Operaciones con vectores

Vector Operations

Un vector es una flecha que lleva a la vez dirección y tamaño. Si unes dos flechas, la diagonal del paralelogramo es justo su suma, y al multiplicar una flecha por un número (un escalar) su dirección se mantiene mientras se alarga, se acorta o se invierte. Lo bonito es que todo se reduce a sumar y multiplicar por separado las componentes x y las componentes y. Mueve las componentes de a y b con los deslizadores para ver cómo se dibuja el vector suma, y cambia k para ver la flecha alargarse e invertirse.

Suma de vectores

a_x3

a_y2

b_x1

b_y3

👀 Intuición de la suma de vectores

①Las flechas roja a y azul b parten del origen O

②Forma un paralelogramo con los extremos de ambas

③La diagonal es el vector suma a+b (dorado)

④Por componentes: (a_x+b_x, a_y+b_y)

Multiplicación por escalar

escalar k1.5

↔️ ¿Qué es la multiplicación por escalar?

①k > 1: alarga en el mismo sentido

②0 < k < 1: acorta en el mismo sentido

③k < 0: invierte el sentido

④k = 0: vector cero

Propiedades de las operaciones

Suma (componentes)

a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y)

Sumar componentes correspondientes

Multiplicación por escalar (componentes)

ka = (ka_x, ka_y)

Cada componente se multiplica por k

📐 Propiedades

①Conmutativa: a + b = b + a

②Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

③Distributiva: k(a + b) = ka + kb

④Distributiva: (k + m)a = ka + ma

Vector de posición y división

Vector de posición de un punto divisor interno

p = na + mbm + n

Punto P que divide AB en razón m:n

Vector de posición del punto medio

p = a + b2

Caso especial con m = n = 1

🎯 Cómo recordar la fórmula de división

①Razón m:n → coeficientes cruzados

②El denominador siempre es m+n

③El punto medio es el promedio

④División externa: denominador m−n (cuidado con el signo)

Practícalo

Ejemplo 1

Dados a=(2, 3) y b=(−1, 4), halla a+b y 2a−b.

La suma se hace componente a componente.

a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7)

Multiplicar por escalar y luego restar también es por componentes.

2a − b = (4−(−1), 6−4) = (5, 2)

▸ a+b=(1, 7), 2a−b=(5, 2)

Las operaciones con vectores trabajan por separado las componentes x y las componentes y.

Ejemplo 2

Dado a=(3, −4), halla el módulo |a| y el vector unitario en la dirección de a.

El módulo se obtiene con el teorema de Pitágoras.

| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5

El vector unitario es a dividido por su propio módulo.

a / | a | = (35, −45)

▸ |a|=5, vector unitario=(3/5, −4/5)

Un vector unitario mantiene la misma dirección pero con módulo 1.

Resumen

Magnitud del vector

| a | = √(a_x² + a_y²)

Magnitud (longitud) por el teorema de Pitágoras

Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado

Para los vectores a=(1, 2) y b=(3, k), si a + b = (4, 5), ¿cuál es el valor de k?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

La suma es por componentes, así que compara las componentes y.

Componente y: 2+k=5.

2 + k = 5 ⇒ k = 3

🎯 Puntos clave

①Suma: componentes correspondientes

②Escalar: cambia sentido (signo) y magnitud (valor absoluto)

③Paralelos: a = kb para algún k ≠ 0

④Memoriza el cruce de coeficientes en la fórmula del punto divisor

⑤Vector unitario: a / |a| (magnitud 1)

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