El teorema del resto es un atajo para conocer el resto de una división de polinomios sin hacerla.
El resto de dividir P(x) entre x − a es igual a P(a), así que basta sustituir x por a una vez para obtenerlo.
Si ese resto es 0, P(x) es divisible entre x − a, es decir, x − a es un factor de P(x). Es el teorema del factor, y es el primer paso para factorizar polinomios de grado tres o más.
En el primer dibujo, al cambiar a, la altura del punto (a, P(a)) de la gráfica se lee como el resto; en el segundo, los factores se leen donde la gráfica corta el eje x.
Teorema del resto: sustituir da el resto
El resto de dividir P(x) entre x − a es igual a P(a). Se obtiene solo sustituyendo un valor, sin dividir.
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Gráfica de P(x) = x³ − 2x² + x − 2 en la que la altura P(a) en x = a se lee como el resto de dividir entre x − a
💡 Por qué funciona el teorema del resto
①Al dividir P(x) entre x − a se tiene P(x) = (x − a)·Q(x) + R
②Con x = a queda P(a) = 0·Q(a) + R = R
③Por tanto, el resto R es igual a P(a)
④En el dibujo, con a = 2 sale P(2) = 0, así que este polinomio es divisible entre x − 2
⑤El resto de dividir entre ax + b es P(−b/a), como en la fórmula de abajo
El teorema del resto
Teorema del resto
resto de P(x) ÷ (x − a) = P(a)
El valor que se sustituye da el resto
Al dividir entre ax + b
resto de P(x) ÷ (ax + b) = P(-ba)
Se sustituye la solución de ax + b = 0
Teorema del factor: si P(a) = 0, es un factor
Un resto 0 significa que la gráfica corta el eje x en ese punto. Si P(a) = 0, entonces x − a es un factor de P(x).
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La gráfica de P(x) = (x − a)(x² + 1) corta el eje x en x = a, lo que muestra que x − a es un factor
🔑 Lo esencial del teorema del factor
①P(a) = 0 y 'x − a es un factor de P(x)' dicen lo mismo
②En la gráfica, la coordenada x de un punto de corte con el eje x es la a de un factor x − a
③El polinomio del dibujo corta el eje x en un solo punto, porque x² + 1 nunca vale 0
④Factorizar un polinomio de grado tres o más empieza por encontrar una raíz así
Cómo usar el teorema del factor
Teorema del factor
P(a) = 0 ⟺ x − a es un factor de P(x)
Resto 0 significa división exacta, y división exacta significa factor
📐 Pasos para factorizar polinomios de grado alto
①Se toman como posibles raíces los divisores del término independiente (±1, ±2, ±3, …)
②Se sustituyen hasta encontrar un valor con P(a) = 0
③Se divide P(x) entre x − a con la regla de Ruffini para obtener el cociente
④Se sigue factorizando el cociente
Ejemplos y evaluación de la unidad
Ejemplo 1
Halla el resto de dividir P(x) = x³ − 2x + 5 entre x − 2.
1
Por el teorema del resto, el resto de dividir entre x − 2 es P(2).
R = P(2)
2
Se sustituye x = 2.
P(2) = 2³ − 2·2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9
▸ 9
Si se divide con la regla de Ruffini, en la última casilla también sale 9. El teorema del resto reduce ese cálculo a una sola sustitución.
Ejemplo 2
El polinomio P(x) = x³ + ax + 2 es divisible entre x + 1. Halla la constante a.
1
x + 1 = x − (−1), así que por el teorema del factor P(−1) = 0.
P(−1) = 0
2
Se sustituye x = −1 y se resuelve.
(−1)³ + a(−1) + 2 = 1 − a = 0 ⇒ a = 1
▸ a = 1
Con a = 1, P(x) = x³ + x + 2 = (x + 1)(x² − x + 2), así que x + 1 es de verdad un factor.
Resumen
Teorema del resto
resto de P(x) ÷ (x − a): R = P(a)
Una sola sustitución fija el resto
Teorema del factor
P(a) = 0 ⟹ P(x) = (x − a) · Q(x)
Si el resto es 0, x − a es un factor
Tipo de evaluación oficial de 10.º grado
P(x) deja resto 3 al dividir entre x − 1 y −3 al dividir entre x + 2. Si el resto al dividir entre (x − 1)(x + 2) es R(x) = ax + b, ¿cuánto vale ab?
①0
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
Por el teorema del resto, P(1) = R(1) y P(−2) = R(−2) dan dos ecuaciones.
a + b = 3, −2a + b = −3
2
Resolviendo el sistema: 3a = 6, así que a = 2, b = 1.
a = 2, b = 1 ⇒ ab = 2
🎯 Lo que suele preguntarse
①Para dividir entre x − a se sustituye a; para dividir entre ax + b, −b/a
②Al buscar raíces con el teorema del factor, se empieza por los divisores del término independiente
③Se combina con la regla de Ruffini para factorizar polinomios de grado alto
④Si P(x) es divisible entre (x − a)(x − b), se cumplen a la vez P(a) = 0 y P(b) = 0
⑤Usando al revés un dato sobre el resto se halla un coeficiente desconocido