Componentes vectoriales en el plano y producto escalar Dot Product
El producto escalar es un número que indica cuánto apuntan en la misma dirección dos vectores.
Si se inclinan hacia el mismo lado (ángulo agudo) es positivo, en ángulo recto vale 0 y en sentido opuesto (obtuso) se vuelve negativo.
Geométricamente se relaciona con la sombra (proyección) que un vector arroja sobre el otro, pero, curiosamente, se obtiene el mismo valor con solo multiplicar componentes y sumar.
Gira el deslizador del ángulo para ver cómo el signo pasa de positivo a 0 y a negativo, y mueve las componentes para ver cómo se calcula a·b.
Significado geométrico del producto escalar
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Relación entre el ángulo de dos vectores y el signo del producto escalar 👀 ¿Qué es el producto escalar?
①Mide cuánto «coinciden las direcciones» de dos vectores
②El segmento verde = proyección de b sobre a
③Ángulo agudo (θ<90°): positivo; recto: cero; obtuso: negativo
④Producto escalar = |a||b|cosθ
Cálculo por componentes
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Componentes y resultado del producto escalar 🔢 Cálculo por componentes
①Si a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂)
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③Multiplica componentes correspondientes y suma
④Coincide con |a||b|cosθ
Fórmulas del producto escalar
Producto escalar (geométrico)
a · b = | a || b | cosθ
Producto de las magnitudes por el coseno del ángulo
Producto escalar (componentes)
a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2
Suma de los productos de componentes correspondientes
Calcular el ángulo
cosθ = a · b | a || b |
Producto escalar dividido por el producto de magnitudes
🔍 Conexión entre ambas fórmulas
①La definición geométrica conduce a la fórmula de componentes
②Para calcular, la fórmula de componentes es más cómoda
③Para hallar el ángulo, usa cosθ
④Ortogonalidad: a · b = 0 ↔ a ⊥ b
Proyección y aplicaciones
Vector proyección
proj a b = a · b | a |² a
Proyección de b sobre a
Magnitud de la proyección
| proj a b | = | a · b | | a |
Magnitud (sin signo) de la proyección
💡 Significado de la proyección
①Proyección = sombra de b sobre la dirección de a
②Física: trabajo W = F · d cosθ = producto escalar
③Matemáticas: hallar el pie de la perpendicular a una recta
Practícalo
Ejemplo 1
Dados a=(1, 2), b=(3, −1), halla a · b.
1 Sustituye en la fórmula por componentes a · b = a₁b₁ + a₂b₂.
a · b = 1·3 + 2·(−1)
2 Calcula cada término y suma.
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
Basta multiplicar las componentes correspondientes y sumar — se halla el producto escalar sin conocer el ángulo.
Ejemplo 2
Dados a=(1, 2), b=(3, −1), halla cosθ para el ángulo θ entre ellos.
1 Halla el producto escalar y las magnitudes de ambos vectores.
a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10
2 Sustituye en cosθ = (a · b)/(|a||b|) y simplifica.
cosθ = 1 √5·√10 = 1 √50 = √2 10
▸ cosθ = √2/10
Halla por separado el producto escalar y las magnitudes, luego úsalas en la fórmula de cosθ para obtener el ángulo.
Resumen
Condición de ortogonalidad
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
Producto escalar nulo equivale a perpendicularidad
Tipo de simulacro KICE 2022 Mat. (Geometría), adaptado
Si los vectores a=(2, 1) y b=(k, −4) son perpendiculares, ¿cuál es el valor de k?
▸ ③ 2
1 Si dos vectores son perpendiculares, entonces a · b = 0.
2 Escribe el producto escalar por componentes, iguálalo a 0 y despeja k.
a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2
🎯 Puntos clave
①Dos fórmulas: |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
②Hallar el ángulo con cosθ
③a · b = 0 ↔ perpendicular
④Proyección y su magnitud
⑤|a|² = a · a (magnitud al cuadrado = producto consigo mismo)