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Mis palabras

Figuras en el espacio

Space Figures

Sobre una hoja plana, dos rectas solo pueden cortarse o ser paralelas. Pero en el espacio 3D en que vivimos también hay rectas alabeadas, que ni se cortan ni son paralelas, y una recta y un plano, o dos planos, pueden ser paralelos, secantes o perpendiculares. El ángulo diedro, que mide cuánto se abren dos planos, es la misma idea que el ángulo de un libro abierto. Gira la vista con el deslizador y se siente el volumen; cambia la relación de posición y el ángulo diedro y se ve cómo se disponen rectas y planos en el espacio.

Ejes de coordenadas en el espacio

30°
👀 El espacio 3D
①Plano 2D + eje y → espacio 3D
②Los ejes x (rojo), y (verde), z (azul) son perpendiculares entre sí
③Mueve el deslizador para girar la vista y percibir el volumen
④Cualquier punto se expresa como (x,y,z)

Posiciones relativas de rectas y planos

∥
📐 Posiciones relativas
①0: planos paralelos (no se cortan)
②1: planos secantes que generan una línea de intersección
③2: recta perpendicular al plano (perpendicular a toda recta del plano)
④También existen rectas «alabeadas»: ni paralelas ni secantes

Ángulo diedro

60°
📖 ¿Qué es un ángulo diedro?
①Dos semiplanos que comparten una arista
②Desde un punto de la arista, traza rayos perpendiculares en cada plano
③El ángulo entre esos dos rayos es el ángulo diedro
④Mismo concepto que el ángulo al abrir un libro

Teoremas de perpendicularidad y paralelismo

Teorema de las tres perpendiculares
Si PH ⊥ α entonces (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ). P fuera del plano, H el pie, O en ℓ
Permite analizar la perpendicularidad usando el pie de la perpendicular
Criterio de paralelismo
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (existe m ⊂ α)
Si una recta es paralela a otra contenida en el plano, es paralela al plano
🔍 Teoremas centrales
①Recta ⊥ plano: perpendicular a toda recta del plano
②Plano ⊥ plano: contiene una recta perpendicular al otro
③El teorema de las tres perpendiculares aparece a menudo en exámenes
④Dibuja mientras razonas la prueba para entender más rápido
⑤La distancia entre rectas alabeadas está en el capítulo siguiente

Practícalo

Ejemplo 1 — Teorema de las tres perpendiculares
Desde un punto P exterior a la recta ℓ del plano α, sea H el pie de la perpendicular de P a α, y O el pie de la perpendicular de H a ℓ. Si PH=3 y HO=4, halla la longitud PO.
1
Por el teorema de las tres perpendiculares PO⊥ℓ, y el triángulo PHO es rectángulo en H.
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
En el triángulo rectángulo PHO, usa el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa PO.
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
Como PH es perpendicular al plano, PH también es perpendicular a HO, por eso el triángulo PHO es rectángulo.
Ejemplo 2 — Proyección ortogonal
Una figura de área 12 está en el plano β, que forma un ángulo diedro de 60° con el plano α. Halla el área de su proyección ortogonal sobre α.
1
El área proyectada es el área original multiplicada por el coseno del ángulo entre los planos.
S' = S · cosθ
2
Sustituye S=12 y θ=60°.
S' = 12 · cos60° = 12 · (1/2)
▸ S' = 6
Cuanto mayor es el ángulo, menor es el coseno, así que la proyección se reduce — a 90° el área proyectada es 0.

Resumen

Área de la proyección ortogonal
S' = S cosθ
Área proyectada = área original × cos(ángulo diedro)
Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Geometría), adaptado
Un cuadrado de lado 4 forma un ángulo de 45° con el plano α. ¿Cuál es el área de su proyección ortogonal sobre α?
①8
②8√2
③16
④4√2
⑤4
▸ ② 8√2
1
El área del cuadrado es 4 × 4 = 16.
2
Sustituye S=16 y θ=45° en la fórmula del área proyectada.
S' = 16 · cos45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 Puntos clave
①Reconocer las 5 posiciones relativas en el espacio
②Teorema de las tres perpendiculares: hipótesis y conclusión
③Para hallar un diedro, usa rayos perpendiculares desde la arista
④Área de la proyección = área original × cosθ
⑤Distancia entre rectas alabeadas
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