Polynomial Operations
Multiplicar y dividir polinomios extiende a las letras la aritmética que ya conoces con los números. El producto de dos expresiones lineales divide un rectángulo en cuatro piezas, y la división sintética da el cociente y el resto. Igual que 17 = 5 × 3 + 2, todo polinomio sigue la forma f(x) = divisor × cociente + resto. Mueve los deslizadores de b y del término independiente y cambia el modelo de áreas.
Si memorizas multiplicar y dividir como trucos sueltos, el término que salió de una tesela no tiene asiento en la tabla de división. Las teselas de área y la tabla de coeficientes están en la misma página para que la letra x ocupe el mismo sitio en los dos dibujos. La costumbre de escribir cociente y resto en asientos distintos, ya usada con enteros, es el punto de partida cuando esos asientos pasan a ser letras. Ver de qué tesela sale cada término recorta luego más errores de signo que recitar una lista de fórmulas.
El producto se entiende como área de un rectángulo. Al desarrollar (x + 3)(x + b) sumas cuatro áreas. En esta figura a queda fijo en 3.
El dibujo del producto es un cuadrado grande más tres teselas a la derecha, abajo y en la esquina. La celda grande muestra x²; la tesela de arriba a la derecha, el valor del control por x; la de abajo, 3x; la esquina, el producto de 3 y el control. Al mover b de 1 a 7 solo se redibuja el ancho de las dos teselas de la derecha, y cambian con ellas el coeficiente lineal y el término independiente de la fórmula de abajo. La tabla sintética tiene un 1 a la izquierda y 1, 2, -5 y el control de la constante en la fila de arriba; la última celda de abajo está en oro como resto. Al cambiar la constante de -5 a 10 cambian esa última celda y la etiqueta de resto; los tres coeficientes que bajan se quedan.
Al dividir entre (x − a), la división sintética permite obtener cociente y resto rápidamente.
Si solo memorizas el orden de rellenar la tabla de arriba abajo, se te escapa por qué la última celda se lee como resto. Si el divisor es lineal, lo que queda tiene que ser una constante, así que esa celda cierra la identidad en vez de ser otro término del cociente. Si saltas la condición de grado, pegas ese número al final del cociente. Ver primero que la división entera ya guarda cociente y resto en asientos distintos deja claro qué celda cierra la ecuación, antes de cualquier orden memorizado.
Cuando desarrollas un cuadrado, o un par simétrico del que solo te dan la suma y el producto, primero casa el lado izquierdo de una fórmula con la forma que te han dado. Antes de cambiar letras por números, marca qué término cae en qué tesela del dibujo de área; así se caen menos coeficientes y menos signos. Antes de escribir la respuesta, cuenta que el número de términos que escribiste coincida con el de la fórmula. Un cubo es el mismo asiento con una capa más.
La costumbre de leer la última celda como resto es lo que usa la página siguiente cuando sustituye un número en x y lee esa celda de una vez. Dar la vuelta a una fórmula de producto para hallar un factor se apoya en esa misma identidad. El 1 de la izquierda de la tabla es la raíz de (x-1), así que meter un valor en ese asiento es el arranque del teorema siguiente. Como las teselas y la tabla ya comparten la letra x, llevas esas letras adelante en vez de cambiarles el nombre.