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Componentes vectoriales en el plano y producto escalar

Dot Product

El producto escalar indica con un solo número cuánto apuntan dos vectores hacia el mismo lado. Es positivo si el ángulo entre ellos es agudo, 0 si es recto y negativo si es obtuso. Geométricamente está ligado a la longitud de la proyección de un vector sobre la dirección del otro, y aun así basta multiplicar las componentes correspondientes y sumar para obtener el mismo valor. Al girar el ángulo, el producto escalar pasa de positivo a 0 y luego a negativo; al mover las componentes se ve cómo se calcula a · b con ellas.

Significado geométrico del producto escalar

45°
👀 Qué leer en la figura
①El vector rojo a mide 3 y el azul b mide 2,5; solo cambia el ángulo θ
②El segmento verde es la proyección de b sobre la dirección de a, con longitud con signo |b| cos θ
③Como a · b = |a||b| cos θ, el producto escalar es el módulo de a por la longitud con signo del segmento verde
④Es positivo si θ < 90°, 0 si θ = 90° y negativo si θ > 90°

El producto escalar con componentes

3
1
1
3
🔢 Cálculo con componentes
①Si a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂)
②entonces a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③Basta multiplicar las componentes correspondientes y sumar
④Este valor siempre coincide con |a||b| cos θ, así que se puede despejar el ángulo

Fórmulas del producto escalar

Producto escalar (geométrico)
a · b = | a || b | cosθ
El producto de los dos módulos por el coseno del ángulo que forman
Producto escalar (componentes)
a · b = a1 b1 + a2 b2
Se multiplican las componentes correspondientes y se suman
Cálculo del ángulo
cosθ = a · b| a || b |
Al dividir el producto escalar entre el producto de los módulos se obtiene cos θ
🔍 Cómo se relacionan las dos fórmulas
①Con el teorema del coseno, la fórmula de componentes se deduce de la definición geométrica
②Para calcular, la fórmula de componentes es más cómoda
③El ángulo se halla con la fórmula de cos θ
④Dos vectores no nulos son perpendiculares exactamente cuando a · b = 0

Proyección

Vector proyección
proja b = a · b| a |² a
La proyección de b sobre la dirección de a
Longitud de la proyección
| proja b | = | a · b || a |
El módulo del vector proyección (sin signo)
💡 Dónde se usa la proyección
①La proyección es la sombra de b dejada caer perpendicularmente sobre la recta en la dirección de a
②En física, el trabajo es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento, F · d = |F||d| cos θ
③La proyección también sirve para hallar el pie de la perpendicular a una recta

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Si a = (1, 2) y b = (3, −1), halla a · b.
1
Se sustituye en la fórmula de componentes a · b = a₁b₁ + a₂b₂.
a · b = 1 · 3 + 2 · (−1)
2
Se calcula cada término y se suman.
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
Multiplicando componentes y sumando se obtiene el producto escalar sin conocer el ángulo.
Ejemplo 2
Si a = (1, 2) y b = (3, −1), halla cos θ para el ángulo θ que forman.
1
Se hallan el producto escalar y los módulos de los dos vectores.
a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10
2
Se sustituye en cos θ = (a · b)/(|a||b|) y se simplifica.
cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210
▸ cos θ = √2/10
Hallando por separado el producto escalar y los módulos y llevándolos a la fórmula de cos θ, sale el ángulo.

Resumen

Condición de perpendicularidad
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar es 0
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat. (Geometría), adaptado
Si los vectores a = (2, 1) y b = (k, −4) son perpendiculares, ¿cuánto vale k?
①−2
②1
③2
④3
⑤4
▸ ③ 2
1
Dos vectores perpendiculares cumplen a · b = 0.
2
Se escribe el producto escalar con componentes, se iguala a 0 y se despeja k.
a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2
🎯 Claves para el examen
①Las dos formas del producto escalar: |a||b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂
②Se halla cos θ para valorar el ángulo
③a · b = 0 significa perpendicularidad
④No hay que confundir la fórmula del vector proyección con la de su longitud
⑤|a|² = a · a
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