Componentes vectoriales en el plano y producto escalar

Dot Product

El producto escalar es un número que indica cuánto apuntan en la misma dirección dos vectores. Si se inclinan hacia el mismo lado (ángulo agudo) es positivo, en ángulo recto vale 0 y en sentido opuesto (obtuso) se vuelve negativo. Geométricamente se relaciona con la sombra (proyección) que un vector arroja sobre el otro, pero, curiosamente, se obtiene el mismo valor con solo multiplicar componentes y sumar. Gira el deslizador del ángulo y el signo pasa de positivo a 0 y a negativo; mueve las componentes y se calcula a·b.

Significado geométrico del producto escalar

ángulo θ45°

👀 ¿Qué es el producto escalar?

①Mide cuánto «coinciden las direcciones» de dos vectores

②El segmento verde = proyección de b sobre a

③Ángulo agudo (θ<90°): positivo; recto: cero; obtuso: negativo

④Producto escalar = |a||b|cosθ

⑤En el primer dibujo |a|·|b| están fijos. Solo se mueve θ

Cálculo por componentes

a_x3

a_y1

b_x1

b_y3

🔢 Cálculo por componentes

①Si a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂)

②a · b = a₁b₁ + a₂b₂

③Multiplica componentes correspondientes y suma

④Coincide con |a||b|cosθ

Fórmulas del producto escalar

Producto escalar (geométrico)

a · b = | a || b | cosθ

Producto de las magnitudes por el coseno del ángulo

Producto escalar (componentes)

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂

Suma de los productos de componentes correspondientes

Calcular el ángulo

cosθ = a · b| a || b |

Producto escalar dividido por el producto de magnitudes

🔍 Conexión entre ambas fórmulas

①La definición geométrica conduce a la fórmula de componentes

②Para calcular, la fórmula de componentes es más cómoda

③Para hallar el ángulo, usa cosθ

④Ortogonalidad: a · b = 0 ↔ a ⊥ b

Proyección y aplicaciones

Vector proyección

proj_a b = a · b| a |² a

Proyección de b sobre a

Magnitud de la proyección

| proj_a b | = | a · b || a |

Magnitud (sin signo) de la proyección

💡 Significado de la proyección

①Proyección = sombra de b sobre la dirección de a

②Física: trabajo W = F · d cosθ = producto escalar

③Matemáticas: hallar el pie de la perpendicular a una recta

④La proyección es solo una caja de fórmula. No hay dibujo

Practícalo

Ejemplo 1

Dados a=(1, 2), b=(3, −1), halla a · b.

Sustituye en la fórmula por componentes a · b = a₁b₁ + a₂b₂.

a · b = 1·3 + 2·(−1)

Calcula cada término y suma.

a · b = 3 − 2 = 1

▸ a · b = 1

Basta multiplicar las componentes correspondientes y sumar — se halla el producto escalar sin conocer el ángulo.

Ejemplo 2

Dados a=(1, 2), b=(3, −1), halla cosθ para el ángulo θ entre ellos.

Halla el producto escalar y las magnitudes de ambos vectores.

a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10

Sustituye en cosθ = (a · b)/(|a||b|) y simplifica.

cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210

▸ cosθ = √2/10

Halla por separado el producto escalar y las magnitudes, luego úsalas en la fórmula de cosθ para obtener el ángulo.

Resumen

Condición de ortogonalidad

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

Producto escalar nulo equivale a perpendicularidad

Tipo de simulacro KICE 2022 Mat. (Geometría), adaptado

Si los vectores a=(2, 1) y b=(k, −4) son perpendiculares, ¿cuál es el valor de k?

①−2

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

Si dos vectores son perpendiculares, entonces a · b = 0.

Escribe el producto escalar por componentes, iguálalo a 0 y despeja k.

a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2

🎯 Puntos clave

①Dos fórmulas: |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

②Hallar el ángulo con cosθ

③a · b = 0 ↔ perpendicular

④Proyección y su magnitud

⑤|a|² = a · a (magnitud al cuadrado = producto consigo mismo)

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