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Operaciones con vectores

Vector Operations

Un vector tiene a la vez tamaño y dirección, por eso se dibuja como una flecha. Si dos vectores parten del origen y se completa un paralelogramo, su diagonal es la suma; al multiplicar un vector por un número real k, su longitud se multiplica por |k| y su sentido se conserva o se invierte. Todo esto se calcula por separado con las componentes x y las componentes y, así que lo que se ve en la figura coincide siempre con lo que dan las componentes. Al cambiar a y b con los deslizadores de componentes, la suma y sus componentes cambian a la vez; al mover k, la flecha se estira y se encoge, y se da la vuelta cuando k es negativo.

Suma de vectores

3
2
1
3
👀 Qué leer en la figura
①La flecha roja a y la azul b salen del origen O
②Los segmentos discontinuos avanzan b desde la punta de a y a desde la punta de b, y se encuentran en el cuarto vértice del paralelogramo
③La diagonal dorada del origen a ese vértice es la suma a + b
④Como muestra la franja superior, sumar componentes x con componentes x y componentes y con componentes y da el mismo resultado

Producto por un escalar

1.5
↔️ Qué hace multiplicar por k
①Si k > 1, el vector se alarga en el mismo sentido
②Si 0 < k < 1, se acorta en el mismo sentido
③Si k < 0, su sentido se invierte y su longitud se multiplica por |k|
④Si k = 0, se convierte en el vector nulo
⑤Dos vectores no nulos a y b son paralelos cuando existe un número real k con a = kb

Reglas de las operaciones con vectores

Suma (componentes)
a + b = (ax + bx, ay + by)
Se suma componente a componente
Producto por un escalar (componentes)
ka = (kax, kay)
Se multiplica cada componente por k
📐 Propiedades
①Conmutativa: a + b = b + a
②Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
③Distributiva: k(a + b) = ka + kb
④Distributiva: (k + m)a = ka + ma
⑤Al dividir un vector no nulo a entre su módulo |a| se obtiene el vector unitario con la misma dirección y sentido

Vectores de posición y división de un segmento

Vector de posición de un punto de división interna
p = na + mbm + n
El punto P que divide el segmento AB internamente en la razón m : n
Vector de posición del punto medio
p = a + b2
El caso m = n = 1
🎯 Cómo recordar la fórmula
①En la división interna en razón m : n, a lleva el factor n y b el factor m, cruzados
②El denominador es m + n
③El punto medio es la media de los dos vectores de posición
④En la división externa en razón m : n, el denominador es m − n y cambia el signo del coeficiente de a

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Si a = (2, 3) y b = (−1, 4), halla a + b y 2a − b.
1
Se suma componente a componente.
a + b = (2 + (−1), 3 + 4) = (1, 7)
2
Multiplicar por un escalar y luego restar también se hace componente a componente.
2a − b = (4 − (−1), 6 − 4) = (5, 2)
▸ a + b = (1, 7), 2a − b = (5, 2)
Las operaciones con vectores se hacen por separado con las componentes x y las componentes y.
Ejemplo 2
Si a = (3, −4), halla su módulo |a| y el vector unitario en la dirección de a.
1
El módulo se halla con el teorema de Pitágoras.
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
El vector unitario es a dividido entre su propio módulo.
a / | a | = (35, −45)
▸ |a| = 5, vector unitario (3/5, −4/5)
Un vector unitario tiene la misma dirección y sentido y módulo 1.

Resumen

Módulo de un vector
| a | = √(ax² + ay²)
El módulo se calcula con el teorema de Pitágoras
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Para los vectores a = (1, 2) y b = (3, k), si a + b = (4, 5), ¿cuánto vale k?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
La suma se hace componente a componente, así que se comparan las componentes y.
2
Las componentes y dan 2 + k = 5.
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 Claves para el examen
①Los vectores se suman componente a componente
②Multiplicar por k cambia el sentido según el signo de k y el tamaño según |k|
③La condición de paralelismo es a = kb para algún real k no nulo
④En la fórmula de división, cuanto más cerca está P de A, mayor es el coeficiente de a
⑤El vector unitario a / |a| tiene módulo 1
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Componentes vectoriales en el plano y producto escalar

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