Coordenadas en el espacio

Space Coordinates

Igual que un punto en el plano queda fijado por dos números (x, y), un punto en el espacio se localiza con tres números (x, y, z). Añadir un solo número más para la altura, z, es como levantar un punto del suelo y elevarlo por el aire. Tanto la distancia entre dos puntos como la ecuación de la esfera surgen directamente de sus versiones planas en 2D: basta con añadir una capa más de z. Mueve los deslizadores x, y y z para ver dónde se sitúa el punto en el espacio y la sombra (proyección) que arroja sobre el plano de coordenadas, y usa el deslizador del radio r para ver cómo la esfera crece y se encoge.

Sistema de coordenadas 3D

coordenada x3

coordenada y4

coordenada z2

👀 Un punto en el espacio

①El punto P(x,y,z) se determina con tres coordenadas

②Las líneas discontinuas son proyecciones a ejes y planos

③Sombra en el plano xy: (x,y,0)

④Sombra en el eje z: (0,0,z)

Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos en el espacio

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

Generalización del teorema de Pitágoras a 3D

📐 Intuición de la fórmula

①Distancia 2D: √(Δx² + Δy²)

②En 3D solo añadimos Δz²

③Sigue la trayectoria rectangular en líneas discontinuas

④Aplicación doble del teorema de Pitágoras: Δx → Δy → Δz

Ecuación de la esfera

radio r3

Ecuación de la esfera

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²

Centro C(a,b,c), radio r

🌐 ¿Qué es una esfera?

①Conjunto de puntos equidistantes de un centro

②Generalización 3D de la circunferencia

③Forma desarrollada: x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0

④Completar cuadrados da centro y radio

Punto divisor y baricentro

Punto divisor (3D)

P = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n, nz₁+mz₂m+n)

Divide AB en razón m:n

Baricentro de un triángulo

G = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)

Promedio de las coordenadas de los tres vértices

💡 Cómo recordarlo

①Misma estructura que la fórmula 2D

②Solo añadimos la coordenada z

③El punto medio es el caso m=n=1: promedio de cada coordenada

④El baricentro es el promedio de las tres coordenadas

Practícalo

Ejemplo 1

Halla la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3).

Eleva al cuadrado la diferencia de cada coordenada y súmalas.

AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)

Calcula la suma de cuadrados y extrae la raíz.

AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

▸ 5

Si las coordenadas z coinciden, Δz=0 y se reduce a la fórmula de distancia en 2D.

Ejemplo 2

Halla el centro y el radio de la esfera x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0.

Completa cuadrados en x, y y z.

x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9

Compara con la forma estándar para leer centro y radio.

(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9

▸ centro (1, −2, 3), radio 3

El lado derecho es r², así que √9=3 es el radio. Si fuera negativo, no existiría esfera.

Resumen

Distancia al origen

d = √(x² + y² + z²)

Distancia del origen O al punto P(x,y,z)

Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado

¿Cuál es el centro de la esfera cuyos extremos del diámetro son A(2, 0, 1) y B(0, 4, 3)?

①(1, 2, 2)

②(2, 2, 1)

③(1, 2, 1)

④(2, 4, 2)

⑤(1, 4, 2)

▸ ① (1, 2, 2)

El punto medio de los extremos del diámetro es el centro de la esfera.

Promedia cada coordenada.

((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)

🎯 Puntos clave

①Fórmula de distancia en el espacio: 2D + Δz²

②Ecuación de la esfera: la de la circunferencia más z

③Forma general → estándar: completar cuadrados

④Punto divisor y baricentro: misma idea que en 2D, añadiendo z

⑤Practica simetrías respecto a ejes, planos y puntos

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