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Mis palabras

Operaciones con vectores

Vector Operations

Un vector es una flecha que lleva a la vez dirección y tamaño. Si unes dos flechas, la diagonal del paralelogramo es justo su suma, y al multiplicar una flecha por un número (un escalar) su dirección se mantiene mientras se alarga, se acorta o se invierte. Lo bonito es que todo se reduce a sumar y multiplicar por separado las componentes x y las componentes y. Mueve las componentes de a y b con los deslizadores y se dibuja el vector suma; cambia k y la flecha se alarga e invierte.

Suma de vectores

3
2
1
3
👀 Intuición de la suma de vectores
①Las flechas roja a y azul b parten del origen O
②Forma un paralelogramo con los extremos de ambas
③La diagonal es el vector suma a+b (dorado)
④Por componentes: (a_x+b_x, a_y+b_y)
⑤Las coordenadas son los controles de abajo. El punto divisor es solo una caja de fórmula

Multiplicación por escalar

1.5
↔️ ¿Qué es la multiplicación por escalar?
①k > 1: alarga en el mismo sentido
②0 < k < 1: acorta en el mismo sentido
③k < 0: invierte el sentido
④k = 0: vector cero
⑤Si a = kb (k distinto de 0), son paralelos

Propiedades de las operaciones

Suma (componentes)
a + b = (ax + bx, ay + by)
Sumar componentes correspondientes
Multiplicación por escalar (componentes)
ka = (kax, kay)
Cada componente se multiplica por k
📐 Propiedades
①Conmutativa: a + b = b + a
②Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
③Distributiva: k(a + b) = ka + kb
④Distributiva: (k + m)a = ka + ma
⑤El vector unitario es a dividido por su magnitud

Vector de posición y división

Vector de posición de un punto divisor interno
p = na + mbm + n
Punto P que divide AB en razón m:n
Vector de posición del punto medio
p = a + b2
Caso especial con m = n = 1
🎯 Cómo recordar la fórmula de división
①Razón m:n → coeficientes cruzados
②El denominador siempre es m+n
③El punto medio es el promedio
④División externa: denominador m−n (cuidado con el signo)

Practícalo

Ejemplo 1
Dados a=(2, 3) y b=(−1, 4), halla a+b y 2a−b.
1
La suma se hace componente a componente.
a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7)
2
Multiplicar por escalar y luego restar también es por componentes.
2a − b = (4−(−1), 6−4) = (5, 2)
▸ a+b=(1, 7), 2a−b=(5, 2)
Las operaciones con vectores trabajan por separado las componentes x y las componentes y.
Ejemplo 2
Dado a=(3, −4), halla el módulo |a| y el vector unitario en la dirección de a.
1
El módulo se obtiene con el teorema de Pitágoras.
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
El vector unitario es a dividido por su propio módulo.
a / | a | = (35, −45)
▸ |a|=5, vector unitario=(3/5, −4/5)
Un vector unitario mantiene la misma dirección pero con módulo 1.

Resumen

Magnitud del vector
| a | = √(ax² + ay²)
Magnitud (longitud) por el teorema de Pitágoras
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Para los vectores a=(1, 2) y b=(3, k), si a + b = (4, 5), ¿cuál es el valor de k?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
La suma es por componentes, así que compara las componentes y.
2
Componente y: 2+k=5.
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 Puntos clave
①Suma: componentes correspondientes
②Escalar: cambia sentido (signo) y magnitud (valor absoluto)
③Paralelos: a = kb para algún k ≠ 0
④Los coeficientes se cruzan: más cerca de A, mayor peso de A
⑤Vector unitario: a / |a| (magnitud 1)
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