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Figuras en el espacio

Space Figures

En una hoja de papel, dos rectas o se cortan o son paralelas. En el espacio aparece una tercera posibilidad, las rectas que se cruzan sin cortarse ni ser paralelas, y entre rectas y planos, o entre dos planos, también hay paralelismo, corte o perpendicularidad. Lo que se abren dos planos se mide con el ángulo diedro; basta pensar en el ángulo de un libro abierto. Al girar la vista se ven en relieve los ejes x, y, z y el punto P, y al cambiar el ángulo diedro cambia con él el ángulo entre las dos semirrectas perpendiculares a la arista.

Ejes de coordenadas en el espacio

30°
👀 El espacio tridimensional
①Si al eje x y al eje y del plano se les añade un eje z perpendicular a los dos, se obtiene el espacio
②Los tres ejes son perpendiculares entre sí, y el que apunta hacia arriba se toma como eje z
③Al bajar una perpendicular desde P(2, 2, 3) al plano xy, su pie es H(2, 2, 0), y la coordenada z de P, 3, es la longitud de PH
④Todo punto del espacio se da con tres coordenadas (x, y, z)

Posiciones de rectas y planos

∥
📐 Posiciones relativas
①∥ : los dos planos son paralelos y no se cortan
②∩ : los dos planos se cortan en una recta, su recta de intersección
③ℓ ⊥ α : una recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas del plano
④Además de cortarse y ser paralelas, dos rectas del espacio pueden cruzarse: ni se cortan ni son paralelas

Ángulo diedro

60°
📖 Cómo se mide un ángulo diedro
①Los dos semiplanos comparten una arista (verde)
②Desde un punto de la arista se traza en cada semiplano una semirrecta perpendicular a la arista
③El ángulo θ entre esas dos semirrectas es el ángulo diedro
④El ángulo entre las dos tapas de un libro abierto es un ángulo diedro

Perpendicularidad y paralelismo en el espacio

Teorema de las tres perpendiculares
Si PH ⊥ α, entonces (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ). P es un punto fuera del plano, H el pie de la perpendicular y O un punto de la recta ℓ del plano
Permite decidir con el pie de la perpendicular si un punto fuera del plano y una recta del plano son perpendiculares
Recta paralela a un plano
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (para alguna recta m ⊂ α)
Una recta que no está en un plano es paralela a él si es paralela a alguna recta del plano
🔍 Teoremas clave
①Una recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas del plano
②Un plano que contiene una recta perpendicular a otro plano es perpendicular a ese plano
③Con el teorema de las tres perpendiculares se decide la perpendicularidad pasando por el pie de la perpendicular
④Dibujar cada teorema y marcar el pie de la perpendicular hace fácil seguir las demostraciones

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: teorema de las tres perpendiculares
Una recta ℓ está en el plano α y P es un punto que no está en α. Sea H el pie de la perpendicular de P a α y O el pie de la perpendicular de H a ℓ. Si PH = 3 y HO = 4, halla PO.
1
Por el teorema de las tres perpendiculares, PO ⊥ ℓ, y el triángulo PHO es rectángulo en H.
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
En el triángulo rectángulo PHO se halla la hipotenusa PO con el teorema de Pitágoras.
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
Como PH es perpendicular al plano α, también lo es al segmento HO de α, y por eso PHO es un triángulo rectángulo.
Ejemplo 2: área proyectada
Una figura de área 12 está en un plano β que forma 60° con el plano α. Halla el área de su proyección sobre α.
1
El área proyectada es el área original por el coseno del ángulo entre los planos.
S′ = S · cos θ
2
Se sustituyen S = 12 y θ = 60°.
S′ = 12 · cos 60° = 12 · (1/2)
▸ S′ = 6
Cuanto mayor es el ángulo, menor es el coseno y menor la proyección. Con 90° el área proyectada es 0.

Resumen

Área de una proyección
S′ = S cos θ
El área de una figura plana proyectada sobre otro plano es su área original por el coseno del ángulo entre los planos
Tipo de simulacro KICE 2021 Mat. (Geometría), adaptado
Un cuadrado de lado 4 forma un ángulo de 45° con el plano α. ¿Cuál es el área de su proyección sobre α?
①8
②8√2
③16
④4√2
⑤4
▸ ② 8√2
1
El área del cuadrado es 4 × 4 = 16.
2
Se sustituyen S = 16 y θ = 45° en la fórmula del área proyectada.
S′ = 16 · cos 45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 Claves para el examen
①Distinguir las posiciones de rectas y planos en el espacio
②Enunciar con exactitud las condiciones y la conclusión del teorema de las tres perpendiculares
③Medir el ángulo diedro con dos semirrectas perpendiculares a la arista
④Área proyectada = área original × cos θ
⑤Saber hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan
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