Polynomial Operations
Multiplicar y dividir polinomios es llevar a las letras las operaciones con números que ya conoces. Si se divide el área de un rectángulo en cuatro piezas, se ve enseguida por qué el producto de dos binomios de primer grado se desarrolla como lo hace, y al dividir entre un binomio de primer grado, la regla de Ruffini da el cociente y el resto rápidamente usando solo los coeficientes. Igual que 17 = 5 × 3 + 2, un polinomio sigue la estructura (dividendo) = (divisor) × (cociente) + (resto), y ese es el hilo que recorre toda la unidad. En el primer dibujo las piezas del modelo de áreas cambian con b; en el segundo, la última casilla de la tabla de Ruffini cambia con el término independiente.
Al dividir 17 entre 5 con números enteros se obtiene cociente 3 y resto 2, y todo cabe en una sola igualdad: 17 = 5 × 3 + 2. Con los polinomios conviene hacer lo mismo y guardar la división como una igualdad, en lugar de memorizar por separado el cociente y el resto, porque así se usa en la unidad siguiente. Con la multiplicación pasa algo parecido: si solo se memoriza el resultado desarrollado, es fácil perder un signo o un coeficiente. Por eso esta página muestra la multiplicación como un dibujo de áreas y la división como una tabla de coeficientes, siguiendo cada término desde dónde sale hasta dónde va.
El producto de dos polinomios se puede ver como el área de un rectángulo. Al desarrollar (x + 3)(x + b) se obtiene la suma de las áreas de cuatro rectángulos más pequeños. En el dibujo el 3 queda fijo y solo cambia b.
El dibujo de áreas está formado por un cuadrado de lado x y tres piezas: a su derecha, debajo y en la esquina de abajo a la derecha. El cuadrado grande tiene área x², la pieza de la derecha bx, la de abajo 3x y la de la esquina 3b. Al cambiar b de 1 a 7 solo cambia el ancho de las dos piezas de la derecha, y con él el coeficiente 3 + b del término en x y el término independiente 3b del desarrollo escrito debajo. Por ejemplo, con b = 4, (x + 3)(x + 4) = x² + 7x + 12.
Para dividir un polinomio entre x − a, la regla de Ruffini da el cociente y el resto rápidamente usando solo los coeficientes.
Si solo se memoriza el orden para rellenar la tabla de Ruffini, es fácil no ver por qué la última casilla es el resto. Al dividir entre un binomio de primer grado, el resto debe tener grado menor, es decir, ser una constante. Así que las primeras casillas de la fila de abajo son los coeficientes del cociente y solo la última es el resto. En el dibujo de arriba el cociente es siempre x² + 3x − 2, y al cambiar el término independiente solo cambia la última casilla, que vale (término independiente) − 2. Cuando el término independiente es 2 el resto es 0, lo que significa que x³ + 2x² − 5x + 2 es divisible exactamente entre x − 1.
En un ejercicio de identidades notables, primero hay que ver con el primer miembro de qué fórmula coincide la expresión. Si una expresión se multiplica por sí misma, como (x + 3)², se usa el cuadrado de una suma; si solo se dan la suma y el producto, se usa una transformación como x² + y² = (x + y)² − 2xy. Antes de poner números, pensar a qué pieza del dibujo de áreas corresponde cada término hace más difícil olvidar el 2 de 2ab. Después de escribir la respuesta, sustituir un valor sencillo como x = 1 en los dos miembros sirve de comprobación rápida.
Si en la igualdad de la división f(x) = (x − a)Q(x) + R se sustituye x = a, la primera parte se anula y queda f(a) = R. Es decir, la última casilla de la tabla se puede obtener directamente como f(a) sin hacer la división: es el teorema del resto de la unidad siguiente. Si el resto es 0, x − a es un factor, así que la factorización, que usa las identidades notables al revés, se apoya en la misma igualdad. Tener claro que el desarrollo visto con áreas y la división vista con la tabla usan las mismas letras y los mismos coeficientes une las unidades que vienen.
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