Operaciones con polinomios

Polynomial Operations

Multiplicar y dividir polinomios extiende a las letras la aritmética que ya conoces con los números. El producto de dos expresiones lineales divide un rectángulo en cuatro piezas, y la división sintética da el cociente y el resto. Igual que 17 = 5 × 3 + 2, todo polinomio sigue la forma f(x) = divisor × cociente + resto. Aquí mueves los deslizadores de b y del término independiente para ver cómo cambia el modelo de áreas.

Producto — modelo de áreas

El producto se entiende como área de un rectángulo. Al desarrollar (x + a)(x + b) sumas cuatro áreas.

💡 Idea del modelo

①x² es el cuadrado grande; (a + b)x son dos rectángulos; ab es el cuadrado pequeño

②La suma de áreas es el desarrollo

③Es la base de las identidades notables

División — método sintético

Al dividir entre (x − a), la división sintética permite obtener cociente y resto rápidamente.

término independiente a₀6

🔑 Cómo funciona

①Pon a a la izquierda

②Baja el primer coeficiente

③Multiplica por a y suma al siguiente

④El último número es el resto

Relación de la división

Identidad

f(x) = (x − a) · Q(x) + R

dividendo = divisor × cociente + resto

Grados

polinomio de grado n ÷ grado 1 → cociente n − 1, resto constante

el cociente tiene un grado menos

📐 Comparación con enteros

①17 ÷ 5 = 3 resto 2 → 17 = 5 · 3 + 2

②Igual estructura: f(x) = divisor × cociente + resto

③grado(resto) < grado(divisor)

Identidades notables

Cuadrado

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

desarrollo del cuadrado

Suma por diferencia

(a + b)(a − b) = a² − b²

producto suma-diferencia

Cubo

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

binomio de Newton para n = 3

Resuélvelo

Ejemplo 1

Desarrolla (x + 3)².

Usa el cuadrado perfecto (a + b)² = a² + 2ab + b².

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

Simplifica.

x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

Memorizar los productos notables agiliza el desarrollo.

Ejemplo 2

Si x + y = 5 y xy = 3, halla x² + y².

Usa la identidad x² + y² = (x + y)² − 2xy.

x² + y² = (x + y)² − 2xy

Sustituye los valores.

= 5² − 2·3 = 25 − 6 = 19

▸ x² + y² = 19

Dados la suma y el producto, halla la expresión simétrica con las identidades.

Resumen

Identidad clave

f(x) = divisor · Q(x) + R

estructura común de toda división

Tipo de examen escolar de 10.º grado

Si x + y = 4 y xy = 2, ¿cuánto vale x³ + y³?

①28

②34

③40

④46

⑤52

▸ ③ 40

Usa la identidad x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y).

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

Sustituye los valores.

= 4³ − 3·2·4 = 64 − 24 = 40

🎯 Puntos clave

①Identidades notables = factorización inversa

②División sintética + teorema del resto

③Sustituir x para hallar el resto

④El binomio del cubo se generaliza con el binomio de Newton

⑤Suma de grados: dividendo = cociente + divisor

Teorema del resto

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