y −3 al dividir entre x + 2. Si el resto al dividir entre (x − 1)(x + 2) es R(x) = ax + b, ¿cuánto vale ab?

①0

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

Por el teorema del resto, P(1) = R(1) y P(−2) = R(−2) dan dos ecuaciones.

a + b = 3, −2a + b = −3

Resolviendo el sistema: 3a = 6, así que a = 2, b = 1.

a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2

🎯 Puntos clave

①Vale para (x − a) y (ax + b)

②Empieza probando divisores del término independiente

③Combínalo con la división sintética

④Si f(x) divide entre (x − a)(x − b), entonces f(a) = f(b) = 0

⑤Inversamente, R conocido permite hallar coeficientes

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Factorización

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