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Mis palabras

Coordenadas en el espacio

Space Coordinates

Igual que un punto en el plano queda fijado por dos números (x, y), un punto en el espacio se localiza con tres números (x, y, z). Añadir un solo número más para la altura, z, es como levantar un punto del suelo y elevarlo por el aire. Tanto la distancia entre dos puntos como la ecuación de la esfera surgen directamente de sus versiones planas en 2D: basta con añadir una capa más de z. Mueve los deslizadores x, y y z y se ve dónde se sitúa el punto en el espacio y la sombra (proyección) que arroja sobre el plano de coordenadas; mueve el radio r y la esfera crece y se encoge.

Sistema de coordenadas 3D

3
4
2
👀 Un punto en el espacio
①El punto P(x,y,z) se determina con tres coordenadas
②Las líneas discontinuas son proyecciones a ejes y planos
③Sombra en el plano xy: (x,y,0)
④Sombra en el eje z: (0,0,z)

Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos en el espacio
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)
Generalización del teorema de Pitágoras a 3D
📐 Intuición de la fórmula
①Distancia 2D: √(Δx² + Δy²)
②En 3D solo añadimos Δz²
③Sigue la trayectoria rectangular en líneas discontinuas
④Aplicación doble del teorema de Pitágoras: Δx → Δy → Δz
⑤A está fijo en (1,1,1). B es el punto P del paso 1. Si P=(1,1,1) la distancia es 0

Ecuación de la esfera

3
Ecuación de la esfera
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
Centro C(a,b,c), radio r
🌐 ¿Qué es una esfera?
①Conjunto de puntos equidistantes de un centro
②Generalización 3D de la circunferencia
③Forma desarrollada: x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0
④Completar cuadrados da centro y radio
⑤El centro está fijo. El dibujo es solo el radio r

Punto divisor y baricentro

Punto divisor (3D)
P = (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n, nz1+mz2m+n)
Divide AB en razón m:n
Baricentro de un triángulo
G = (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)
Promedio de las coordenadas de los tres vértices
💡 Cómo recordarlo
①Misma estructura que la fórmula 2D
②Solo añadimos la coordenada z
③El punto medio es el caso m=n=1: promedio de cada coordenada
④El baricentro es el promedio de las tres coordenadas

Practícalo

Ejemplo 1
Halla la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3).
1
Eleva al cuadrado la diferencia de cada coordenada y súmalas.
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2
Calcula la suma de cuadrados y extrae la raíz.
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
Si las coordenadas z coinciden, Δz=0 y se reduce a la fórmula de distancia en 2D.
Ejemplo 2
Halla el centro y el radio de la esfera x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0.
1
Completa cuadrados en x, y y z.
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2
Compara con la forma estándar para leer centro y radio.
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ centro (1, −2, 3), radio 3
El lado derecho es r², así que √9=3 es el radio. Si fuera negativo, no existiría esfera.

Resumen

Distancia al origen
d = √(x² + y² + z²)
Distancia del origen O al punto P(x,y,z)
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
¿Cuál es el centro de la esfera cuyos extremos del diámetro son A(2, 0, 1) y B(0, 4, 3)?
①(1, 2, 2)
②(2, 2, 1)
③(1, 2, 1)
④(2, 4, 2)
⑤(1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
1
El punto medio de los extremos del diámetro es el centro de la esfera.
2
Promedia cada coordenada.
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 Puntos clave
①Fórmula de distancia en el espacio: 2D + Δz²
②Ecuación de la esfera: la de la circunferencia más z
③Forma general → estándar: completar cuadrados
④Punto divisor y baricentro: misma idea que en 2D, añadiendo z
⑤Practica simetrías respecto a ejes, planos y puntos
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