seegongsik

Coordenadas en el espacio

Space Coordinates

Un punto del plano queda fijado con dos números (x, y); un punto del espacio necesita un tercero, z, que da su altura. Si el suelo es el plano xy y el eje z se levanta en vertical desde él, al bajar una perpendicular desde P hasta el suelo su pie H es (x, y, 0) y su longitud es z. La distancia entre dos puntos y la ecuación de la esfera son las fórmulas del plano con un término en z más, así que hay menos que memorizar de lo que parece. Al mover P con los deslizadores x, y y z cambian a la vez su sombra en el suelo y su distancia al origen; la segunda figura mide desde A hasta ese mismo P, y en la tercera el deslizador r cambia juntos el tamaño de la esfera y el lado derecho de su ecuación.

Puntos en el espacio de coordenadas

3
4
2
👀 Cómo leer las tres coordenadas
①El pie de la perpendicular desde P hasta el suelo es H(x, y, 0), y la longitud de PH es la coordenada z
②Las líneas discontinuas de H a los ejes x e y llegan a las marcas de las coordenadas x e y
③La línea discontinua de P al eje z lleva la altura z hasta el punto (0, 0, z)
④OH y PH son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa OP, así que la distancia del origen a P es √(x² + y² + z²)

Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)
El teorema de Pitágoras aplicado dos veces
📐 De dónde sale la fórmula
①Avanzar Δx en la dirección x y Δy en la dirección y desde A forma un triángulo rectángulo paralelo al suelo, de hipotenusa √(Δx² + Δy²)
②Desde ahí, subir o bajar Δz lleva a B, y esa hipotenusa forma otra vez un ángulo recto con Δz
③d es la hipotenusa de este segundo triángulo, así que d² = Δx² + Δy² + Δz²
④A se queda en (1, 1, 1) y B sigue al punto P de la primera figura. Si P pasa a (1, 1, 1), d vale 0

Ecuación de la esfera

3
Ecuación de la esfera
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
Centro C(a, b, c), radio r
🌐 La esfera escrita como ecuación
①La esfera es el conjunto de todos los puntos P cuya distancia a un punto fijo C vale lo mismo, r
②Al escribir CP = r con la fórmula de la distancia y elevar al cuadrado ambos lados queda (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²
③Al desarrollarla sale la forma x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0; si la ecuación llega así, se completa el cuadrado en cada variable y aparecen el centro y el radio
④En la figura el centro no se mueve y solo cambia r. Si r se multiplica por 2, el lado derecho r² se multiplica por 4

Punto de división y baricentro

Punto de división interna
P = (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n, nz1+mz2m+n)
El punto que divide el segmento AB en la razón m : n
Baricentro de un triángulo
G = (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)
El promedio de los tres vértices
💡 La fórmula del plano con una línea más para z
①El punto de división aplica la misma razón m : n a las coordenadas x, y y z por separado
②Es la fórmula del plano con una línea más para z
③El punto medio es el caso m = n = 1, así que cada coordenada es un promedio
④El baricentro promedia por separado las coordenadas x, y y z de los tres vértices

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Halla la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 3).
1
Se resta coordenada a coordenada, se eleva al cuadrado cada diferencia y se suma.
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2
Se saca la raíz cuadrada de la suma, 25.
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
Las dos coordenadas z coinciden, así que Δz = 0 y la distancia es la misma que en el plano a esa altura.
Ejemplo 2
Halla el centro y el radio de la esfera x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0.
1
Se completa el cuadrado en x, en y y en z.
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2
Se compara con la forma estándar para leer el centro y el radio.
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ centro (1, −2, 3), radio 3
El lado derecho 9 es r², así que el radio es 3. Si al completar el cuadrado el lado derecho saliera negativo, ningún punto cumpliría la ecuación.

Resumen

Distancia al origen
d = √(x² + y² + z²)
Del origen O al punto P(x, y, z)
Tipo de simulacro KICE 2023 Mat. (Geometría), adaptado
Los puntos A(2, 0, 1) y B(0, 4, 3) son los extremos de un diámetro de una esfera. ¿Cuál es el centro de la esfera?
①(1, 2, 2)
②(2, 2, 1)
③(1, 2, 1)
④(2, 4, 2)
⑤(1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
1
El centro de la esfera es el punto medio del diámetro AB.
2
Se promedian por separado las coordenadas x, y y z de los dos puntos.
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 Puntos clave del examen
①La fórmula de la distancia es la del plano más un término (z₂ − z₁)²
②En la ecuación general de una esfera se completa el cuadrado para leer el centro y el radio. Si el lado derecho es 0 queda un solo punto, y si es negativo no hay figura
③Los puntos de división, los puntos medios y los baricentros se calculan coordenada a coordenada
④En un punto simétrico, qué coordenadas cambian de signo depende de si la simetría es respecto de un eje, de un plano coordenado o del origen
← Anterior
Figuras en el espacio

Última actualización

¿Te fue útil? Apoyar seegongsik